高考中的圓錐曲線問(wèn)題第一課時(shí)

大一輪復(fù)習(xí)講義第1課時(shí)范圍與最值問(wèn)題高考專題突破五高考中的圓錐曲線問(wèn)題范圍問(wèn)題題型一師生共研例1如圖，已知點(diǎn)，證明：PM垂直于y軸；因?yàn)镻A，PB的中點(diǎn)在拋物線上，所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y軸解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題應(yīng)考慮的五個(gè)方面1利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍2利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系3利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍4利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍5利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍思維升華SIWEISHENGHUA2過(guò)點(diǎn)M4,0的直線l交橢圓于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范圍解當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，λ＝|MA|·|MB|＝12當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l：＝my＋4，A1，y1，B2，y2，最值問(wèn)題題型二多維探究命題點(diǎn)1利用三角函數(shù)有界性求最值例2過(guò)拋物線y2＝4的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則|AF|·|BF|的最小值是解析設(shè)直線AB的傾斜角為θ，√命題點(diǎn)2數(shù)形結(jié)合利用幾何性質(zhì)求最值例3在平面直角坐標(biāo)系Oy中，P為雙曲線2－y2＝到直線－y＋1＝0的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為_(kāi)___解析雙曲線2－y2＝1的漸近線為±y＝0，直線－y＋1＝0與漸近線－y＝0平行，命題點(diǎn)3轉(zhuǎn)化為函數(shù)利用基本不等式或二次函數(shù)求最值1求橢圓C的方程；2設(shè)斜率存在的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為 ，求△AOB面積的最大值解設(shè)A1，y1，B2，y2，設(shè)直線AB的方程為y＝＋m把y＝＋m代入橢圓方程，整理，得32＋12＋6m＋3m2－3＝0Δ＝362m2－432＋13m2－3＝362－12m2＋12>0∴|AB|2＝1＋22－12∴當(dāng)|AB|最大時(shí)，△AOB面積取得最大值處理圓錐曲線最值問(wèn)題的求解方法圓錐曲線中的最值問(wèn)題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)些參數(shù)的函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解思維升華SIWEISHENGHUA跟蹤訓(xùn)練22020·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)模擬已知拋物線C1：y2＝4和C2：2＝2pyp>0的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P－1，－1且F1F2⊥OPO為坐標(biāo)原點(diǎn)1求拋物線C2的方程；∴p＝2，∴拋物線C2的方程為2＝4y2過(guò)點(diǎn)O的直線交C1的下半部分于點(diǎn)M，交C2的左半部分于點(diǎn)N，求△PMN面積的最小值解設(shè)過(guò)點(diǎn)O的直線MN的方程為y＝<0，則S△N取得最小值，最小值為8即當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為y＝－時(shí)，△PMN的面積取得最小值8數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等“設(shè)而不求，整體代換”解圓錐曲線問(wèn)題核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算例2020·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考已知拋物線C：y2＝2m>0在拋物線C上，且|FA|＝2，過(guò)點(diǎn)F作斜率為的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)1求拋物線C的方程；解由拋物線的定義可得所以拋物線的方程為y2＝42求△APQ面積的取值范圍解設(shè)直線l的方程為y＝－1，P1，y1，Q2，y2，本例的解題過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，其中設(shè)出P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)而不求解又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)中的一個(gè)運(yùn)算技巧——設(shè)而不求，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程素養(yǎng)提升SUYANGTISHENG基礎(chǔ)保分練12019·全國(guó)100所名校聯(lián)考已知拋物線C：y2＝4，點(diǎn)Am,0在軸正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若拋物線上存在點(diǎn)的取值范圍是A0,4 B4，＋∞ C0,2 