71935計(jì)算方法習(xí)題答案

好用數(shù)值計(jì)算方法習(xí)題參考答案第一章引論1.1因?yàn)閐xkxXk-x；<￡（xk）,（攵=1,2,…，幾）,所以Q）<±k=lQ）<±k=l￡（4）1.2由于矩形面積S=/xd,利用全微分近似有AS^A/xtZ+ZxAtZo而AZ=0.2,AJ=O.lo所以，面積的確定誤差限和相對(duì)誤差限分別可以估計(jì)為|E（5）|=|A5|?|A/x^+/xA^|=0.2x80+0.1x110=27?AS27E（s）\=——x=0.0031=0.31%r1 S 110x80由a\-4,取〃=4時(shí),1.3由于相對(duì)誤差滿足：忸(x)|(—匚由a\-4,取〃=4時(shí),有匕0-3=0125x10-3<10-3=0]%8(J介于。和x之間)1.4由Taylor中值定理. 1 3 1 (J介于。和x之間)smx=X XH——XH——XCOSC,3! 5! 7!而s=x--+-x5,所以截?cái)嗾`差限為3!5!S-smx-x7S-smx-x7cos^7!<^—x7?1.9841/xlO-450401.61.65七個(gè)零件的標(biāo)定值XIX2X3X4X5X6X70.10.30.10.11.5160.7488不同等級(jí)的零件參數(shù)取值范圍如下:A等零件相對(duì)誤差不超過(guò)1%下限上限下限上限x10.09900.1010X51.48501.5150X20.29700.3030X615.840016.1600X30.09900.1010X70.74130.7562X40.09900.1010故，取〃=[吸町則能保證復(fù)合梯形公式求定積分的誤差不超過(guò)，。5.6由復(fù)合梯形公式誤差故，取〃=[吸町則能保證復(fù)合梯形公式求定積分的誤差不超過(guò)，。5.6由復(fù)合梯形公式誤差I(lǐng)—T〃=/''（7），12/?-IF_(b-a)21~ 4x12/設(shè)其中則有/—，。4（/一心〃），所以/《（4%-7；）=耳+；（%-，）9T4=—[x,sin%,+(x2_X1)(sinx2-sinXj)+(x3-x2)(sinx3-sinx2)+TC+(5一W)(1-sinx3)]令S（X],令S（X],無(wú)2，%3）=/-4，則由列出方程組dS

dxx0,越=0,0=0dx2sin%]+X]cos%(一(sin%—sinxJTw—xJcosX]=0(sinx2-sina：|)+(x2-x1)cosx2.(sin/-sinx2)-(A：3-x2)cosx2=0ji(sin/TinQ+Gf3-(-畔)-丁—=0第六章常微分方程數(shù)值解A[1%'=為_4（必3/3一必）O.1<〔為'=-%2令y=/（x）,則由/（x）=exp（—，）「exp（產(chǎn)）力兩端對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)可得ff(x)=-2xe*(一工2)[e)qp(Z2)dt+e)q)(-x2)exp(x2)所以，有常微分方程初值問(wèn)題y所以，有常微分方程初值問(wèn)題y'=l-2xyy(o)=opx2 26.3令y=/(x),則由/(x)=[e-rdt,兩端對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)可得f\x)=e'xJO所以，有y，=e*,y(0)二。取/2=0.1,令Xn=n/2,(n=0,1,2,…，30)。由四階龍格-庫(kù)塔公式hy〃+i= +工伙1+2k2+2k3+A4]6而由于這一常微分方程的特殊性，有_2 -(x?+-)2_ 2k[=e]〃，3=&=e2,k4=e'3所以h 2 -(X..+—)- 2yn+i=yn+—[e~x,1+4e 2+e~x,,+l],(n=0,1,???,30)6算法如下：第一步：置/z=0.l,n-0,p=0,q-0.5/z,zi=12 2其次步：置p—p+/z,計(jì)算z2=e~q~,z3=e~p~；第三步：yw+1=yn++4z2+z3]/6；第四步：推斷，若〃<30,則置n—〃+1,q~q+h,zi<—Z3轉(zhuǎn)其次步；否則，輸出切(〃=12…,30),結(jié)束。h6?4(1)/+]=先+/以。〃)+4/。〃+〃/2)+/區(qū)用)],(〃=0,1,2,…)oh“、>用=% (%)+2/(%+。.5妙(%))+2/(%+0.5什(%+0.5/(%)))12； O+f(yn+hf{yn+0.5/(%+0.5/(先))))]5用二階差商代替二階導(dǎo)數(shù)，由常微分方程得差分方程%—2.+.1_/,(〃=1,2,3,4)整理，并留意yo=O,y5=1，可得

