胡不歸習(xí)題集-20220502075812

第1頁（共1頁）胡不歸習(xí)題集一．選擇題（共11小題）1．（2022春?新羅區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE＝2AE，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CDBD的最小值是（）A．2 B．4 C．5 D．102．（2021秋?澄海區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+3x﹣4的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則PQPC的最小值是（）A．6 B．2 C．2+3 D．33．（2022?南山區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則AB＝2BC．請(qǐng)?jiān)谶@一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若AC＝2，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，P為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，則APCP的最小值為（）A．1 B． C． D．24．（2020秋?蓮都區(qū)期末）△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+DC的最小值為（）A．4 B．3 C．6 D．235．（2021?錦州二模）如圖所示，菱形ABCO的邊長為5，對(duì)角線OB的長為4，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，則APOP的最小值為（）A．4 B．5 C．2 D．36．（2020秋?北侖區(qū)期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yx分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值（）A．26 B．6 C．3 D．47．（2021?港南區(qū)四模）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則ADDC的最小值為（）A．26 B．6 C．3 D．38．（2021?安徽三模）如圖．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B為線段OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AB+BC的最小值為（）A． B．5 C．3 D．59．（2021?安徽模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝10，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP，則AP+PB的最小值是（）A． B． C． D．810．（2021?渦陽縣模擬）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是△ABC的邊AC上的高，點(diǎn)P是BD上動(dòng)點(diǎn)，則BP+CP的最小值是（）A． B． C．10 D．11．（2021?太和縣一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，若BC＝4，AC＝6，則BP+AP的最小值為（）A．5 B．10 C．5 D．10二．填空題（共13小題）12．（2022春?江漢區(qū)月考）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的邊AC上的高，點(diǎn)P是BD上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．13．（2022?江北區(qū)開學(xué)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為．14．（2022?馬鞍山一模）如圖，AC垂直平分線段BD，相交于點(diǎn)O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．（1）∠ABC＝．（2）E為BD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BC＝6，當(dāng)最小時(shí)BE＝．15．（2021秋?福清市期末）如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面積為，點(diǎn)P為BD上動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則APBP的最小值為．16．（2021秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分別是邊AB，AD的動(dòng)點(diǎn)，滿足AM＝DN，連接CM、CN，E是邊CM上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是CM上靠近C的四等分點(diǎn)，連接AE、BE、NF，當(dāng)△CFN面積最小時(shí)，BE+AE的最小值為．17．（2021秋?亭湖區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）．根據(jù)教材第65頁“思考”欄目可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：在Rt△ABC中，AB＝2BC．請(qǐng)?jiān)谶@一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若點(diǎn)D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CDAD的最小值為．18．（2021秋?宜興市期末）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)C沿BE折疊與AB上的點(diǎn)D重合．連接DE，請(qǐng)你探究：；請(qǐng)?jiān)谶@一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：如圖②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若OM＝2，點(diǎn)G是OM邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．