勾股定理典型練習(xí)題分析

"勾股定理"典型例題分析一、知識(shí)要點(diǎn)：1、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為C，貝IJa2+b2=C2。公式的變形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三邊長分別是a,b,c,且滿足a2+b2=02,則三角形ABC是直角三角形。這個(gè)定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應(yīng)用時(shí)，同學(xué)們要注意處理好如下幾個(gè)要點(diǎn)：①的條件：*三角形的三條邊的長度.②滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方.③得到的結(jié)論：這個(gè)三角形是直角三角形，并且最大邊的對角是直角.④如果不滿足條件，就說明這個(gè)三角形不是直角三角形。3、勾股數(shù)滿足a2+b2=。2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：①勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。②一組勾股數(shù)擴(kuò)大一樣的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。常見勾股數(shù)有：[3,4,5〕(5,12,13)(6,8,10)(7,24,25)(8,15,17)(9,12,15)4、最短距離問題：主要5、運(yùn)用的依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短。二、考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：利用勾股定理求面積1、求陰影局部面積：〔1〕陰影局部是正方形；〔2〕陰影局部是長方形；〔3〕陰影局部是半圓?2.如圖，以RtAABC的三邊為直徑分別向外作三個(gè)半圓，試探索三個(gè)半圓的面積之間的關(guān)系?3、如下圖，分別以直角三角形的三邊向外作三個(gè)正三角形,積分別是SPS2、S3,則它們之間的關(guān)系是〔 〕?-SJs2=S3c?s2+s3<S]D-S2b?SJS2=S34、四邊形ABCD中，ZB=90o,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊形ABCD的面積。5、（難〕在直線上依次擺放著七個(gè)正方形〔如圖4所示〕。斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3,正放置的四個(gè)正方形依次是的面積考點(diǎn)二：在直角三角形中，兩邊求第三邊.在直角三角形中,假設(shè)兩直角邊的長分別為lcm,2cm,則斜邊長為 ..直角三角形的兩邊長為3、2,則另一條邊長的平方是3、直角三角形兩直角邊長分別為5和12,求斜邊上的高.4、把直角三角形的兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來的2倍，則斜邊擴(kuò)大到原來的〔 〕A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍5、在RtAABC中，ZC=90o①假設(shè)a=5,b=12,貝（jC=;②假設(shè)a=15,c=25,貝IJb=;③假設(shè)c=61,b=60,貝（Ja=;④假設(shè)a：b=3：4,c=10貝I]RtΔABC的面積是=。6、如果直角三角形的兩直角邊長分別為n2—l,2n[n>l],則它的斜邊長是〔 〕A、2n B、n+1 C、n2-l D、n2+17、在RtAABC中，a,b,c為三邊長，則以下關(guān)系中正確的選項(xiàng)是〔 〕A.Q2+02=C2 B.Q2+C2=02C.C2+=Q2 D.以上都有可能8、RtAABC中，ZC=90o,假設(shè)a+b=14cm,c=IOcm,貝URt^ABC的面積是[ ]A、24C加2 B、36Crn2 C、48cm2 D、60cm29、*、y為正數(shù)，且I*2-4I+[y2-3]2=0,如果以*、y的長為直角邊作一個(gè)直角三角形，則以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為〔 〕A、5 B、25C、7 D、1510>在AABC中，AB=13cm,AC=15cm,高AD=12cm,求AABC的周長?！蔡崾荆簝煞N情況〕考點(diǎn)三：應(yīng)用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高例、如圖1所示，等腰中，假=AC,也是底邊上的高，假設(shè)陛=5皿BC=8即，求①AD的長；②ΔABC的面積.考點(diǎn)四：勾股數(shù)的應(yīng)用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問題1、以下各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是〔 〕A.4，5，6B,2，3，4C.11，12，13D,8，15，172、假設(shè)線段a，b，C組成直角三角形，則它們的比為〔 〕A、2：3：4 B、3：4：6C>5:12:13D、4：6：73、下面的三角形中:?△ABC中，/C=∠A-∠B;②AABC中，ZA：ZB：ZC=I:2：3;(3)ΔABC中，a：b:c=3:4：5;④AABC中，三邊長分別為8,15,17.其中是直角三角形的個(gè)數(shù)有〔〕.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)，假設(shè)三角形的三邊之比為走：!：1,則這個(gè)三角形一定是〔〕2√2A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.不等邊三角形5、a,b,C為^ABCm邊，且滿起a2-b2)(a2+b2-c2)=0,則它的形狀為〔 〕A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6、將直角三角形的三條邊長同時(shí)擴(kuò)一倍數(shù)，得到的三角形是()A.鈍角三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形7、假設(shè)AABC的三邊長a,b,c滿足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，試判斷AABC的形狀。8、AABC的兩邊分別為5,12,另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則C應(yīng)為，此三角形為。例3:求〔1〕假設(shè)三角形三條邊的長分別是7,24,25,則這個(gè)三角形的最大角是度?！?〕三角形三邊的比為1：、.3：2,則其最小角為。考點(diǎn)五:應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題*樓梯的側(cè)面視圖如圖3所示，其中√J5=4米，/劃C=3tT,/C=90。，因*種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為.考點(diǎn)六、利用列方程求線段的長〔方程思想〕1、小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到

