第一章矩陣運(yùn)算與初等變換第二講

線性代數(shù)

教學(xué)目的：通過本節(jié)的教學(xué)使學(xué)生了解矩陣轉(zhuǎn)置的概念和分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的方法.

教學(xué)要求：理解分塊矩陣的概念，熟練掌握分塊矩陣的各種運(yùn)算，會計(jì)算矩陣多項(xiàng)式.

教學(xué)重點(diǎn)：矩陣轉(zhuǎn)置的運(yùn)算，矩陣多項(xiàng)式的運(yùn)算，分塊矩陣的方法，分塊矩陣的各種運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn)：分塊矩陣的乘法運(yùn)算.

教學(xué)時(shí)間：2學(xué)時(shí).2.4矩陣的轉(zhuǎn)置1.定義

定義2.4

設(shè)矩陣A不改變每行元素的相互順序,把A的行依此換成同序數(shù)的列所排成的矩陣,稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT.例如第一章方陣的轉(zhuǎn)置2.運(yùn)算律

這里僅證明4）

設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n.AB

=

C=(cij)m×n，BTAT=D=(dij)n×m.

顯然，要證明（AB)T=BTAT,只須證明cji=dij即可.因?yàn)?/p>

例1.已知求

(AB)T.

解法1：因?yàn)锳B=解法2：

§3分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算

一.分塊矩陣的定義

把一個(gè)階數(shù)較高的矩陣,用若干條橫線和豎線分成若干小矩陣,每一小矩陣都叫做矩陣的子塊

,以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.例如：將3×4矩陣分塊形式如下：矩陣的分塊

二.分塊矩陣的運(yùn)算

3.1矩陣的分塊加法運(yùn)算：同型矩陣,分法相同,對應(yīng)子塊相加.設(shè)A和B均為m×n矩陣,分法如下:其運(yùn)算律與矩陣的加法相同.3.2矩陣的分塊數(shù)乘運(yùn)算設(shè)分塊矩陣λ為常數(shù)，規(guī)定

3.3矩陣的分塊乘法運(yùn)算

設(shè)A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，分塊成其中例3.1設(shè)求AB.

解：把A,B分塊成所以其中于是3.4

分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)分塊矩陣則

4.1

對角矩陣

§4幾種特殊方陣設(shè)n階對角矩陣按矩陣的運(yùn)算法則,有

注:由于對角陣的和、差、乘積以及數(shù)乘的結(jié)果仍為對角陣,我們稱其為對角矩陣對矩陣線性運(yùn)算和乘法運(yùn)算的封閉性.

標(biāo)量矩陣:

4.2

上(下)三角形矩陣

請大家自行驗(yàn)證:上(下)三角形矩陣對矩陣的線性運(yùn)算和乘法運(yùn)算的封閉性.主對角線下(上)方元素全為0的方陣稱為上(下)三角形矩陣.例4.1設(shè)矩陣求AT,2A,A+B,AB

和BA.

4.3

對稱矩陣

顯然A為對稱陣的充要條件是AT=A.

另外,不難驗(yàn)證對稱矩陣關(guān)于矩陣的線性運(yùn)算是封閉的,而對矩陣的乘法運(yùn)算不具有封閉性.

4.4

反稱矩陣

顯然A為反稱矩陣的充要條件是AT=-A,特別的,反稱矩陣主對角線上的元素均為零.

另外,同理可證反稱矩陣關(guān)于矩陣的線性運(yùn)算也是封閉的,而對矩陣的乘法運(yùn)算不具有封閉性.

例4.2試證任意n階方陣都可分解為一個(gè)對稱矩陣和一個(gè)反稱矩陣之和.證對于任何n階方陣A,有A=?(A+A+AT－AT)=?(A+AT+A－AT)故A等于對稱矩陣與反稱矩陣之和.

例4.3設(shè)A是n階反稱矩陣，B是n階對稱矩陣，則AB+BA是n階反稱矩陣.

證(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=－BA－AB=－（AB+BA）所以，AB+BA為n階反稱矩陣.

4.5

分塊對角矩陣

設(shè)n階方陣A是一個(gè)分塊矩陣,如果其主對角線上的子塊全是方陣(階數(shù)可以不同),其余子塊均為零矩陣,則稱A為分塊對