一（2+力"）%+為二人之王

%-（2+/）為+>3=心大2

y2-（2+h2）y3+y4=h2x3

y3-（2+/r）y4=h2x4-1

tk=x^+kh,（攵=0,1,…，幾）用差商代替導(dǎo)數(shù)，即y'COp'』（/,<%<tk+｝）則旋轉(zhuǎn)曲面面積his=Ry^+y2dx=M+y'2dx"￡%JL+（”+1-”）2麗 k=0" k=0用計(jì)算機(jī)求下列多元函數(shù)微小值的數(shù)值解n-\ F（y0，yi，…，丫〃）=?^^/+（”+i一為）2，（y（）和孫為已知）k=0第七章非線性方程求根方法第七章非線性方程求根方法7.an<x*<bn，所以7.—X*）W—[Cl

2—X*）W—[Cl

2-x*+bH-x*]=>[（￡-〃〃）+（4一￡）]=2〃—,2〃b-a<-2向7.37.3由二分法收斂定理知由于〃由于〃—4=1,所以，令 <2'用b-a<-2〃m1 2—Xi。一,解得iooo<2〃，取〃=10,便有2*/xn-x<-Lr=4?<-xl0-3*/xn-x<4(1)在二分法的迭代過(guò)程中,由于他〃，2+/，5=1,2,?an+\和瓦+i的選取有兩種可能，即[a〃+i,2+1]=m〃，(?！?么)/2]或者[an+i,bn+i]=[(an+a)/2,bn?)?)其中,]an與2+1(n=1,2,…)成立。(2)由二分法過(guò)程知,可能產(chǎn)生兩種狀況a〃=an-x或者4依據(jù)兩種狀況，有a〃b〃+c1nMl=an_,bn+anbn_}或者見儲(chǔ)+a〃_\b「\=anbn_}+aH_}bn=an_xbn+anbfl_]] c7.5(1)x〃+i=7(x〃+—),(〃=0,1,2,???)2 %(2)對(duì)隨意x()>0,有玉=，(公+2r)=；(向一)2+Vc>4c設(shè)對(duì)隨意正整數(shù)匕有％)=；(向一)2+Vc>4cXk由數(shù)學(xué)歸納法，知對(duì)隨意自然數(shù)左，都有％之五成立。] 1 x2由于勾力五，所以。<xj,故z+]=一(z+￡)<—(4=z。2 1卜2 Xk因?yàn)閿?shù)列｛x〃｝單調(diào)削減且有下界，所以數(shù)列是收斂的。7.6(1)由于X*是開普勒方程的解，所以滿足方程*?*x=qsmx+a而迭代公式為x&+]=4sin4+。，所以有**?**大卜+1-x=qsmxk-smx=qcosg{xk-x)<qxk-x(2)由上式，得<qxk_}-x<qxk_2-x<???<(7x()-x所以，lim除-x*<limqk玉)—x*=0或limxk=x*k—>8I Ar—>00 k—g7(1)7(〃)=，/+4(1+2/〃)(〃2+4)(〃+2-=36/或/+4〃3-28〃2+i6〃+i6=0。一元四次方程的根為xi=-7.8126,x2=2.9841,x3=1.3404,必=-0.5120。由于正根為及=2.9841,抬=1.3404,所以可以認(rèn)為梯子放置點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是在距溫室1.34米到2.98米的范圍內(nèi)。第八章解線性方程組的迭代法TOC\o"1-5"\h\z1(1)X|=3,X=2,AX,=15,AX=10i 00 1 co(2)ML=7,網(wǎng)8=6。11^=15<7x3=H114,即網(wǎng)CMAX\[=10<6x2=A||X||,即||AX||<AX