19．（2021秋?汕尾期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則C點(diǎn)的坐標(biāo)是，的最小值是．20．（2021秋?南海區(qū)期末）如圖，△ABC中AB＝AC，A（0，8），C（6，0），D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A→D→C，點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為．21．（2021秋?縉云縣期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），P是直線yx在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）∠MOP＝．（2）當(dāng)MPOP的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是．22．（2022春?梁溪區(qū)期中）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝8，BC＝3，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PBPD的最小值等于．23．（2021春?石阡縣期中）如圖，在菱形ABCD中，AB＝10，∠ABC＝60°，E為BC邊的中點(diǎn)，M為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段AMBM的最小值為．24．（2021?巴東縣模擬）如圖，已知菱形ABCD的周長為9，面積為，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上動(dòng)點(diǎn)，則AE+BE的最小值為．三．解答題（共1小題）25．（2022?東西湖區(qū)模擬）如圖1，拋物線y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B左邊），與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC．且△ABC的面積為8．（1）求m的值；（2）在（1）的條件下，在第一象限內(nèi)拋物線上有一點(diǎn)T，T的橫坐標(biāo)為t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．（3）如圖2，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，求CPAP的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

胡不歸習(xí)題集參考答案與試題解析一．選擇題（共11小題）1．（2022春?新羅區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE＝2AE，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CDBD的最小值是（）A．2 B．4 C．5 D．10【考點(diǎn)】胡不歸問題；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，過點(diǎn)C作CM⊥AB，垂足為M，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE，BE的長，再證明DHBD，從而可得CDBD＝CD+DH，然后再由垂線段最短即可解答．【解答】解：過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，過點(diǎn)C作CM⊥AB，垂足為M，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵BE＝2AE，AB＝10，∴AE2+BE2＝AB2，∴5AE2＝100，∴AE＝2或AE＝﹣2（舍去），∴BE＝2AE＝4，∴sin∠ABE，∵∠A＝∠A，∠AEB＝∠AMC＝90°，AB＝AC，∴△AEB≌△AMC（AAS），∴CM＝BE＝4，在Rt△BHD中，DH＝BDsin∠ABEBD，∴CDBD＝CD+DH，∵CD+DH≥CM，∴CDBD≥4，∴CDBD的最小值是：4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了胡不歸問題，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?澄海區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+3x﹣4的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則PQPC的最小值是（）A．6 B．2 C．2+3 D．3【考點(diǎn)】胡不歸問題；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的交點(diǎn)．【分析】過P作PH⊥BC，過Q作QH'⊥BC．再由PHPC得PQPC＝PQ+PH，根據(jù)垂線段最短可知，PQ+PH的最小值為QH'，求出QH'即可．【解答】解：連接BC，過P作PH⊥BC，過Q作QH'⊥BC，令y＝0，即x2+3x﹣4＝0，解得x＝﹣4或1，∴A（1，0），C（﹣4，0），∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，∴∠PCH＝45°，∴PH＝PCsin45°PC．∴PQPC＝PQ+PH，根據(jù)垂線段最短可知，PQ+PH的最小值為QH'，∵BQ＝OB+OQ＝4+2＝6，∠QBH′＝45°，∴DH′＝sin45°?BQ＝3，∴PQPC的最小值為3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查胡不歸問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是將求PQPC的最小值轉(zhuǎn)化為求PQ+PH的最小值．屬于中考選擇題中的壓軸題．3．（2022?南山區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則AB＝2BC．