專(zhuān)題一矩陣與變換

第5頁(yè)共11頁(yè)專(zhuān)題一矩陣與變換一．《考試說(shuō)明》呈現(xiàn)內(nèi)容要求ABC矩陣與變換矩陣的概念√二階矩陣與平面向量√常見(jiàn)的平面變換√矩陣的復(fù)合與矩陣的乘法√二階逆矩陣√二階矩陣的特征值和特征向量√二階矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用√二．主要內(nèi)容解讀1．矩陣變換注意：矩陣與矩陣意義不同是先施加矩陣B對(duì)應(yīng)的變換，再施加矩陣A對(duì)應(yīng)的變換；是先施加矩陣A對(duì)應(yīng)的變換，再施加矩陣B對(duì)應(yīng)的變換．2．矩陣的運(yùn)算、逆矩陣逆矩陣的求法：（1）定義法；（2）公式法．3．特征值和特征向量設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果對(duì)于實(shí)數(shù)，存在一個(gè)非零向量，使得，那么稱(chēng)為的一個(gè)特征值，而稱(chēng)為A的屬于特征值的一個(gè)特征向量．特征值和特征向量的求法：（1）寫(xiě)出A的特征多項(xiàng)式，（2）求出的根，（3）將代入的二元一次方程組，（4）寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一組非零解．三．高考試題展示1．（08年江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線(xiàn)，求的方程．[解析]本題主要考察曲線(xiàn)在矩陣變換下的變化特點(diǎn)，考察運(yùn)算求解能力．滿(mǎn)分10分．解：設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)，則有，即，所以又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故，從而，所以，曲線(xiàn)的方程是：．2．（09年江蘇）求矩陣的逆矩陣．[解析]本題主要考查逆矩陣的求法，考查運(yùn)算求解能力．滿(mǎn)分10分．解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為則即故解得：，從而A的逆矩陣為.3．（10年江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0,0），B（-3,0），C（-2,1）,設(shè)k≠0，k∈R，M=,N=,點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)A1，B1，C1，△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求實(shí)數(shù)k的值．[解析]本題主要考查矩陣的乘法運(yùn)算及變換．滿(mǎn)分10分．解：，由，知A1（0,0），B1（0，-3），C1（k，-2）．∵，∴，∴．4．（11年江蘇）已知矩陣，向量．求向量，使得．[解析]本題主要考查矩陣的乘法運(yùn)算．滿(mǎn)分10分．解：設(shè)，由得：，，，．四．試題分類(lèi)匯總1．矩陣變換題1：（2010南京一模）在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0），B（2，0），C（2，1），求△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積，這里矩陣：，．題2：（2009年南京一模）已知矩陣，．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線(xiàn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線(xiàn)，求曲線(xiàn)的方程．題3：（2011年蘇、錫、常、鎮(zhèn)二模）求圓在矩陣對(duì)應(yīng)變換作用下的曲線(xiàn)方程．題4：（2011年南京二模）求曲線(xiàn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線(xiàn)的方程．題5：（2011年南通二模）已知圓C：在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)闄E圓，求a，b的值．題6：（2010年南京二模）如果曲線(xiàn)在矩陣的作用下變換得到曲線(xiàn)，求的值．題7：（2011年蘇、錫、常、鎮(zhèn)一模）已知直角坐標(biāo)平面上的一個(gè)變換是先繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再作關(guān)于軸反射變換，求這個(gè)變換的逆變換的矩陣．2．矩陣的運(yùn)算、逆矩陣題8：（2009南通二模）已知,求矩陣B.題9：（2010鹽城二模）求使等式成立的矩陣．題10：（2009南京二模）已知二階矩陣M滿(mǎn)足，求．題11：（2010南通一模）若點(diǎn)A（2，2）在矩陣對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B（－2，2），求矩陣M的逆矩陣．題12：（2010年鹽城一模）已知二階矩陣A有特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，求矩陣A的逆矩陣．3．特征值和特征向量題13：（2010年南通二模）求矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量.題14：（2009年蘇、錫、常、鎮(zhèn)二模）已知矩陣，其中，若點(diǎn)在矩陣的變換下得到點(diǎn)，（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求矩陣的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量.題15：（2011年鹽城一模）已知矩陣=的一個(gè)特征值為3，求其另一個(gè)特征值．題16：（2011年南京一模）已知為矩陣屬于的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)，的值及．題17：（2010年蘇、錫、常、鎮(zhèn)二模）一個(gè)的矩陣有兩個(gè)特征值：，其中對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，求．參考答案：題1：解：，由，知，，，．題2：解：由題設(shè)得,設(shè)是直線(xiàn)上任意一點(diǎn),點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)?則有,即,所以．因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上,從而,即：，所以曲線(xiàn)的方程為．題3：解：設(shè)是圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)是在矩陣對(duì)應(yīng)變換作用下的新曲線(xiàn)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則，…………………3分則，所以，…………………6分將代入，得．…………………8分所以所求曲線(xiàn)方程為．…………………10分題4：解：設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，它在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)，由，得，解得，………5分因?yàn)樵谇€(xiàn)上，所以，所以，即．所以所求曲線(xiàn)的方程為：．…………………10分題5：解：設(shè)為圓C上的任意一點(diǎn)，在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)榱硪粋€(gè)點(diǎn)，則，即…………………4分又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以．由已知條件可知，，所以a2=9，b2=4．因?yàn)閍>0，b>0，所以a=3，b=2．………………10分題6：解：設(shè)是曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下，得到的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上．由，得，代入，得：，又因?yàn)樵谏?，所以，所以，解得，所以．題7：解：這個(gè)變換的逆變換是先作關(guān)于軸反射變換，再作繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)變換，…2分其矩陣是…………………6分?！?0分題8：解：設(shè)，……2分則有，，…………………5分得………………8分，所以因此.……10分題9：解：設(shè)，則，…………5分則，即．…………………10分題10：解：（方法一）設(shè)，則，得，，即．…………………4分所以…………………8分．…………………10分（方法二）設(shè)，由，得，所以，．由，得，所以，，所以．………6分所以，……8分所以．……10分題11：解：，即，………………4分所以解得…………………6分所以．由，得．………10分另解：＝1，．另解：，看作繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°旋轉(zhuǎn)變換矩陣，于是．題12：解：設(shè)二階矩陣，則有，且，則，且，解得．……5分所以，從而．……10分題13：解：特征多項(xiàng)式，……………3分由，解得.……6分將代入特征方程組，得.可取為屬于特征值1=1的一個(gè)特征向量．………………8分將代入特征方程組,得.可取為屬于特征值的一個(gè)特征向量．綜上所述,矩陣有兩個(gè)特征值；屬于的一個(gè)特征向量為，屬于的一個(gè)特征向量為．…………………10分題14：解：（1）由=，…………………2分∴.…………………3分（2）由（1）知，則矩陣的特征多項(xiàng)式為．……5分令，得矩陣的特征值為與4.………………6分當(dāng)時(shí)，，∴矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量為；……8分當(dāng)時(shí)，．∴矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量為.…………10分題15：解：矩陣的特征多項(xiàng)式為．………4分因?yàn)槭欠匠痰囊桓?，所以．…?分由得，所以矩陣的另一