分式知識點(diǎn)典型例題

分式知識點(diǎn)及典型例題分式知識點(diǎn)及典型例題/分式知識點(diǎn)及典型例題適用標(biāo)準(zhǔn)分式【知識網(wǎng)絡(luò)】【主要公式】1.同分母加減法規(guī):bcbca0aaa2.異分母加減法規(guī):bdbcdabcdaa0,c0;acacacac3.分式的乘法與除法:b?dbd,bcb?dbdacacadacac4.同底數(shù)冪的加減運(yùn)算法規(guī):實(shí)質(zhì)是合并同類項(xiàng)5.同底數(shù)冪的乘法與除法;am●an=am+n;am÷an=am－n6.積的乘方與冪的乘方:(ab)m=ambn,(am)n=amn7.負(fù)指數(shù)冪:a-p=1a0=1ap8.乘法公式與因式分解:平方差與完整平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2一、考點(diǎn)、熱門知識點(diǎn)一：分式的定義一般地，假如A，B表示兩個整數(shù)，而且B中含有字母，那么式子A叫做分式，A為分B子，B為分母。文檔適用標(biāo)準(zhǔn)知識點(diǎn)二：與分式有關(guān)的條件①分式有意義：分母不為0（B0）②分式無心義：分母為0（B0）A0③分式值為0：分子為0且分母不為0（）B0A0A0④分式值為正或大于0：分子分母同號（或B）B00A0A0⑤分式值為負(fù)或小于0：分子分母異號（或B）B00⑥分式值為1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值為-1：分子分母值互為相反數(shù)（A+B=0）知識點(diǎn)三：分式的基天性質(zhì)分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。字母表示：AA?C，AAC，此中A、B、C是整式，C0。BB?CBBC拓展：分式的符號法規(guī)：分式的分子、分母與分式自己的符號，改變此中任何兩個，分式的值不變，即AAAABBBB注意：在應(yīng)用分式的基天性質(zhì)時，要注意C0這個限制條件和隱含條件B0。知識點(diǎn)四：分式的約分定義：依據(jù)分式的基天性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。步驟：把分式分子分母因式分解，而后約去分子與分母的公因。注意：①分式的分子與分母為單項(xiàng)式時可直接約分，約去分子、分母系數(shù)的最大合約數(shù)，文檔適用標(biāo)準(zhǔn)而后約去分子分母相同因式的最低次冪。②分子分母若為多項(xiàng)式，約分時先對分子分母進(jìn)行因式分解，再約分。知識點(diǎn)四：最簡分式的定義一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。知識點(diǎn)五：分式的通分①分式的通分：依據(jù)分式的基天性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與本來的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。②分式的通分最主要的步驟是最簡公分母的確定。最簡公分母的定義：取各分母全部因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。確立最簡公分母的一般步驟：Ⅰ取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；Ⅱ單獨(dú)出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）的冪的因式連同它的指數(shù)作為一個因式；Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的冪的因式取指數(shù)最大的。Ⅳ保證凡出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）為底的冪的因式都要取。注意：分式的分母為多項(xiàng)式時，一般應(yīng)先因式分解。知識點(diǎn)六分式的四則運(yùn)算與分式的乘方①分式的乘除法法規(guī)：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：ca?c?db?d分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒地址后，與被除式相乘。式子表示為文檔適用標(biāo)準(zhǔn)acada?d?bdbcb?c②分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子ananbn分式的加減法規(guī)：同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為ababccc異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，而后再加減。式子表示為acadbcbdbd整式與分式加減法：可以把整式看作一個整數(shù)，整式前面是負(fù)號，要加括號，看作是分母為1的分式，再通分。④分式的加、減、乘、除、乘方的混雜運(yùn)算的運(yùn)算序次先乘方、再乘除、后加減，同級運(yùn)算中，誰在前先算誰，有括號的先算括號里面的，也要注意靈巧，提升解題質(zhì)量。注意：在運(yùn)算過程中，要明確每一步變形的目的和依照，注意解題的格式要規(guī)范，不要隨意跳步，以便核對有無錯誤或分析出錯的原由。加減后得出的結(jié)果必定要化成最簡分式（或整式）。知識點(diǎn)六整數(shù)指數(shù)冪①引入負(fù)整數(shù)、零指數(shù)冪后，指數(shù)的取值范圍就推行到了全體實(shí)數(shù)，而且正正整數(shù)冪的法規(guī)對對負(fù)整數(shù)指數(shù)冪相同適用。即★amanamnmnmn★aa★abnanbn★amanamn（a0）文檔適用標(biāo)準(zhǔn)★an★an1anbbnana01（a0）（任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于此中m，n均為整數(shù)。科學(xué)記數(shù)法