請(qǐng)?jiān)谶@一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若AC＝2，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，P為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，則APCP的最小值為（）A．1 B． C． D．2【考點(diǎn)】胡不歸問題；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．【分析】過C作CE⊥AB于E，過點(diǎn)P作PF⊥EC于F，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等邊三角形的性質(zhì)得出PFCP，再由APCP＝AP+PF≥AE，結(jié)合勾股定理求出AE即可．【解答】解：過C作CE⊥AB于E，過點(diǎn)P作PF⊥EC于F，∵∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CDAB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠B＝60°，∴△BCD為正三角形，∴∠DCE＝30°，∴PFCP，∴APCP＝AP+PF≥AE，∵∠CAB＝30°，AC＝2，∴CEAC＝1，∴AE，∴APCP的最小值為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含30°直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊一半，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解決此題的關(guān)鍵是作出垂線CE和PF，將CP轉(zhuǎn)化為PF．4．（2020秋?蓮都區(qū)期末）△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+DC的最小值為（）A．4 B．3 C．6 D．23【考點(diǎn)】胡不歸問題；含30度角的直角三角形．【分析】過點(diǎn)C作射線CE，使∠BCE＝30°，再過動(dòng)點(diǎn)D作DF⊥CE，垂足為點(diǎn)F，連接AD，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DFDC，2AD+DC＝2（ADDC）＝2（AD+DF）當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即AF⊥CE時(shí)，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長．【解答】解：過點(diǎn)C作射線CE，使∠BCE＝30°，再過動(dòng)點(diǎn)D作DF⊥CE，垂足為點(diǎn)F，連接AD，如圖所示：在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴DFDC，∵2AD+DC＝2（ADDC）＝2（AD+DF），∴當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即AF⊥CE時(shí)，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長，此時(shí)，∠B＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BC＝4，∴DC＝2，∴DFDC＝1，∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，∴2（AD+DF）＝2AF＝6，∴2AD+DC的最小值為6，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂線段最短、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造胡不歸模型，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．5．（2021?錦州二模）如圖所示，菱形ABCO的邊長為5，對(duì)角線OB的長為4，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，則APOP的最小值為（）A．4 B．5 C．2 D．3【考點(diǎn)】胡不歸問題；菱形的性質(zhì)．【分析】如圖，過點(diǎn)A作AH⊥OC于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PF⊥OC于點(diǎn)F，連接AC交OB于點(diǎn)J．利用面積法求出AH，再證明PFOP，利用垂線段最短，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥OC于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PF⊥OC于點(diǎn)F，連接AC交OB于點(diǎn)J．∵四邊形OABC是菱形，∴AC⊥OB，∴OJ＝JB＝2，CJ，∴AC＝2CJ＝2，∵AH⊥OC，∴OC?AH?OB?AC，∴AH4，∴sin∠POF，∴PFOP，∴APOP＝AP+PF，∵AP+PF≥AH，∴APOP≥4，∴APOP的最小值為4，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查胡不歸問題，菱形的性質(zhì)，垂線段最短，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．6．（2020秋?北侖區(qū)期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yx分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值（）A．26 B．6 C．3 D．4【考點(diǎn)】胡不歸問題；一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【分析】2BC+AC＝2（BCAC），先得到∠BAO＝30°，作B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)E，作CD⊥AE，所以CD，可得BCAC＝BC+CD，可得當(dāng)B、C、D共線時(shí)，BCAC最小，進(jìn)而可求得．