地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛

好接觸地面，你能幫他算出來嗎.2、一架長2.5m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距

離墻底0.7m〔如圖〕，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，則梯子底端將向左滑動(dòng)米3、如圖，一個(gè)長為10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，貝力梯子底端的滑動(dòng)距離1米，〔填"大于〃，"等于〃，或"小于〃〕4、在一棵樹10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20m處的池塘A處；另外一只爬到樹頂D處后直接躍到A外，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高.5、如圖，是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸〔單位：mm〕計(jì)算兩圓孔中心A和B的距離為.606、如圖：有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米,一只小鳥從一棵樹的B樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了米.*z*7、如圖18-15所示，*人到一個(gè)荒島上去探寶，在A處登陸后，往東走8km,又往北走2km,遇到障礙后又往西走3km,再折向北方走到5km處往東一拐，僅1km就找到了寶藏，問：登陸點(diǎn)〔A處〕到寶藏埋藏點(diǎn)〔B處〕的直線8米Tl浮…卜140 68米。一日

第5題圖70.4米531CA22距離是多少.圖18-15考點(diǎn)七：折疊問題〔較難的一類〕1、如圖，有一直角三角形紙片，兩直角邊AC=6,BC=8,將AABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE,則CE等于〔 〕A.25TB.22^3C.D.74532、如下圖，AABC中，∠C=90°,AB的垂直平分線交BC于M,交AB于N,假設(shè)AC=4,MB=2MC,求AB的長.3、折疊矩形ABCD的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處,AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。4、如圖，在長方形ABCD中，DC=5,在DC邊上存在E,沿直線AE把AABC折疊，使點(diǎn)D恰好在BC邊上，一點(diǎn)設(shè)此點(diǎn)為F,假設(shè)AABF的面積為30,求折疊的AAED的面積5、如圖，矩形紙片ABCD的長AD=9cm,寬AB=3cm,將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，則折疊后DE的長是多少.6、如圖，在長方形ABCD中，將ABC沿AC對折至AEC位置，CE與AD交于點(diǎn)F。〔1〕試說明：AF=FC;〔2〕如果AB=3,BC=4,求AF的長7、如圖2所示，將長方形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D正好落在BC邊上F點(diǎn)處,CE=3cm,AB=8cm,則圖中陰影局部面積為8、如圖2-3,把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C'的位置上，AB=3BC=7,重合局部AEBD的面積為.9、〔難〕如圖5,將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E,交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G。如果M為CD邊的中點(diǎn)，求證：DE:DM:EM=3:4：5o10、如圖2-5,長方形ABCD中，AB=3,BC=4,假設(shè)將該矩形折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合,則折疊后痕跡EF的長為〔〕A.3.74B.3.75C,3.76D.3.7711、〔稍難〕如圖1-3-11,有一塊塑料矩形模板ABCD,長為10cm,寬為4cm,將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上〔不與A、D重合〕，在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)P：①能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C.假設(shè)能，請你求出這時(shí)AP的長；假設(shè)不能，請說明理由.②再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，直角邊PH始終通過點(diǎn)B,另一直角邊PF與DC的延長線交于點(diǎn)Q,與BC交于點(diǎn)E,能否使CE=2cm.假設(shè)能，請你求出這時(shí)AP的長；假設(shè)不能，請你說明理由. 尸λ"一-尸二 H〔提示：根據(jù)勾股定理，列出一元二次方程，超初二圍〕 ∕?.12、〔難〕如下圖，4ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜邊BC的中點(diǎn),E、F分別:>f是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF,假設(shè)BE=12,CF=5.