a0）1）若一個數(shù)x是0<x<1的數(shù)，則可以表示為a10n（1a10，即a的整數(shù)部分只有一位，n為整數(shù)）的形式，n的確定n=從左側(cè)第一個0起到第一個不為0的數(shù)為止全部的0的個數(shù)的相反數(shù)。如0.000000125=1.2510-77個0若一個數(shù)x是x>10的數(shù)則可以表示為a10n（1a10，即a的整數(shù)部分只有一位，n為整數(shù)）的形式，n的確定n=比整數(shù)部分的數(shù)位的個數(shù)少1。如120000000=1.21089個數(shù)字知識點(diǎn)七分式方程的解的步驟⑴去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。（產(chǎn)生增根的過程）⑵解整式方程，獲取整式方程的解。⑶檢驗(yàn)，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：假如最簡公分母為0，則原方程無解，這個未知數(shù)的值是原方程的增根；假如最簡公分母不為0，則是原方程的解。產(chǎn)生增根的條件是：①是獲取的整式方程的解；②代入最簡公分母后值為0。知識點(diǎn)八列分式方程基本步驟①審—仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系。②設(shè)—合理設(shè)未知數(shù)。文檔適用標(biāo)準(zhǔn)③列—依據(jù)等量關(guān)系列出方程（組）。④解—解出方程（組）。注意檢驗(yàn)⑤答—答題。二、典型例題（一）、分式定義及有關(guān)題型題型一：觀察分式的定義【例1】以下代數(shù)式中：

b,x2y21x,1xy,a,xy，是分式的有：.2abxyxy題型二：觀察分式有意義的條件【例2】當(dāng)x有何值時，以下分式有意義（1）x4（2）x3x（3）21（4）6x（5）1x422x2|x|3x1x題型三：觀察分式的值為0的條件【例3】當(dāng)x取何值時，以下分式的值為0.（1）x1（2）|x|2（3）x22x3x3x24x25x6題型四：觀察分式的值為正、負(fù)的條件【例4】（1）當(dāng)x為什么值時，分式84x為正；5x（2）當(dāng)x為什么值時，分式3(x1)2為負(fù)；文檔適用標(biāo)準(zhǔn)（3）當(dāng)x為什么值時，分式x2為非負(fù)數(shù).x3練習(xí)：1．當(dāng)x取何值時，以下分式有意義：（1）1（2）3x1（3）16|x|3(x1)211x2．當(dāng)x為什么值時，以下分式的值為零：（1）5|x1|（2）225x2x4x6x53．解以下不等式（1）|x|20（2）x50x1x22x3（二）分式的基天性質(zhì)及有關(guān)題型1．分式的基天性質(zhì)：2．分式的變號法規(guī)：

AAMAMBBMBMaaaabbbb題型一：化分?jǐn)?shù)系數(shù)、小數(shù)系數(shù)為整數(shù)系數(shù)【例1】不改變分式的值，把分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).12yx0.2a0.03b（1）23（2）11y0.04abx43題型二：分?jǐn)?shù)的系數(shù)變號文檔適用標(biāo)準(zhǔn)【例2】不改變分式的值，把以下分式的分子、分母的首項(xiàng)的符號變成正號.（1）xy（2）a（3）aabbxy題型三：化簡求值題【例3】已知：

