雙曲線經(jīng)典知識點總結(jié)

雙曲線知識點總結(jié) 班級姓名 知識點一:雙曲線的概念在平面內(nèi)，到兩個定點4、片的距離之差的絕對值等于常數(shù)2分(厘大于0且力<冏鳥1)的動點F的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點4、瑪叫雙曲線的核心，兩核心的距離叫作雙曲線的焦距.注意：1.雙曲線的概念中，常數(shù)22應(yīng)當(dāng)知足的約束條件：1咫卜朋|=2av因&I,這能夠借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來明白得；.若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)小知足約束條件:?■?⑷l口(口二口)，那么動點軌跡僅表示雙曲線中靠核心瑪?shù)囊恢В患僭O(shè)121111L口(3AU),那么動點軌跡僅表示雙曲線中靠核心珞的一支;.若常數(shù)厘知足約束條件：1111 211 ?1”，那么動點軌跡是以\、F2為端點的兩條射線(包括端點)；.假設(shè)常數(shù)厘知足約束條件：||尸耳尸網(wǎng)||=24居用，那么動點軌跡不存在；.若常數(shù)淳二口,那么動點軌跡為線段^5的垂直平分線。注意：1．只有當(dāng)雙曲線的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸成立直角坐標(biāo)系時,才能取得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；.在雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有"=>十占、.雙曲線的焦點總在實軸上，即系數(shù)為正的項所對應(yīng)的坐標(biāo)軸上.當(dāng)一的系數(shù)為正時，核心在北軸上，雙曲線的核心坐標(biāo)為1叫當(dāng)艮的系數(shù)為正時，核心在〉軸上，雙曲線的核心坐標(biāo)為，?知識點三：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)24=1雙曲線1((a>0,b>0)的簡單幾何性質(zhì)(1)對稱性：對于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程/( (a>0,b>0),把x換成一x,或把y換成一y,或把x、y同時換成一x、一y,方程都不變，因此雙曲線皂((a>0,b>0)是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形,且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，那個對稱中心稱為雙曲線的中心。(2)范圍：雙曲線上所有的點都在兩條平行直線x二一a和乂=@的雙側(cè)，是無窮延伸的。因此雙曲線上點的橫坐標(biāo)知足xW-a或xNa。(3)極點：①雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的極點。知識點二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.當(dāng)核心在龍軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：用上-17正—9>短”)，其中1=^十〃；.當(dāng)核心在y軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：2 2/, —a10),其中+吐②雙曲線d( (a>0,b>0)與坐標(biāo)軸的兩個交點即為雙曲線的兩個極點，坐標(biāo)別離為AJ—a,0),A2(a,0),極點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點。③兩個極點間的線段A1A2叫作雙曲線的實軸；設(shè)B1(0,—b),B2(0,b)為y軸上的兩個點，那么線段B旦叫做雙曲線的虛軸。實軸和虛軸的長度別離為|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。注意：①雙曲線只有兩個極點，而橢圓有四個極點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。②雙曲線的核心總在實軸上。③此厘決定雙曲線的開口大小，口越大，e此厘決定雙曲線的開口大小，口越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊。因此離心率能夠用來表示雙曲線開口的大小程度。③等軸雙曲線曲=s,因此離心率曰=總。（5）漸近線：經(jīng)過點A2、A1作y軸的平行線x二±a，通過點B1、B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個矩形（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程,by=±-x '=±_工是口，咱們把直線 s叫做雙曲線的漸近線。注意：雙曲線與它的漸近線無窮接近，但永不相交。知識點五：雙曲線的漸近線：（1）已知雙曲線方程求2 2土-匕=1漸近線方程：假設(shè)雙曲線方程為1 ， ，那么其-r---1~————u_漸近線方程為口 & 豈七二",by=土一工注注意：（1）已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為施工土即口口，那么可設(shè)雙曲線方程為實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。（4）離心率：①雙曲線的焦距與實軸長的2cG0-=一曲線的離心率，用e表示，記作 1Ce=-②因為c>a>0,因此雙曲線的離心率。1 12 2 r對稱性關(guān)于X軸、y軸和原點對稱比叫做雙頂點3。）（Q土必。軸1 -|實軸長=29虛軸長=2辦■1、。。由離心率^=—>1)aC2=a2…得常廣檸2-1漸近線方程aJ一上-^-^-=15一 刑央一制夕廣，依照已知條件，求出足即可。⑶知識點四：雙曲線口 上與口3色：。出>0）的區(qū)別和聯(lián)系色：。出>0）的區(qū)別和聯(lián)系與雙曲線1有有公共漸近線的雙曲線方程可x軸雙曲線可設(shè)為軸雙曲線的兩條漸近線相互垂直，為，JC二士X，因此等，核心在北軸上，x軸雙曲線可設(shè)為軸雙曲線的兩條漸近線相互垂直，為，JC二士X，因此等，核心在北軸上，核心在丫軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等知識點六：雙曲線圖像中線段的幾何特(D實軸長I，虛，密，虛軸長2上，焦距，(2，，,(2)離心率:四=^設(shè)_=標(biāo)準(zhǔn)方程=再由條件=^= 型,設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確信方程中的參數(shù)厘、、、1尸購廠I尸圾廠14/1-目￡1一二寸/的值。其要緊步驟是“先定型，再定量”；（3）極點到核心的距離：㈤用卜也罵卜口一匕 ②概念法：由題目條件判定出動點的軌跡是什么圖形，岡圖=區(qū)聞"+Z（4）岡圖=區(qū)聞"+Z（4）心用居中結(jié)合概念然后再依照概念確信方程。注意：假設(shè)概念中“差的絕對值”中的絕對值去廊H產(chǎn)瑪卜2廊H產(chǎn)瑪卜2口與余弦定理，將有關(guān)線段閡I、歸為〔區(qū)瑪和角結(jié)合起來.掉，點的集合成為雙曲線的一支，先確信方程類型，再確信參數(shù)a、b，即先定型，再定量。假設(shè)兩種類型都有可能，那么需分類討論。1．如何信雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的對稱中心在座標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。現(xiàn)在，雙曲線的核心在座標(biāo)軸上。2.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a、b、c的幾何意義雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由雙曲線本身所確信的，別離表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：Oa,c>b,且口山+小。.如何由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程判定核心位置雙曲線的核心總在實軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判定核心位置的方式是：看X2、丫2的系數(shù)，若是X2項的系數(shù)是正的，那么核心在乂軸上；若是y2項的系數(shù)是正的，那么核心在丫軸上。注意：關(guān)于雙曲線，a不必然大于b,因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定核心在哪一條坐標(biāo)軸上。.方程Ax?+By>C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件 十 -I方程Ax2+By2=C可化為C C，即.如何解決與核心三角形4PFR（P為雙曲線上的點）有關(guān)的計算問題？與核心三角形片同有關(guān)的計算問題時，?？紤]