求線段EF的長。.〔提示：連接AD,證^AED∕^CFD,可得AE=CF=5,AF=BE=12,即可求〕13〔好〕如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30°,點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周 圍100m以會(huì)受到噪音的影響，則拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方P向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響.請說明理由，如果受影響，拖拉機(jī)的速度為18km∕h,則學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒.考點(diǎn)八：應(yīng)用勾股定理解決勾股樹問題1、如下圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中1、如圖1,求該四邊形的面積2、，在^ABC中，∠A=45°,AC=4；2,AB=Y3+1,則邊BC的長為.3、〔好，稍難〕*公司的大門如下圖,其中四邊形ABCD是長方形,上部是以AD為直徑的半圓,其中AB=2.3m,BC=2m,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車,高為2.5m,寬為1.6m,問這輛卡車能否通過公司的大門"并說明你的理由4、將一根長24CnI的筷子置于地面直徑為5cm,高為12CnI的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長為hem,則h的取值圍。5、如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km,C、D為兩村莊，DA垂直AB于A,CB垂直AB于B,AD=15km,BC=IOkm,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E,使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站建在距A站多少千米處.考點(diǎn)十：其他圖形與直角三角形如圖是一塊地，AD=8m,CD=6m,ZD=90o,AB=26m,BC=24m,求這塊地的面積。考點(diǎn)十一：與展開圖有關(guān)的計(jì)算1、如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A'B,C,D,的外表上，求從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C的最短距離.2、如圖一個(gè)圓柱，底圓周長6cm,高4cm,一只螞蟻沿外壁爬行,

要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則最少要爬行cm3、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全

國各地農(nóng)村進(jìn)展電網(wǎng)改造，*地有四個(gè)村莊A、B、C、D,且正好位（圖1:）于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)總 Da DA DA D方案在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條 I jjgJr線路，他們設(shè)計(jì)了四種架設(shè)方B C1 CB ……」CA?7r?⑴⑵⑶⑷案，如圖實(shí)線局部.請你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線.+133考點(diǎn)十二、航海問題1、一輪船以16海里/時(shí)的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時(shí)以12海里/時(shí)的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過1.5小時(shí)后，它們相距 海里.2〔不難，考一元二次方程，超初二圍〕如圖，*貨船以24海里／時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正向的M處，在點(diǎn)A處測得*島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B處，此時(shí)又測得該島在北偏東30°的方向上，在C島周圍9海里的區(qū)域有暗礁，假設(shè)繼續(xù)向正向航行，該貨船有無暗礁危險(xiǎn).試說明理由。3、如圖，*沿海開放城市A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向260km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向以15km/h的速度向口移動(dòng)，城市A到BC的距離AD=100km,則臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn).如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞

的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)撤離才可脫離危險(xiǎn).考點(diǎn)十三、網(wǎng)格問題1、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