【解答】解：如圖，∵B（0，），A（3，0），∴tan∠BAO，∴∠BAO＝30°，∴AB＝2OB＝2，在BO的延長線上取OE＝OB，∴∠OAE＝∠BAO＝30°，作CD⊥AE于D，∴CDAC，∴BCAC＝BC+CD，∴當(dāng)B、C、D在同一條直線上時(shí)，BCAC最小，過B點(diǎn)作BH⊥AE于H，在Rt△ABH中，∠BAH＝2∠BAO＝60°，∴BH＝AB?sin60°＝2＝3，∴BCAC最小值是3，∴2BC+AC＝2（BCAC）最小值是6，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“胡不歸”問題，即PA+k?PB形式問題，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)構(gòu)造出“k”或．7．（2021?港南區(qū)四模）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則ADDC的最小值為（）A．26 B．6 C．3 D．3【考點(diǎn)】胡不歸問題；含30度角的直角三角形．【分析】過點(diǎn)C作射線CE，使∠BCE＝30°，再過動(dòng)點(diǎn)D作DF⊥CE，垂足為點(diǎn)F，連接AD，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DFDC，ADDC＝AD+DF，當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即AF⊥CE時(shí)，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長．【解答】解：過點(diǎn)C作射線CE，使∠BCE＝30°，再過動(dòng)點(diǎn)D作DF⊥CE，垂足為點(diǎn)F，連接AD，如圖所示：在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴DFDC，∵ADDC＝AD+DF，∴當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即AF⊥CE時(shí)，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長，此時(shí)，∠B＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BC＝4，∴DC＝2，∴DFDC＝1，∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，∴ADDC的最小值為3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂線段最短、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造胡不歸模型，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．8．（2021?安徽三模）如圖．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B為線段OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AB+BC的最小值為（）A． B．5 C．3 D．5【考點(diǎn)】胡不歸問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】在x軸上取點(diǎn)D（﹣3，0），連接AD，過B作BE⊥AD于E，過C作CF⊥AD于F，由tan∠DAO得EBAB，從而AB+BC＝EB+BC≥CF，求出CF即可．【解答】解：如圖，在x軸上取點(diǎn)D（﹣3，0），連接AD，過B作BE⊥AD于E，過C作CF⊥AD于F，∵tan∠DAO，∴∠DAO＝30°，∠ADO＝60°，∴EBAB，∴AB+BC＝EB+BC≥CF，∵CD＝OD+OC＝3＝5，∴CF＝CDsin60°，∴AB+BC的最小值為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了胡不歸問題，通過取D（﹣3，0）將AB+BC轉(zhuǎn)化為EB+BC是本題的關(guān)鍵．9．（2021?安徽模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝10，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP，則AP+PB的最小值是（）A． B． C． D．8【考點(diǎn)】胡不歸問題．【分析】以AP為斜邊在AC下方作等腰Rt△ADP，過B作BE⊥AD于E，由sin∠PAD得AP+PB＝DP+PB≥BE，再由∠BAC＝15°求出BE即可．【解答】解：如圖，以AP為斜邊在AC下方作等腰Rt△ADP，過B作BE⊥AD于E，∵∠PAD＝45°，∴sin∠PAD，∴DPAP，∴AP+PB＝DP+PB≥BE，∵∠BAC＝15°，∴∠BAD＝60°，∴BE＝ABsin60°＝5，∴AP+PB的最小值為5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了胡不歸問題，以AP為斜邊在AC下方作等腰Rt△ADP將AP+PB轉(zhuǎn)化成DP+PB是本題的關(guān)鍵．10．（2021?渦陽縣模擬）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是△ABC的邊AC上的高，點(diǎn)P是BD上動(dòng)點(diǎn)，則BP+CP的最小值是（）A． B． C．10 D．【考點(diǎn)】胡不歸問題；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，由勾股定理得PE．繼而證明當(dāng)C、P、E三點(diǎn)共線且CEAB，BP+PC＝PE+PC的值最小為CE．由由等腰三角形腰上的高相等，解出BD的長，即為CE的長．【解答】解：∵∠A＝45°，BD⊥AC，∴∠ABD＝45°．過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，由勾股定理得PE．∴．當(dāng)C、P、E三點(diǎn)共線，且CEAB時(shí)，BP+PC＝PE+PC的值最小為CE．∵△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE⊥AB，由等腰三角形腰上的高相等，∴BD＝CE，在Rt△ABD中，BDCE．故BP+PC＝PE+PC＝CE．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂線段最短（此題也是胡不歸模型），涉及等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，屬于常考內(nèi)容，掌握BP+PC轉(zhuǎn)化為PE+PC是解題關(guān)鍵．