初中數(shù)學(xué)幾何難題及答案

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*■*斗?,看.?公?￡口,：o.日一日初中數(shù)學(xué)幾何難題及答ZS歲*a-D案文件排版存檔編號(hào)：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何難題及答案[1]經(jīng)典難題（一）1、已知:如圖,O是半圓的圓心”、E是圓上的兩點(diǎn),CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.求證：CD=GF.（初二）2、已知：如圖,P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，∠PAD=∠PDA=150.求證:APBC是正三角形.（初二）3、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn).求證：四邊形A2B2C2D2是正方形.（初二）4、已知：如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn),AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F.求證：∠DEN=∠F.APCDBAFGCEBODD2C2B2A2D1C1B1CBDAA1NFECDPCGFBQADE1、已知：△ABC中,H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O為外心,且OM⊥BC于M. （1）求證:AH=2OM; （2）若∠BAC=600,求證:AH=AO.（初二）2、設(shè)MN是圓O外一直線,過(guò)O作OA⊥MN于A,自A引圓的兩條直線,交圓于B、C及D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q.求證:AP=AQ.（初二）3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN是圓O的弦,過(guò)MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE,設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q.求證:AP=AQ.（初二）4、如圖,分別以AABC的AC和BC為一邊,在AABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG,點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).求證:點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半.（初二）ADHEMCBO?GAODBECQPNMOQPBDECNM?A1、如圖，四邊形ABCD為正方形,DE〃AC,AE=AC,AE與CD相交于F.求證:CE=CF.（初二）2、如圖，四邊形ABCD為正方形,DE〃AC,且CE=CA,直線EC交DA延長(zhǎng)線于F.求證:AE=AF.（初二）3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn),PF⊥AP,CF平分∠DCE.求證：PA=PF.（初二）4、如圖,PC切圓O于C,AC為圓的直徑,PEF為圓的割線,AE、AF與直線PO相交于B、D.求證:AB=DC,BC=AD.（初三）DAFDECBEDACBFFEPCBAODBFAECP1、已知：△ABC是正三角形,P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA=3,PB=4,PC=5.求：∠APB的度數(shù).（初二）2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn),且∠PBA=∠PDA.求證：∠PAB=∠PCB.（初二）3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形,求證:AB?CD+AD?BC=AC?BD.（初三）4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn),AE與CF相交于P,且AE=CF.求證：∠DPA=∠DPC.（初二）APCBPADCBCBDAFPDECBA1、設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正AABC內(nèi)任一點(diǎn)，L=PA+PB+PC,求證：≤L<2.2、已知出是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值.3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的邊長(zhǎng).4、如圖，^ABC中，∠ABC=∠ACB=800,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，∠DCA=300,∠EBA=200,求∠BED的度數(shù).APCBACBPDEDAACBPD.如下圖做GH⊥AB,連接EO。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以∠GFH=∠OEG,即^GHFs^oge,可得EOGFGOGHCOCD,又CO=EO,所以CD=GF得證。.如下圖做ADGC使與AADP全等,可得^PDG為等邊△,從而可得△DGCg^APD^^CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150所以∠DCP=300,從而得出APBC是正三角形.如下圖連接BC1和AB1分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn)，連接EB2并延長(zhǎng)交C2Q于H點(diǎn)，連接FB2并延長(zhǎng)交A2Q于G點(diǎn)，由A2E=12A1B1=12B1C1=FB2,EB2=12AB=12BC=FC1,又∠GFQ+∠Q=900和NGEB2+∠Q=900,所以NGEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2,可得△B2FC204A2EB2,所以A2B2=B2C2,又NGFQ+NHB2F=900和NGFQ=NEB2A2,從而可得NA2B2C2=900,同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q,連接QN和QM,所以可得NQMF=NF,NQNM=NDEN和NQMN=NQNM,從而得出NDEN=NF。經(jīng)典難題(二)1.(1)延長(zhǎng)AD至IJF連BF/故OG⊥AF,又NF=NACB=NBHD,可得BH=BF,從而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接OB,OC,既得NBOC=1200,從而可得NBOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。.作OF⊥CD,OG⊥BE,連接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。由于22ADACCDFDFDABAEBEBGBG====,由此可得AADF^△ABG,從而可得NAFC=NAGE。又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得NAFC=NAOP和NAGE=NAOQ,ZAOp=ZAOQ,從而可得AP=AQ。.過(guò)E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG,CI,FH?？傻肞Q=2EGFH+o由AEGA^ΔAIC,可得EG=AI,由4BFH^?CBI,可得FH=BI。從而可得PQ=2AIBI+=2AB,從而得證。經(jīng)典難題（三）.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ΔADE,到ΔABG,連接CG.由于NABG=NADE=900+450=1350從而可得B,G,D在一條直線上,可得ΔAGB0?CGBo推出AE=AG=AC=GC,可得ΔAGC為等邊三角形。NAGB=300,既得NEAC=300,從而可得NAEC=750o又NEFC=NDFA=450+300=750.可證:CE=CFo.連接BD作CH⊥DE,可得四邊形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH,可得NCEH=300,所以NCAE=NCEA=NAED=150,又NFAE=900+450+150=1500,從而可知道NF=150,從而得出AE=AFo.作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC為正方形。令A(yù)B=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-XotanNBAP=tanNEPF=XYZYXZ+,可得YZ=XY-X2+XZ,即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出^ABP04PEF,得到PA=PF,得證。經(jīng)典難題(四).順時(shí)針旋轉(zhuǎn)^ABP600,連接PQ,則APBQ是正三角形?？傻胇PQC是直角三角形。所以∠APB=15000.作過(guò)P點(diǎn)平行于AD的直線,并選一點(diǎn)E,使AE〃DC,BE〃PC.可以得出NABP=NADP=∠AEP,可得：AEBP共圓(一邊所對(duì)兩角相等)?？傻肗BAP=NBEP=NBCP,得證。.在BD取一點(diǎn)E,使NBCE=NACD,既得ABECsAADC,可得：BEBC=ADAC,即ADBC=BEAC,①又NACB=NDCE,可得AABCsAdeC,既得ABAC=DEDC,即ABCD=DEAC,②由①+②可得：ABCD+ADBC=AC(BE+DE)=AC?BD,得證。4.過(guò)D作AQ⊥AE,AG⊥CF,由ADES=2ABCDS=DFCS,可得：2AEPQ=2AEPQ,由AE=FC?？傻肈Q=DG,可得NDPA=NDPC(角平分線逆定理)。經(jīng)典難題(五)L(I)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABPC600,可得APBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一條直線上，即如下圖:可得最小L=7(2)過(guò)P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D,Fo由于NAPD>NATP=ZADP,推出AD>AP①又BP+DP>BP②和PF+FOPC③又DF=AF ④由①②③④可得:最大IX2;由(1)和(2)既得：WL<2o2.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABPC600,可得APBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一條直線上，即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AFo既得AF=213(1)42++23+4232+22+2(31)2+622+O.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)AABP900,可得如下圖：既得正方形邊長(zhǎng)L=2222(2)()22a++=522a+o.在AB上找一點(diǎn)F,使NBCF=60