lloo 00IIllcoIIlloo 00 000-空8.2雅可比迭代法的迭代矩陣為及= ""一&L0Cl,？由矩陣的特征多項(xiàng)式AI-Ba\2

a\\由迭代法收斂的充分必要條件知，當(dāng)("1)X\8.3V(Al)—[^i-anx^k}]aw1AI-Ba\2

a\\由迭代法收斂的充分必要條件知，當(dāng)("1)X\8.3V(Al)—[^i-anx^k}]aw1[卜_nr(%+D1。21匹J〃22賽德爾迭代法的迭代矩陣 Ba2\^^22412a21

aj?^3^22<1成立時(shí)，雅可比迭代法是收斂的。a\2

a\\

2a2i?228.4已知平面上三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)確定拋物線方程y=g+1X+&，的算法第一步:輸入數(shù)據(jù):X],M，12,丁2，%3，%；1xx其次步：建立矩陣：X=1%1X32x22*3以及列向量丫=為第三步：求解方程組XA=y中未知列向量A=[a0%%],。第四步：輸出數(shù)據(jù)結(jié)果：〃0,41,〃2。結(jié)束。8.5(1)依據(jù)插值條件，可得兩個(gè)線性方程組如下:%+b}x]+c}y}=0Q]+b]x2+c]y2=1a{+b[x3+Cjy3=0a2+b2x]+c2y}=0a2+b2x2+c2y2=0a2+b2x3+c2y3=1(2)方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)行列式不為零。即1x1M1x2乃w0x3%.6設(shè)球面方程為：x2+y2+z2-ax-by-cz-d=O9則將所給的球面上四個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入并整理可得線性方程組如下：求解這一方程組，得。=1,b=0，c=0,d-2故，球面方程為：x'+y'+z'—x—2=0配方，可得簡(jiǎn)潔形式：(x—0.5)2+j/+z2=2.25所以，球心坐標(biāo)為：(0.5,0,0)；球半徑為：r=1.5B等零件相對(duì)誤差不超過(guò)5%下限上限下限上限XI0.09500.1050X51.42501.5750X20.28500.3150X615.200016.8000X30.09500.1050X70.71130.7862X40.09500.1050C等零件相對(duì)誤差不超過(guò)10%下限上限下限上限XI0.09000.1100X51.35001.6500X20.27000.3300X614.400017.6000X30.09000.1100X70.67390.8236X40.09000.1100.7算法如下：⑴.將100個(gè)小數(shù)按由小到大排序.將排序后的100個(gè)小數(shù)依次相加.將100個(gè)小數(shù)相加結(jié)果與KF相加.輸出計(jì)算結(jié)果，結(jié)束。8一個(gè)八位二進(jìn)制數(shù)為(10111101)2(1)用秦九韶算法將其轉(zhuǎn)化為10進(jìn)制數(shù)只需六次乘法c=(((((0+0)X2+1)x2+1)x2+1)x2+1)x2+0)x24-1=189(2)將任一個(gè)二進(jìn)制數(shù)(bib2b3b4b5b6b7b8)2轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的算法框圖如下:其次章解線性方程組的干脆法2,1X]=1X]=2X]=3o2,1X]=1X]=2X]=3o77121二1，為機(jī)31=2,根32=-2。消元過(guò)程所得增廣矩陣-3-7-212.3.996X1+5?5625工2+4x3=7.41782.2.0028/+2.002x3=0.4037