11．（2021?太和縣一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，若BC＝4，AC＝6，則BP+AP的最小值為（）A．5 B．10 C．5 D．10【考點(diǎn)】胡不歸問題．【分析】BP+AP（BPAP），求BPAP的最小值屬“胡不歸”問題，以A為頂點(diǎn)，AC為一邊在下方作45°角即可得答案．【解答】解：以A為頂點(diǎn)，AC為一邊在下方作∠CAM＝45°，過P作PF⊥AM于F，過B作BD⊥AM于D，交AC于E，如圖：BP+AP（BPAP），要使BP+AP最小，只需BPAP最小，∵∠CAM＝45°，PF⊥AM，∴△AFP是等腰直角三角形，∴FPAP，∴BPAP最小即是BP+FP最小，此時(shí)P與E重合，F(xiàn)與D重合，即BPAP最小值是線段BD的長度，∵∠CAM＝45°，BD⊥AM，∴∠AED＝∠BEC＝45°，∵∠ACB＝90°，∴sin∠BEC＝sin45°，tan∠BEC，又BC＝4，∴BE＝4，CE＝4，∵AC＝6，∴AE＝2，而sin∠CAM＝sin45°，∴DE，∴BD＝BE+DE＝5，∴BP+AP的最小值是BD＝10，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段和的最小值，解題的關(guān)鍵是做45°角，將求BPAP的最小值轉(zhuǎn)化為求垂線段的長．二．填空題（共13小題）12．（2022春?江漢區(qū)月考）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的邊AC上的高，點(diǎn)P是BD上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是5．【考點(diǎn)】胡不歸問題；等腰三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題．【分析】過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，先在Rt△ABD中求出∠ABD及BD，再在Rt△BPE中利用sin60°得到EP+CP，當(dāng)當(dāng)C、P、E三點(diǎn)在同一直線上，且CE⊥AB時(shí)其取得最小值，最小值為CE，計(jì)算即可求出結(jié)果．【解答】解：過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，在Rt△ABD中，∠ABD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BD5，在Rt△BPE中，sin60°，∴EPBP，∴EP+CP，當(dāng)C、P、E三點(diǎn)在同一直線上，且CE⊥AB時(shí)EP+CP取得最小值．∵AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE⊥AB，∴CE＝BD＝5，∴EP+CP的最小值為5．故答案為5．【點(diǎn)評(píng)】此題是胡不歸模型，涉及到等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等，解題關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化成EP+CP．13．（2022?江北區(qū)開學(xué)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為6．【考點(diǎn)】胡不歸問題；一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【分析】先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，由勾股定理可求AB的長，作點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)B'，可證△ABB'是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CHAC，則2BC+AC＝2（B'C+CH），即當(dāng)點(diǎn)B'，點(diǎn)C，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：∵一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（0，），∴AO＝3，BO，∴AB2，如圖，作點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'，B'C，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，∴OB＝OB'，又∵AO⊥BB'，∴BB'＝2，AB＝AB'＝2，BC＝B'C，∴AB＝BB'＝B'A，∴△ABB'是等邊三角形，∵AO⊥BB'，∴∠BAO＝30°，∵CH⊥AB，∴CHAC，∴2BC+AC＝2（BCAC）＝2（B'C+CH），∴當(dāng)點(diǎn)B'，點(diǎn)C，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，此時(shí)，B'H⊥AB，△ABB'是等邊三角形，∴BH＝AH，∠BB'H＝30°，∴B'HBH＝3，∴2BC+AC的最小值為6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵．14．（2022?馬鞍山一模）如圖，AC垂直平分線段BD，相交于點(diǎn)O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．（1）∠ABC＝75°．（2）E為BD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BC＝6，當(dāng)最小時(shí)BE＝2．【考點(diǎn)】胡不歸問題；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可求得∠ABC；（2）作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A'，過A作AG⊥A'B于G，過點(diǎn)E作EF⊥A'B于F，將BE轉(zhuǎn)化為EF，再根據(jù)AEBE＝AE+FE≥AG，設(shè)AG與OB交于E'，BE'即為當(dāng)最小時(shí)的BE，求出BE'即可．