到用雙曲線的概念及余弦定理（或勾股定理）、三角

邑陽周二：|F1娟聞弘口/4F開形面積公式 相結(jié)合的方式進(jìn)行計算與解題，將有關(guān)線段忸司、忸馬|、昂修，有關(guān)角/及巡結(jié)合起來，成立陶卜幽〔陷”尸段之間的關(guān)系..如何確信離心率e的取值情形與雙曲線形狀的關(guān)CS=—系？：離心率 0，因為C2=a2+b2,用a、6表示為= J[+（3 -3Y3，當(dāng)e越大時，E越大，即漸近線夾角（含x軸）越大，故開口越大；反之，e越小，開口越小。離心率反映了雙曲線開口的大小，且e>1。8.橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：￡工，，因此只有A、B異號，方程橢圓雙曲線法示雙曲線?！?1 —一根據(jù)|MFi|+|MF2|=2a根據(jù)|MF1|一|MFj二±2a工N 工N 時，雙曲線的核心在丫軸上。 滔十必二—>。，一<0a>c>0,0<a<c,當(dāng)上B時，雙曲線的核心在乂車由上；當(dāng) , 、a2—c2=b2(b>0)c2—a2=b2(b>0)5.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的經(jīng)常使用方式：①待定系數(shù)法：由題目條件信核心的位置，從而信方程的類

