一種高穩(wěn)定性快速收斂非線性-線性跟蹤微分器的設(shè)計(jì)

一種高穩(wěn)定性快速收斂非線性-線性跟蹤微分器的設(shè)計(jì)

提取差分信號對參數(shù)估計(jì)、處理器和控制器的設(shè)計(jì)非常重要。在經(jīng)典的調(diào)整法中，采用了以較小的一階性噪聲為計(jì)算輸入信號的微分，但由于不可避免的噪聲放大效應(yīng)，結(jié)果中的噪聲非常大，甚至堵塞了差分信號。針對此問題,韓京清研究員設(shè)計(jì)了非線性跟蹤微分器來獲得參考信號的微分信號,并指出由跟蹤微分器得到的跟蹤信號和微分信號分別是在平均收斂和弱收斂意義下對原函數(shù)及其廣義導(dǎo)數(shù)的光滑逼近.但是,由于跟蹤微分器采用了開關(guān)函數(shù),其Bang-Bang特性導(dǎo)致跟蹤輸出振顫十分明顯,因此文獻(xiàn)基于最速控制綜合函數(shù)(fhan)構(gòu)造了離散形式的跟蹤微分器(discreteformoftrackingdifferentiator,DTD),并在極值點(diǎn)附近設(shè)置線性區(qū)域以去除振顫.為了簡化文獻(xiàn)中跟蹤微分器的fhan函數(shù)的復(fù)雜形式,文獻(xiàn)通過在系統(tǒng)中同時引入線性環(huán)節(jié)和非線性環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了在接近和遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時都能以較快速度收斂的全程快速跟蹤微分器(nonlineartracking-differentiatorwithhighspeedinwholecourse,HSTD),但由于在系統(tǒng)極點(diǎn)附近使用了非光滑的分?jǐn)?shù)指數(shù)函數(shù),導(dǎo)致跟蹤信號明顯振顫,且仿真表明系統(tǒng)微分方程組極易產(chǎn)生復(fù)數(shù)狀態(tài)解而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定.文獻(xiàn)提出了一種改進(jìn)的非線性跟蹤微分器希望減小振顫,但該跟蹤微分器參數(shù)多,同樣易產(chǎn)生復(fù)數(shù)解導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定或跟蹤結(jié)果仍有較大振顫.為了改善上述跟蹤微分器函數(shù)形式復(fù)雜、參數(shù)多、穩(wěn)定性差和輸出存在明顯振顫的問題,本文設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的高穩(wěn)快速非線性-線性跟蹤微分器(modifiednonlinear-lineartrackingdifferentiatorwithhighstabilityandhighspeed,MTD).該跟蹤微分器參數(shù)的數(shù)目較少且物理意義明確.在跟蹤過程中,當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時,MTD以指數(shù)函數(shù)為主快速趨近平衡點(diǎn);在到達(dá)平衡點(diǎn)附近時,則以線性函數(shù)為主平穩(wěn)逼近.與DTD、HSTD等其他跟蹤微分器系統(tǒng)相比,本文方法具有以下優(yōu)勢:①簡化了參數(shù)的整定過程;②去除了系統(tǒng)參數(shù)產(chǎn)生復(fù)數(shù)解的可能性,極大提升了系統(tǒng)穩(wěn)定性;③使系統(tǒng)采用最短路徑向平衡點(diǎn)收斂,且去除了系統(tǒng)輸出在平衡點(diǎn)附近產(chǎn)生振顫的非線性因素,保證了跟蹤輸出和微分輸出的快速收斂和無振顫.1系統(tǒng)狀態(tài)變量的計(jì)算為了便于分析,將全程快速跟蹤微分器(HSTD)原理簡述如下.定理1有如下系統(tǒng)Σ0˙x1(t)=x2(t)˙x2(t)=R2[-a0(x1-v(t))-a1(x1-v(t))m/n-b0x2R-b1(x2R)m/n]}(1)式中:X=[x1(t),x2(t)]T∈R2為系統(tǒng)Σ0的狀態(tài)變量,t∈[0,T];R為時間尺度;a0、a1、b0、b1為比例參數(shù).若時間尺度R和系統(tǒng)的比例參數(shù)a0、a1、b0、b1均為正數(shù),m、n為大于0的奇數(shù),且m<n,那么對于給定參考輸入v(t)∈[0,∞),limR→∞x1(t)=v(t).