【解答】解：（1）∵AC垂直平分線段BD，∴AB＝AC，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝120°，∴∠ABD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∵OB＝OC，OB⊥OC，∴∠OBC＝45°，∴∠ABC＝30°+45°＝75°，故答案為：75°；（2）作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A'，過A作AG⊥A'B于G，過點(diǎn)E作EF⊥A'B于F，∵∠ABO＝30°，∴∠A'BO＝30°，∴FEBE，∴AEBE＝AE+FE≥AG，設(shè)AG與OB交于E'，BE'即為當(dāng)最小時(shí)的BE，∵BC＝6，∠OBC＝45°，∴OB＝OC＝BCcos45°，∵cos∠A'BO，∴BA'，∵∠A'BA＝60°，AB＝A'B，∴△ABA'為等邊三角形，∴BGBA'，∵cos∠A'BO，∴BE'＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)解三角形，解決此題的關(guān)鍵是作出垂線EF和AG，將BE轉(zhuǎn)化為EF．15．（2021秋?福清市期末）如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面積為，點(diǎn)P為BD上動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則APBP的最小值為．【考點(diǎn)】胡不歸問題；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】過A作AF⊥CB于E，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，故PEBP，故APBP＝AP+PE≥AF，求出AF即可．【解答】解：過A作AF⊥CB于E，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，∵△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝30°，∴PEBP，∴APBP＝AP+PE≥AF，∵△ABC的面積為，∴AC2，∴AC＝2，∴BC?AF，∴AF，∴APBP的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含30°角的直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊一半，作出垂線PE，得到PEBP是解決本題的關(guān)鍵．16．（2021秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分別是邊AB，AD的動(dòng)點(diǎn)，滿足AM＝DN，連接CM、CN，E是邊CM上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是CM上靠近C的四等分點(diǎn)，連接AE、BE、NF，當(dāng)△CFN面積最小時(shí)，BE+AE的最小值為3．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；垂線段最短．【分析】連接MN、AC，由菱形ABCD的性質(zhì)和∠BAD＝120°得到AB＝AD＝CD、∠BAC＝∠DAC＝∠ADC＝60°，從而得到△ADC和△ABC為等邊三角形，然后得到AC＝DC，然后結(jié)合AM＝DN得證△AMC≌△DNC，得到CM＝CN、∠DCN＝∠ACM，從而得到∠MCN＝60°，得到△CMN為等邊三角形，由點(diǎn)F是CM上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)得到S△CFNS△CMN，所以△CMN的面積最小時(shí)，△CFN的面積也最小，從而有當(dāng)CN和CM最短，即CN⊥AD、CM⊥AB時(shí)△CFN的面積最小，取BE的中點(diǎn)為點(diǎn)G，連接MG，由△ABC為等邊三角形和CM⊥AB得到點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)、AE＝BE，進(jìn)而有MGAEBE，所以BE+AEAE，最后由點(diǎn)E是CM上的動(dòng)點(diǎn)，得到AE的最小值即為AM的長度，從而求得結(jié)果．【解答】解：如圖，連接MN、AC，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝AD＝CD，∠BAC＝∠DAC＝∠ADC＝60°，∴△ADC和△ABC為等邊三角形，∴AC＝DC，∠ACD＝60°，∵AM＝DN，∴△AMC≌△DNC（SAS），∴CM＝CN，∠DCN＝∠ACM，∴∠MCN＝∠MCA+∠ACN＝∠DCN+∠ACN＝∠ACD＝60°，∴△CMN為等邊三角形，∵點(diǎn)F是CM上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，∴S△CFNS△CMN，∴△CMN的面積最小時(shí)，△CFN的面積也最小，∵S△CMN，∴當(dāng)CN和CM長度最短時(shí)，S△CMN的面積最小，即CN⊥AD，CM⊥AB時(shí)△CFN的面積最小，取BE的中點(diǎn)為點(diǎn)G，連接MG，∵△ABC為等邊三角形，CM⊥AB，∴點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∴MGAEBE，∴BE+AEAE+AEAE，∵點(diǎn)E是CM上的動(dòng)點(diǎn)，∠AME＝90°，∴AE的最小值即為AM的長度，∵CD＝4，∴AMAB＝2，∴（BE+AE）最小值2＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、等邊三角形的面積，將求三角形CFN的面積最小值轉(zhuǎn)化為CM和CN的最小值是解題的關(guān)鍵．17．（2021秋?亭湖區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）．根據(jù)教材第65頁“思考”欄目可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：在Rt△ABC中，AB＝2BC．請(qǐng)?jiān)谶@一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若點(diǎn)D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CDAD的最小值為3．