115，求2x3xy2y的值.xyx2xyy提示：整體代入，①xy3xy，②轉(zhuǎn)變出11.xy12，求x21的值.【例4】已知：xxx2【例5】若|xy1|(2x3)20，求1的值.4x2y文檔適用標(biāo)準(zhǔn)練習(xí)：1．不改變分式的值，把以下分式的分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).0.4a30.03x0.2yb（1）（2）150.08x0.5y1ab4102．已知：13，求x4x21的值.x3．已知：113，求2a3ab2b的值.abbaba4．若a22ab26b100，求2ab的值.3a5b文檔適用標(biāo)準(zhǔn)5．假如1x2，試化簡|x2|x1|x|.2x|x1|x、（三）分式的運(yùn)算1．確立最簡公分母的方法：①最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；②最簡公分母的字母因式取各分母全部字母的最高次冪.2．確立最大公因式的方法：①最大公因式的系數(shù)取分子、分母系數(shù)的最大合約數(shù)；②取分子、分母相同的字母因式的最低次冪.題型一：通分【例1】將以下各式分別通分.cbaa,b（1）2ab,3a2c,5b2c；（2）；ab2b2a1x2a1（3）x2x,12xx2,x2x2；（4）2,2a題型二：約分2（2）n2m2（3）x22.【例2】約分：（1）16x3y；m；2x20xynxx6文檔適用標(biāo)準(zhǔn)題型三：分式的混雜運(yùn)算【例3】計(jì)算：（1）(a2b)3(c2)2(bc)4；（2）(3a3)3(x2y2)(yx)2；cabaxyyxm2nn2m；（4）a2；1a（5）112x4x38x7；（6）111；1x1x1x21x41x8(x1)(x1)(x1)(x3)(x3)(x5)題型四：化簡求值題【例4】先化簡后求值（1）已知：x1，求分子128[(x241)(11)]的值；x44x2x文檔適用標(biāo)準(zhǔn)（2）已知：xyz，求xy2yz3xz的值；234x2y2z2（3）已知：a23a10，試求(a21)(a1)的值.a2a題型五：求待定字母的值【例5】若13xMN，試求M,N的值.x21x1x1練習(xí)：1．計(jì)算（1）2a5a12a3；（2）a2b22ab；2(a1)2(a1)2(a1)abbaabca2b3cb2c；（4）2b2ab文檔適用標(biāo)準(zhǔn)（5）(ab4ab)(ab4ab)；（6）112；abab1x1x1x2（7）121.(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)2．先化簡后求值（1）a1a2a241，此中a滿足a2a0.a22a1a21（2）已知x:y2:3，求(x2y2)[(xy)(xy)3]x2的值.xyxy3．已知：5x4AB，試求A、B的值.(x1)(2x1)x12x1文檔適用標(biāo)準(zhǔn)4．當(dāng)a為什么整數(shù)時，代數(shù)式399a805的值是整數(shù)，并求出這個整數(shù)值.a2（四）、整數(shù)指數(shù)冪與科學(xué)記數(shù)法題型一：運(yùn)用整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算【例1】計(jì)算：（）(a2)3(bc1)3（2）(3x3y2z1)2(5xy2z3)21（3）[(ab)3(ab)524]2（4）[(xy)3(xy)2]2(xy)6(ab)(ab)題型二：化簡求值題【例2】已知xx15，求（1）x2x2的值；（2）求x4x4的值.題型三：科學(xué)記數(shù)法的計(jì)算文檔適用標(biāo)準(zhǔn)【例3】計(jì)算：（1）(3103)(8.2102)2；（2）(4103)2(2102)3.練習(xí)：1．計(jì)算：（1）(11)(1)2|1|(13)0(0.25)2007420083553（2）(31m3n2)2(m2n)3（3）(2ab2)2(a2b)2(3a3b2)(ab3)2（4）[4(xy)2(xy)2]2[2(xy)1(xy)]22．已知x25x10，求（1）xx1，（2）x2x2的值.文檔適用標(biāo)準(zhǔn)第二講分式方程（一）分式方程題型分析題型一：用常例方法解分式方程【例1】解以下分式方程（1）13；（2）210；（3）x1x241；（4）5xx5x1xx3xx11x34x提示易出錯點(diǎn)：①分子不添括號②漏乘整數(shù)項(xiàng)；③約去相同因式至使漏根；④忘掉驗(yàn)根.題型二：特別方法解分式方程【例2】解以下方程（1）x4x44；（2）x7x9x10x6x1xx6x8x9x5提示：（1）換元法，設(shè)【例3】解以下方程組

xy；（2）裂項(xiàng)法，x711.x1x6x6111(1)xy2111(2)yz3111(3)zx4文檔適用標(biāo)準(zhǔn)題型三：求待定字母的值【例4】若關(guān)于x的分式方程21m有增根，求m的值.x3x3【例5】若分式方程2xa1的解是正數(shù)，求a的取值范圍.x22a且x2，a2且a4.提示：x03題型四：解含有字母系數(shù)的方程【例6】解關(guān)于x的方程xac(cd0)bxd提示：（1）a,b,c,d是已知數(shù)；（2）cd0.題型五：列分式方程解應(yīng)用題練習(xí)：文檔適用標(biāo)準(zhǔn)1．解以下方程：（1）x12x0；（2）x24；x112xx3x3（3）2x32；（4）737x2x2x2x2xxx21x21（5）5x42x51（6）11112x43x22x1x5x2x4（7）x2x9x1x8xx7x1x62．解關(guān)于x的方程：（1）112(b2a)；（2）1a1b(ab).axbaxbx3．假如解關(guān)于xkx會產(chǎn)生增根，求k的值.x2x224．當(dāng)k為什么值時，關(guān)于x的方程x3k1的解為非負(fù)數(shù).x2(x1)(x2)文檔適用標(biāo)準(zhǔn)5．已知關(guān)于x的分式方程2a1無解，試求a的值.a（二）分式方程的特別解法解分式方程，主若是把分式方程轉(zhuǎn)變成整式方程，平常的方法是去分母，而且要檢驗(yàn)，但對一些特別的分式方程，可依據(jù)其特色，采納靈巧的方法求解，現(xiàn)舉比方下：一、交織相乘法例1．解方程：13xx2二、化歸法例2．解方程：