定理1的證明見文獻(xiàn).分析系統(tǒng)參數(shù),Σ0共有7個參數(shù),且m、n均為正奇數(shù),所以當(dāng)m/n為分?jǐn)?shù)且x1(t)-v(t)<0時,微分方程組出現(xiàn)復(fù)數(shù)解,導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定.分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu),在接近平衡點(diǎn)時,Σ0中非光滑的分?jǐn)?shù)指數(shù)函數(shù)-a1R2(x1-v(t))m/n-b1R2(x2R)m/n在HSTD中起主導(dǎo)作用,導(dǎo)致跟蹤輸出產(chǎn)生了明顯振顫.2mtd的非線性-線性跟蹤微分器mtd結(jié)構(gòu)為了設(shè)計(jì)高穩(wěn)快速非線性-線性跟蹤微分器,先給出并證明以下引理.引理有如下系統(tǒng)Σ1˙z1(h)=z2(h)˙z2(h)=-a(z1(h)+z2(h))-b(z1(h)m+z2(h)m)}(2)式中:Z=[z1(h),z2(h)]T∈R2為系統(tǒng)Σ1的狀態(tài)變量,h∈[0,T]為時間.如果系統(tǒng)的比例參數(shù)a、b為正數(shù),指數(shù)m為奇數(shù),且m>2,那么系統(tǒng)Σ1滿足Lyapunov漸近穩(wěn)定條件,即limh→∞z1(h)=0；limh→∞z2(h)=0(3)證明根據(jù)Lyapunov直接法,選取Lyapunov函數(shù)V(z1,z2)=bm+1zm+11+a2z21+12z22≥0當(dāng)且僅當(dāng)z1=0、z2=0時,V(z1,z2)=0,且˙V(z1,z2)=?V(z1,z2)?z1z2+?V(z1,z2)?z2z1=-az22-bzm+12≤0當(dāng)且僅當(dāng)z1=0、z2=0時,˙V(z1,z2)=0.因此系統(tǒng)Σ1漸近穩(wěn)定,即式(3)成立.引理得證.定理2有如下系統(tǒng)Σ˙x1(t)=x2(t)˙x2(t)=-aR2［(x1(t)-v(t))+x2(t)R}-bR2[(x1(t)-v(t))m+(x2(t)R)m]}(4)式中:X=[x1(t),x2(t)]T∈R2為系統(tǒng)Σ的狀態(tài)變量,t∈[0,T].如果R,a,b>0,m為奇數(shù),且m>2,那么系統(tǒng)Σ對于任意有界可積的輸入信號v(t),t∈[0,T]系統(tǒng)解滿足limR→∞∫Τ0|x1(t)-v(t)|dt=0(5)證明根據(jù)引理并以引理中系統(tǒng)Σ1為參照系統(tǒng)來證明定理2.將輸入信號v(t)分為2種情況考慮.(1)v(t)為常值,t∈[0,T].令v(t)=c,h=Rt,則z1(h)=x1(t)-c,z2(h)=x2(t)R,代入系統(tǒng)Σ1,整理后得˙x1(t)=x2(t)˙x2(t)=-aR2[(x1(t)-c)+x2(t)R]-bR2[(x1(t)-c)m+(x2(t)R)m]}(6)式(6)即為當(dāng)v(t)=c時系統(tǒng)Σ的形式.由此可知系統(tǒng)Σ與系統(tǒng)Σ1等價,且t∈[0,T]時,R→∞等價于h→∞.因此,由式(3)得limR→∞z1(Rt)=0,即limR→∞∫0Τ|x1(t)-c|dt=0(7)(2)v(t)∈[0,∞),t∈[0,T]為一般的有界可積函數(shù).存在一函數(shù)序列vd(i),i=1,2,…,N一致收斂于v(t),v(t)與vN(i)的逼近關(guān)系如圖1所示.對于任意給定的ε>0,存在N0,使M滿足M>N0>0時下式成立∫τiτi+Τi|v(t)-vd(i)|dt<ε2Μ式中:[τi,τi+Ti]為[0,T]中第i個子區(qū)間.因此,有下式成立∑i=1Μ∫τiτi+Τi|v(t)-vd(i)|dt<ε2ΜΜ=ε2(8)另一方面,根據(jù)引理和式(7)可知,在每個子區(qū)間[τi,τi+Ti]內(nèi),有l(wèi)imR→∞(x1(t)-vd(i))=0,即存在R0,使R滿足R>R0>0時下式成立∫τiτi+Τi|x1(t)-vd(i)|dt<ε2Μ因此,在[0,T]內(nèi)有∑i=1Μ∫τiτi+Τi|x1(t)-vd(i)|dt<ε2ΜΜ=ε2(9)由式(8)、式(9)可知,當(dāng)R>R0時下式成立∫0Τ|x1(t)-v(t)|dt≤∑i=1Μ∫τiτi+Τi|x1(t)-v(t)|dt≤∑i=1Μ∫τiτi+Τi|x1(t)-vd(i)|dt+∑i=1Μ∫τiτi+Τi|v(t)-vd(i)|dt<ε即limR→∞∫0Τ|x1(t)-v(t)|dt=0.