D2，＋∞課時(shí)精練√12345678910111213141516解析由題意得F－1,0，設(shè)P，y，√1234567891011121314151612345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√解析由于以O(shè)為圓心，以b為半徑的圓內(nèi)切于橢圓，所以要使以O(shè)為圓心，以c為半徑的圓與橢圓恒有公共點(diǎn)，需滿足c≥b，則c2≥b2＝a2－c2，所以2c2≥a2，1234567891011121314151652020·煙臺(tái)模擬已知直線l1：＝2，l2：3＋5y－30＝0，點(diǎn)P為拋物線y2＝－8上的任一點(diǎn)，則P到直線l1，l2的距離之和的最小值為解析∵拋物線y2＝－8的焦點(diǎn)為F－2,0，準(zhǔn)線為l1：＝2，∴P到l1的距離等于|PF|，又易知l2與拋物線無(wú)交點(diǎn)，∴P到直線l1，l2的距離之和的最小值為√又e>1，所以1<e≤123456789101112131415161，F(xiàn)2分別是雙曲線 a>0，b>0的左、右焦點(diǎn)，雙曲線左支上存在一點(diǎn)P使|PF2|2＝8a|PF1|a為實(shí)半軸長(zhǎng)成立，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是A1，＋∞ B2,3] C1,3] D1,2]解析由P是雙曲線左支上一點(diǎn)及雙曲線的定義，得|PF2|＝2a＋|PF1|，所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，√123456789101112131415167多選已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線y＝2上不同于O的兩點(diǎn)，OA⊥OB，下列結(jié)論中正確的是A|OA|·|OB|≥2B|OA|＋|OB|≥2＝2的焦點(diǎn)的距離小于等于1√√√12345678910111213141516當(dāng)且僅當(dāng)1＝±1時(shí)取等號(hào)，正確；12345678910111213141516解得a＝2，由橢圓定義得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，即|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，而由焦點(diǎn)弦性質(zhì)，知當(dāng)AB⊥軸時(shí)，71234567891011121314151692019·呼和浩特模擬已知拋物線y2＝2mm>0的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓的方程為2＋y2－2－2ty＋t2－15＝0，則m＝____6解析由題意可知圓的方程為2＋y2－2－2ty＋t2－15＝0，即－12＋y－t2＝16，可得弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，圓的半徑為4，設(shè)A1，y1，B2，y2，則1＋2＝2，所以1＋2＋m＝8，可得m＝612345678910111213141516＝a2－1a≠0上恒有關(guān)于直線＋y＝0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A，B，則a的取值范圍是__________12345678910111213141516解析設(shè)拋物線上的兩點(diǎn)為A1，y1，B2，y2，直線AB的方程為y＝＋b，代入拋物線方程y＝a2－1，得a2－－b＋1＝0，設(shè)直線AB的中點(diǎn)為M0，y0，由于M0，y0在直線＋y＝0上，故0＋y0＝0，12345678910111213141516112019·全國(guó)Ⅱ已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＝1a>b>0的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)1若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；解連接PF1圖略由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，123456789101112131415162如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍即c|y|＝16， ①2＋y2＝c2， ②12345678910111213141516解由題意可知，若滿足條件的點(diǎn)P，y存在，1234567891011121314151612345678910111213141516則b2＝a2－c2＝21234567891011121314151612345678910111213141516當(dāng)直線l與軸不重合，設(shè)直線l的方程為＝ty＋1，設(shè)A1，y1，B2，y2，12345678910111213141516此時(shí)直線l的方程為＝1，技能提升練12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516：y2＝上一點(diǎn)M1，－1，點(diǎn)A，B是拋物線C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且 ＝0，則點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值是_____解析設(shè)直線AB的方程為＝my＋n，A1，y1，B2，y2，即y2－my－n＝0，所以y1y2＝－n，y1＋y2＝m，Δ＝m2＋4n>0，所以1－12－1＋y1＋1y2＋1＝0，1234567891011121314151612345678910111213141516y1＋1y2＋1＝0，解得y1＋1y2＋1＝0或y1－1y2－1＋1＝0，化簡(jiǎn)可得－n＋m＋1＝0或－n－m＋2＝0，當(dāng)y1＋1y2＋1＝0時(shí)，易知，M與A，B中一點(diǎn)重合，M到AB的距離為0所以－n－m＋2＝0，即n＝2－m所以直線AB的方程為＝my＋2－m，即－2＝my－1，故直線AB過(guò)定點(diǎn)C2,1，當(dāng)MC垂直于直線AB時(shí)，點(diǎn)M到直線AB的距離取得最大值，拓展沖刺練12345678910111213141516√12345678910111213141516解析由題意可得2a＝4，即a＝2由圓2＋y2－4y＝0可得圓心C0,2，半徑r＝2，由|MF1|－|MF2|＝4可得點(diǎn)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，得|MN|＋|MF1|＝4＋|MN|＋|MF2|≥|F2N|＋4，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)F2到圓C上點(diǎn)的最小距離，∴|F2N|的最小值為|CF2|－2＝1，則|MN|＋|MF1|的最小值為4＋1＝5123456789101112131415161求橢圓C的方程；解由已知得A－a,0，B0，b，12345678910