【考點(diǎn)】胡不歸問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【分析】作射線AG，使得∠BAG＝30°，過D作DE⊥AG于E，過C作CF⊥AG于F，故DEAD，故CDAD＝CD+DE≥CF，求出CF即可．【解答】解：作射線AG，使得∠BAG＝30°，過D作DE⊥AG于E，過C作CF⊥AG于F，∴DEAD，∴CDAD＝CD+DE≥CF，∵A（﹣3，0），B（1，0）．∴AB＝4，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BCAB＝2，∴AC2，∵∠CAG＝∠CAB+∠BAG＝60°，∴AFAC，∴CF3，∴CDAD的最小值為3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含30°直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊一半，作出射線AG，使得∠BAG＝30°是本題的關(guān)鍵．18．（2021秋?宜興市期末）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)C沿BE折疊與AB上的點(diǎn)D重合．連接DE，請(qǐng)你探究：；請(qǐng)?jiān)谶@一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：如圖②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若OM＝2，點(diǎn)G是OM邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【考點(diǎn)】胡不歸問題；含30度角的直角三角形；翻折變換（折疊問題）．【分析】由折疊的性質(zhì)可得AD＝BD，BC＝BD，則有AB＝2BC；作P點(diǎn)關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)P'，作P'N⊥PM交于N點(diǎn)，交OM于G'點(diǎn)，P'G'+G'N≥P'N，此時(shí)的值最小，求出P'N的長即為所求．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵點(diǎn)C沿BE折疊與AB上的點(diǎn)D重合，∴∠DBE＝∠CBE＝30°，∴∠A＝∠ABE，∵∠BDE＝∠C＝90°，∴AD＝BD，∵BC＝BD，∴AB＝2BC，∴，作P點(diǎn)關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)P'，作P'N⊥PM交于N點(diǎn)，交OM于G'點(diǎn)，∴PG'＝P'G'，∵∠M＝30°，∴NG'G'M，∴P'G'+G'N≥P'N，此時(shí)的值最小，∵OM＝2，在Rt△OPM中，OPOM＝1，∴PM，在Rt△PDM中，PDPM，∴PP'，∵∠P'＝30°，∴PN，在Rt△PP'N中，P'N，∴的最小值為，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題是圖形的折疊變換，熟練掌握折疊的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理，胡不歸求最短距離是解題的關(guān)鍵．19．（2021秋?汕尾期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則C點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0），的最小值是4．【考點(diǎn)】胡不歸問題；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的交點(diǎn)；軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題．【分析】過點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．根據(jù)PD+PC（PDPC）（DP+PJ），求出DP+PJ的最小值即可解決問題．【解答】解：過點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），C（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∴DH＝BD?sin45°＝2，∵PJ⊥CB，∴∠PJC＝90°，∴PJPC，∴PD+PC（PDPC）（DP+PJ），∵DP+PJ≥DH，∴DP+PJ≥2，∴DP+PJ的最小值為2，∴PD+PC的最小值為4．故答案為：（3，0），4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查胡不歸問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是將求PD+PC得最小值轉(zhuǎn)化為求（DP+PJ）的最小值．屬于中考選擇題中的壓軸題．20．（2021秋?南海區(qū)期末）如圖，△ABC中AB＝AC，A（0，8），C（6，0），D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A→D→C，點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為．【考點(diǎn)】胡不歸問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；軌跡．【分析】過B點(diǎn)作BH⊥AC交于H點(diǎn)，交AO于D點(diǎn)，連接CD，設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，在CD上的運(yùn)動(dòng)速度為v，t（CD），只需CD最小即可，再證明△ADH∽△ACO，可得DH，則當(dāng)B、D、H點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)t有最小值，再由△BDO∽△ADH，求出OD即可求坐標(biāo)．