乙J0.3705x3=0.35162.Li--^21一m31一根41一m32一根42則,2.Li--^21一m31一根41一m32一根42則,由矩陣乘法得L3L2LiA=U所以明顯,機(jī)21m3l機(jī)41LJ加32 1根42加21加21加31加41=U2.5當(dāng)2.5當(dāng)n=2時(shí),由于間＞q，網(wǎng)，明顯，］闋=結(jié)2—42G工0。假設(shè)滿足條件的件的"-1階三對(duì)角矩陣行列式不為零。現(xiàn)考慮〃階三對(duì)角矩陣的情形。A"b\a20bA"b\a20b2c2an%

bn依據(jù)行列式性質(zhì)，將第，2列乘-幺加到第(d1)列，然后按第〃行綻開行列式，得b=bn=bna2b2c2bgi)--c

n—\jn—\

bbgi)--c

n—\jn—\

b〃anbn-\由于右邊行列式是小i階三對(duì)角矩陣行列式，現(xiàn)在只須證明小1階三對(duì)角矩陣的元素滿足證明如下題目所給條件，則由數(shù)學(xué)歸納法可得n階三對(duì)角矩陣行列式不為零。證明如下<1，%由于2>〃〃，bn<1，%所以，〃-1階三對(duì)角矩陣的元素滿足題目所給條件(主對(duì)角占優(yōu))。第三章插值方法3.1整理已有數(shù)據(jù)構(gòu)造函數(shù)表X13161f(x)793861880令〃二30,由拉格朗日插值基函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得2%-(%)+x2)/：(x)=2%-(%)+x2)/：(x)=lx-(x0+x2)h11‘2(%)=2x-(x0+%j)2h2代入二次插值函數(shù)一x*x,(0+/))'。-2(0+X。)/+區(qū)+與))’2=57.6327所以，從5月1日到6月30日這些天中，可以認(rèn)為6月27日這一天日照時(shí)間最長(zhǎng)。3.2構(gòu)造函數(shù)表豬肉產(chǎn)量X2827.2827.02豬肉價(jià)格Y6.87.097.19假如1999年豬肉產(chǎn)量為27.5萬(wàn)噸，則由二次拉格朗日插值函數(shù)L2(27.5)=Z0(27.5)j0+/1(27.5)y1+/2(27.5)y2=7.0034推想1999年豬肉價(jià)格為：7.00(元)。3確定函數(shù)如下：0<x<100x>100由于y(100)=8,所以一個(gè)新手須要織100匹布以后才能成為一名技術(shù)嫻熟的紡織女工。.4(1)取犬幻=1,則/(叫幻=0但>0)。以人犬)為被插值函數(shù)，它的n次拉格朗日插值函數(shù)為L(zhǎng)n(X)=lo(X)fiXQ)+介(%)加)++ln(X)fiXn)=4)(%)+1\(X)++ ln(x)由插值誤差余項(xiàng)公式，知插值誤差為零。所以Ln(X)=/(%)=1即：/()(%)+/i(x)++ /,?(%)=!o2) (k=T,2,……，n),則/⑹(x)=0(n>0)。以1X)為被插值函數(shù)，它的n次拉格朗日插值函數(shù)為L(zhǎng)n(X)=—X0)+ ++-(%)-=Zo(x)xok+Zl(x)xik+ + Z/7(X)Xnk由插值誤差余項(xiàng)公式，知插值誤差為零。所以Ln(x)-fix)- (k=l,2, , n)即：Zo(x)xok+11(X)X1k+ +A?(x)xnk=xz：O2 2 2 2 2 23.51(X2一%)%一(%—%)X+(X]一%)%x?3.52(々―X|)%一。2一天))H+(玉一玉))，26設(shè)/(x,y)是被插值函數(shù)，z(x,y)=ix+Z?y+c為插值函數(shù)。(1)由插值條件z(xi,yi)=ui,z(i2,axx+by](1)由插值條件z(xi,yi)=ui,z(i2,axx+by]+c=u]<ax2+by2+c=u2ax3+by3+c=u3丁2)二如Z(X3,x2工3(2)二元線性插值函數(shù)存在唯一的條件為x2y3)=U3o得y%為知，要求三個(gè)插值結(jié)點(diǎn)所形成的三角形面積不為零。即三點(diǎn)不共線。（3）設(shè)z（x,y）=/]（x,y）%+，2（x,y）〃2+，3（X，了）〃3，三個(gè)線性插值基函數(shù)為/,(x,y)=axx+bxy+cx,/2(x,y)=a2x+b2y+c2,Z3(x,y)=a3x+b3y+c3它們應(yīng)滿足的插值條件見下表則由插值條件列出線性方程組qX]+b則由插值條件列出線性方程組qX]+b}y}+cl=1<a{x2+b1y2+Cj=0,axxy+4%+cx-0分別求解三個(gè)線性方程組可得a2x[+b2y}+c2=0a2x2+b2y2+q=1，a2x3+b2y3+c2=0a3xl+&必+c3=0+仇乃+Q=0a3x3+b3y3+c3=1人（羽y）=%2X3匹人（羽y）=%2X3匹x2x32ay)=%3王x2x31，，3(x,y)=11玉X?X111i11(x,y)⑶，yi)S,yi)（孫丁3）l&y)i00128y)0i013(x,y)0013.7(1)11110a-%）