因此,v(t)不論是常數(shù)還是一般有界可積函數(shù),式(5)均成立.由此,定理2得證.將滿足定理2條件的系統(tǒng)Σ定義為改進(jìn)的穩(wěn)定性快速非線性-線性跟蹤微分器(MTD).分析MTD系統(tǒng)Σ結(jié)構(gòu),在狀態(tài)X的收斂過程中,非線性環(huán)節(jié)-bR2(x1(t)-v(t))m+x2(t)Rm在系統(tǒng)中的比例逐漸減小,而線性環(huán)節(jié)-aR2·(x1(t)-v(t))+x2(t)R的比例逐漸增大,因此整個收斂過程就是一個系統(tǒng)Σ結(jié)構(gòu)連續(xù)調(diào)整的過程,引起系統(tǒng)Σ狀態(tài)輸出振顫的非線性因素將以指數(shù)函數(shù)速度快速減小至忽略不計(jì).為了便于分析,將MTD跟蹤輸入信號和產(chǎn)生微分信號的過程簡化為以下2個步驟.(1)當(dāng)?shù)葍r系統(tǒng)Σ1的狀態(tài)Z由遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)處向平衡點(diǎn)(0,0)運(yùn)動時,|Z|≥1.因?yàn)閙>2,所以|Z|m?|Z|,此時非線性部分在系統(tǒng)中起決定作用.系統(tǒng)Σ和Σ1分別近似簡化為以下結(jié)構(gòu)x˙1(t)=x2(t)x˙2(t)=-bR2(x1(t)-v(t))m-bR2(x2(t)R)m}(10)z˙1(h)=z2(h)z˙2(h)=-bz1(h)m-bz2(h)m}(11)(2)當(dāng)?shù)葍r系統(tǒng)Σ1的狀態(tài)Z運(yùn)動至接近平衡點(diǎn)(0,0)時,|Z|<1.因?yàn)閙>2,所以|Z|?|Z|m,此時線性部分起主要作用.系統(tǒng)Σ和Σ1分別近似簡化為x˙1(t)=x2(t)x˙2(t)=-aR2(x1(t)-v(t))-aRx2(t)}(12)z˙1(h)=z2(h)z˙2(h)=-az1(h)-az2(h)}(13)與引理及定理2的證明過程類似,可證得系統(tǒng)式(10)、式(12)均漸近穩(wěn)定.在步驟(1)中,系統(tǒng)Σ的冪指數(shù)m取值為正奇數(shù),排除了產(chǎn)生復(fù)數(shù)解可能性,保證了系統(tǒng)穩(wěn)定,且根據(jù)指數(shù)函數(shù)特性,系統(tǒng)Σ以最短路徑趨近平衡點(diǎn),收斂速度明顯快于全程快速跟蹤微分器.在步驟(2)中,根據(jù)線性函數(shù)特性可知系統(tǒng)的輸出無振顫.3不同mtd的跟蹤誤差與HSTD有7個參數(shù)相比,MTD只有4個參數(shù)R、a、b、m,且都具有明確的物理意義:R為系統(tǒng)時間尺度,是代表系統(tǒng)響應(yīng)快慢程度的指標(biāo);a、b分別為線性環(huán)節(jié)和非線性環(huán)節(jié)的相對比重;為避免因產(chǎn)生復(fù)數(shù)解而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定,冪指數(shù)m設(shè)置為正奇數(shù).R越大系統(tǒng)的跟蹤速度越快;b/a越大,非線性環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中比重越高,系統(tǒng)跟蹤速度越快;而m越大,系統(tǒng)在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)區(qū)域的收斂越快,系統(tǒng)跟蹤速度也越快.當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離(0,0)時,Σ近似為式(10).設(shè)跟蹤誤差e(t)=v(t)-x1(t),并滿足下式e(t)m=x¨1(t)+bR2(x˙1(t)R)m/[bR2(-1)m+1]上式兩邊取絕對值后開方得e(t)=|x¨1(t)bR2+(x˙1(t)R)m|1/m(14)當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近平衡點(diǎn)(0,0)時,Σ近似為式(9),則跟蹤誤差滿足e(t)=x¨1(t)+aRx˙1(t)aR2(15)由式(14)、式(15)可知,MTD的跟蹤誤差主要由時間尺度R控制,R越大誤差越小,同時a、b增大也會使跟蹤誤差減小.