【解答】解：過B點(diǎn)作BH⊥AC交于H點(diǎn)，交AO于D點(diǎn)，連接CD，∵AB＝AC，∴BD＝CD，設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，在CD上的運(yùn)動(dòng)速度為v，∵點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的倍，∴t（CD），∵∠AHD＝∠AOC＝90°，∴△ADH∽△ACO，∴，∵A（0，8），C（6，0），∴OC＝6，OA＝8，∴AC＝10，∴，∴DH，∴t（DH+CD），當(dāng)B、D、H點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，tBH，此時(shí)t有最小值，∵∠BDO＝∠ADH，∴∠DBO＝∠OAC，∴△BDO∽△ADH，∴，即，∴DO，∴D（0，），故答案為：（0，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離和胡不歸求最短距離的方法，三角形相似的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2021秋?縉云縣期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），P是直線yx在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）∠MOP＝30°．（2）當(dāng)MPOP的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（1，）．【考點(diǎn)】胡不歸問題；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【分析】（1）設(shè)P（t，t），過點(diǎn)P作PH⊥x軸交于H，由tan∠POH，則∠POH＝60°，即可求∠MOP＝30°；（2）作M點(diǎn)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)M'，過M'作M'N⊥y軸交于N，連接MM'，則有MPOP＝M'P+OP＝M'N，此時(shí)MPOP的值最?。窘獯稹拷猓海?）設(shè)P（t，t），過點(diǎn)P作PH⊥x軸交于H，∴OH＝t，PHt，∴tan∠POH，∴∠POH＝60°，∴∠MOP＝30°，故答案為：30°；（2）作M點(diǎn)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)M'，過M'作M'N⊥y軸交于N，連接MM'，∴MP＝M'P，∵∠MOP＝30°，∴NPOP，∴MPOP＝M'P+OP＝M'N，此時(shí)MPOP的值最小，∵M(jìn)M'⊥OP，∠MOP＝30°∴MGOM，∵M(jìn)（0，2），∴MG＝1，∴MM'＝2，∵∠OMG＝60°，∴MN＝1，∴ON＝1，∴P（，1），故答案為：P（，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查胡不歸問題，熟練掌握胡不歸問題的解題方法，軸對(duì)稱求最短距離的方法，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2022春?梁溪區(qū)期中）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝8，BC＝3，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PBPD的最小值等于4．【考點(diǎn)】胡不歸問題；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】過點(diǎn)P作AD的垂線交AD延長線于點(diǎn)E，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，所以∠EDP＝∠DAB＝30°，得EPDP，要求PBPD的最小值，即求PB+EP的最小值，當(dāng)點(diǎn)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，PB+EP取最小值，最小值為BE的長，根據(jù)30度角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半即可求出PBPD的最小值．【解答】解：如圖過點(diǎn)P作AD的垂線交AD延長線于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝30°，∴EPDP，要求PBPD的最小值，即求PB+EP的最小值，當(dāng)點(diǎn)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，PB+EP取最小值，最小值為BE的長，∵在Rt△ABE中，∠EAB＝30°，AB＝8，∴BEAB＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握30度角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半．23．（2021春?石阡縣期中）如圖，在菱形ABCD中，AB＝10，∠ABC＝60°，E為BC邊的中點(diǎn)，M為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段AMBM的最小值為5．【考點(diǎn)】胡不歸問題；垂線段最短；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；菱形的性質(zhì)．【分析】過點(diǎn)M作MF⊥BC，垂足為F，根據(jù)菱形和含30度的直角三角形的性質(zhì)可得MFBM，從而可得AMBM＝AM+MF，根據(jù)垂線段最短可得線段AMBM的最小值為AE，在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的值即可解答．【解答】解：過點(diǎn)M作MF⊥BC，垂足為F，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC∠ABC＝30°，∴MFBM，∴AMBM＝AM+MF，∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)M，點(diǎn)F三點(diǎn)共線且垂直BC時(shí)，AM+MF有最小值，∴線段AMBM的最小值為AE，在Rt△ABE中，AE＝ABsin60°＝105，∴線段AMBM的最小值為5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了胡不歸問題，含30度的直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，垂線段最短，根據(jù)題目的條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．24．（202