（々-/）

（*3—%11110a-%）

（々-/）

（*3—%）0

0（々7（））。2一七）

（七一%）。3―玉）000(x3-x0)(x3-X])(x3-x2)/（/）了（七）了（%2）/區(qū)）(2)1000010000100001fMflx^X1]了[%0，玉,%]f[尤0，/9%,九3】所以,&=/(%),ax所以,&=/(%),ax=/[x0,Xj],a?=/[x09x19x2],a3=/[x0,x19x2,x3]o第四章數(shù)據(jù)擬合方法1超定方程組的矩陣形式為23123144-5x2k2113614將方程兩端同乘以系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，可得正規(guī)方程組303349_303349_xy_-9369SQ)SQ)=VqZh—at時(shí)間t00.91.93.03.95.0距離s010305080110解之，得x=2.9774, 1.2259。4.2設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的初速度和加速度分別為W和Q,初始時(shí)刻距離為0,則距離函數(shù)為2用后5個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)作曲線擬合t0.91.93.03.95.0S10305080110可得，vo=10.6576,a=4.62693令z=lny,則z=lnA+Kx。處理數(shù)據(jù)如下X1234Z=1"4.09433.40122.99572.7081由最小二乘法作線性擬合得，InA=4.4409,8=-0.4564。所以4=84.8528。故，所求經(jīng)難公式為y=84.25e,4564鼠第五章數(shù)值積分方法1橢圓周長(zhǎng)公式為：￡=4。j -e?cos?/dt由于所以被積函數(shù)2/(0=y/l-e2cos21六1一，62cos2,積分，得積分，得21 21 2兀、c/e、~e—]=2^z(l-—)

2 4 4“’(沁T4r7r/2/1 l2 2\ia￥兀L,4qJ(1—ccost)dt—4a[5.2(1)令耳(x)=[/⑺力，則耳⑷=0,F；(x)=/(x),F^(x)=f\x)利用泰勒中值定理2Fx(b)=Fx(?)+(b-a)F}\a)+所以，有、b (b—a)?pb(2)令F2(x)=[則BS)=O，入'(x)=—/(x),B''(x)=—/'(x)Jx利用泰勒中值定理2B⑷=尸23)+(a—b)「2，3)+如-；)"")

乙所