故所求雙曲線的方程為12 8類型一：雙曲線的概念1.已知。Oj(x+5)2+y2=4,。標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為:O：(x—5)2+y2=9(1)假設(shè)動圓P與。/02均內(nèi)切，求動圓圓心P點的軌跡；(2)假設(shè)動圓Q與&1,。2均外切，求動圓圓4Q點的軌跡。解析：(1)設(shè)。P半徑為R,:。。］與。02相離，???|P01|二R—2,|PO2|=R—3??.|PO；|一|Po2|=1,又101021=10???由雙曲線的概念，P點的軌跡是以01,02為核心，2a=1,2c=10的雙曲線的右支。(2)設(shè)。Q半徑為r,那么|Q01|二r+2,|Q02|=r+3???|Q02|—|Q01|=1,又|0102|=10 1 2???由雙曲線的概念，Q點的軌跡是以01,02為核心，2a=1,2c=10的雙曲線的左支。觸類旁通：【變式1】已知定點F1(—2,0)、F2(2,0),平面內(nèi)知足以下條件的動點P的軌跡為雙曲線的是()A．|PF1|—|PF2|=±3B．|PF1|—|PF2|=±4C．|PF1|—|PF2|=±5D.|PF1|2—|PF2|2=±4【答案】A【變式2】已知點F1(0,—13)、F2(0,13),動點P到F1與F2的距離之差的絕對值為26,那么動點P的軌跡方程為()A.y=0B.y=0(xW—13或xN13)C.x=0(|y|三13)D.以上都不對【答案】C【變式3】已知點P(x,y)的坐標(biāo)滿足』>一以十⑶-爐-十貨十。十3y=4,那么動點P的軌跡是()A.橢圓B.雙曲線中的一支C.兩條射線 D.以上都不對答案：B類型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：2.求與雙曲2 2線164 有公共核心，且過點?收，幻的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解法一：依題意設(shè)雙曲線方程為口口—^=1■由已知得/+*=/=20,又雙曲線過點0色，2),.?.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 2二-匕=1解法二：依題意設(shè)雙曲線方程為16-七，k,2 -1-.二［將點◎.⑶代入筋-上4十斤，解得k4,因2 2土-匕=1此雙曲線方程為12s.【變式】求中心在原點，5s=對稱軸為坐標(biāo)軸，且極點在〉軸，焦距為10,的的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】16 @3.已知雙曲線的兩個核4F1、F2之間的距離為26,雙曲線上一點到兩核心的距離之差的絕對值為24,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：由題意得2a=24,2c=26°，a=12,c=13,b2=132—122=25。當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時,雙曲線的方程為2 214425 ；當(dāng)雙曲線的核心在丫軸上時，雙曲線的方程為14425 ?？偨Y(jié)升華：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確實是求a2、b2的值,同時還要確信核心所在的坐標(biāo)軸。雙曲線所在的坐標(biāo)軸，不像橢圓那樣看x2、y2的分母的大小，而是看x2、y2的系數(shù)的正負(fù)?！绢愋腿弘p曲線的幾何性質(zhì)4.方程2 2工*51^1-2 表示雙曲線，求實數(shù)m的取值范圍。"制一5>0I“萬_LL ?口H ,口J掰|—2>0_p.解析：由題意得 或fc-5<0j|-2<05mm>2m<5-2 <2Q取>5成-2c幽匯2。...實數(shù)m的取值范圍為（網(wǎng)|附>5或-2<m<2）O總結(jié)升華：方程Ax2+By2=l表示雙曲線時，A、B異號。2 2Ky1—+——i【變式l】k>9是方程9一化k-4 表示雙曲線的（）A.充分必要條件B.充分沒必要要條件C.必要不充分條件D.既不充分又沒必要要條件【答案】BJ-「1【變式2】求雙曲線加+124-病的焦距?！敬鸢浮?依照以下條件，求雙曲線方程。（1）與雙曲線2 2土—匕=] 廠916 有一起的漸近線，且過點（一32#）；（2）漸近線方程為京+2尸二口，且雙曲線過點昵圖，人行）。解析：（1）解法一：當(dāng)核心在乂軸上時，工上1設(shè)雙曲線的方程為點必由題意，得%_43TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"’L3?I冷_[ 3"卡,解得“二，川二4因此雙曲%一片=1線的方程為0 4二2 2匕-工=1當(dāng)核心在y軸上時，設(shè)雙曲線的方程為屋戶

將點「32#）代入得，，因此雙曲線方程為2 j2 2Xy14Ky_]916I即9 4 （2）依題意知雙曲線兩2二。漸近線的方程是23 .故設(shè)雙曲線方程為2 2土_匕=a _4 0 ，：點舷&&抬）在雙曲線上，???求3扃_工4 9 ，解得%=4,???所求雙曲線方程為1636總結(jié)升華：求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求出、占，在解題進(jìn)程中應(yīng)熟悉各元素（高、小、匕、名及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用。假設(shè)已知雙曲線的漸近線方程而土切二°,可設(shè)雙曲線方程為8-*八3-0）.4-4=1總結(jié)升華：雙曲線口的的