但是,R過大會使系統(tǒng)因過于敏感而導(dǎo)致噪聲放大;b/a過大會使系統(tǒng)近似為式(10)表示的非線性跟蹤微分器,引起輸出振顫,b/a過小會使系統(tǒng)近似為式(12)表示的線性跟蹤微分器,引起動態(tài)響應(yīng)快速性與超調(diào)之間的矛盾;m過大會增加系統(tǒng)復(fù)雜度.因此,R、a、b、m都不宜過大.4模擬實(shí)驗(yàn)4.1mtd動態(tài)響應(yīng)特性仿真1時間尺度對MTD跟蹤性能的影響.為了分析時間尺度R對MTD跟蹤性能的影響,令a=b=5,m=3,分別在R=10,40,80,120時對MTD跟蹤單位階躍信號進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖2所示.其中,圖2b的MTD的階躍輸入信號附加了方差0.01的隨機(jī)白噪聲w(t).由圖2a可以看出,隨著時間尺度R增大,MTD跟蹤速度逐漸變快,但R>80后,跟蹤變快趨勢變緩.由圖2b可以看出,隨著R增大和跟蹤速度的加快,MTD對噪聲敏感度增強(qiáng),系統(tǒng)濾噪能力減弱.因此,在選擇MTD時間尺度參數(shù)時,應(yīng)綜合考慮MTD動態(tài)響應(yīng)速度和輸出抗噪能力.仿真2比例系數(shù)對MTD跟蹤性能的影響.為了分析線性環(huán)節(jié)系數(shù)a與非線性環(huán)節(jié)系數(shù)b之間的比例變化對MTD跟蹤性能的影響,令m=3,R=40,b=5,分別在a=0,0.1,0.5時對MTD跟蹤單位階躍信號進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖3所示.可以看出,隨著a取值的增大,線性環(huán)節(jié)在MTD中比重增大,非線性環(huán)節(jié)在MTD中比重相對減小,有效地抑制了由非線性環(huán)節(jié)引起的MTD輸出振顫.4.2跟蹤微分器仿真對MTD的跟蹤和微分輸出性能進(jìn)行了仿真驗(yàn)證.因?yàn)镠STD具有不穩(wěn)定性,因此只對目前較常使用的DTD、如式(9)所示的線性跟蹤微分器(lineartrackingdifferentiator,LTD)和MTD性能進(jìn)行仿真比較.3種跟蹤微分器采用的最佳參數(shù)組合如表1所示.仿真1跟蹤階躍信號.對3種跟蹤微分器跟蹤單位階躍信號(幅值為1V)的過程進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖4所示.由圖4a、4b可以看出,DTD和LTD的跟蹤曲線存在20%左右的超調(diào),且由于存在動態(tài)響應(yīng)時間與超調(diào)間的矛盾,LTD為了減小超調(diào)而使調(diào)節(jié)時間較長,而MTD以最快速度穩(wěn)定無超調(diào)地跟蹤了參考信號.圖4c、4d分別給出了3種跟蹤微分器的微分輸出曲線和微分誤差局部放大曲線,可以看出DTD和LTD的微分輸出均有較長的動態(tài)調(diào)節(jié)時間,而MTD的輸出曲線無波動地迅速跟蹤了微分信號,效果最好.仿真2跟蹤余弦信號.對3種跟蹤微分器跟蹤輸入信號v(t)=cos(4t)的過程進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖5所示.由圖5a、5b可以看出,DTD和LTD啟動時有明顯超調(diào),而MTD以最快速度無超調(diào)地進(jìn)入跟蹤過程;跟蹤過程中DTD和MTD的跟蹤誤差相當(dāng),均小于LTD.由圖5c、5d所示的微分信號輸出曲線和微分輸出誤差局部放大曲線可以看出,DTD和LTD在初始時刻存在一定波動,而MTD迅速平穩(wěn)輸出微分信號,動態(tài)響應(yīng)時間最短.仿真3跟蹤加噪余弦信號.如圖6a所示,給仿真2輸入信號施加方差0.01的隨機(jī)白噪聲w(t),即v(t)=w(t)+cos(4t).對跟蹤微分器跟蹤有噪信號v(t)的過程進(jìn)行仿真,以驗(yàn)證MTD的濾波性能,結(jié)果見圖6b、6c.因?yàn)長TD本質(zhì)為一個低通濾波器,本身具有較強(qiáng)的濾波特性,因此只對DTD和MTD進(jìn)行仿真.由圖6b可以看出,MTD和DTD的濾波效果相當(dāng),但由圖6c可以看出,MTD響應(yīng)速度更快.由以上3種仿真可以看出:與LTD相比,引入非線性環(huán)節(jié)使得MTD具有更好的動態(tài)特性,響應(yīng)速度更快,跟蹤超調(diào)更小,且穩(wěn)態(tài)跟蹤誤