120x1x21三、左側(cè)通分法文檔適用標(biāo)準(zhǔn)例3：解方程：x818x77x四、分子相同法1a1b(ab)五、觀察比較法例5．解方程：4x5x2175x24x4六、分別常數(shù)法例6．解方程：x1x8x2x7x2x9x3x8文檔適用標(biāo)準(zhǔn)七、分組通分法1111例7．解方程：x2x5x3x4（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程x1m無解，求m的值。x22x例2．若關(guān)于x的方程xk21x不會產(chǎn)生增根，求k的值。x1x2x1文檔適用標(biāo)準(zhǔn)例3．若關(guān)于x分式方程1kx23有增根，求k的值。x2x24例4．若關(guān)于x的方程1k5k1有增根x1，求k的值。1xx2xx21x三、課后練習(xí)一、分式、分式看法1.各式中，11y,11,—4xyx,x）x+2,5a,2分式的個數(shù)有（3xyxA、1個B、2個C、3個D、4個2．在ab,x3,5x,ab，21中，是分式的有（）2xabaA、1個B、2個C、3個D、4個以下各式：ab，x3，5y，321，ab，1y)中，是分式的共有（）2xab4mA、1個B、2個C、3個D、4個、分式有意義文檔適用標(biāo)準(zhǔn)（1）當(dāng)x≠___時，分式2x有意義；x2（2）當(dāng)x____時，分式x1有意義；2x1x1____時，分式?jīng)]有意義，當(dāng)x____時，分式的值為零；（3）分式中，當(dāng)x2x4（4）當(dāng)x_____時，分式有意義。x21x2無心義；（5）當(dāng)x________________時，分式83x（6）當(dāng)xx3時，分式x3無心義．（7）當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時，以下分式必定有意義的是（）2111A.B.2C.D.1x3x2xx2x2xx的值是（）（8）.能使分式的值為零的全部x21Ax0Bx1Cx0或x1Dx0或x1（9）已知當(dāng)x2時，分式xb無心義，x4時，此分式的值為0，則ab的值等于（）xaA．－6B．－2C．6D．24、分式的基天性質(zhì)2y1．假如把3y中的x和y都擴(kuò)大5倍，那么分式的值（）2xA擴(kuò)大5倍B不變C減小5倍D擴(kuò)大4倍2、若x、y的值均擴(kuò)大為本來的2倍，則以下分式的值保持不變的是（）3x3x3x23x3A、B、C、D、2y2y22y2y2xy；6x(yz);3.填空：aby3(yz)2yaz文檔適用標(biāo)準(zhǔn)3a(a0)a215xy10axya24x2y22=xy．2x=2；xyx3x3x4．不改變分式0.5x0.20.3y的值，使分式的分子分母各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，結(jié)果是15、以下各式中，正確的選項(xiàng)是（）A．a(chǎn)maB．a(chǎn)b=0C．a(chǎn)b1b1D．x2y21bmbabac1c1xyxy5、約分1、把以下各式分解因式（12分）（1）ab+b2(2)2a2-2ab(3)-x2+9(4)2a3-8a2+8a2、約分（16分）（1）12xy(2)a2b2(3)x29(4)a2b29x2bax26x9a2ab3、約分（1）x26x9=2x42；（2）2x28x8=；x9文檔適用標(biāo)準(zhǔn)m23m的結(jié)果是（）4、化簡m29mmC、A、B、m3m3

mmm3D、3m6、最簡公分母1．在解分式方程：x1＋2＝1的過程中，去分母時，需方程兩邊都乘以最簡公分母是x24x22x___________________.2、分式1,1,1的最簡公分母為。2x2y25xy8、通分1．已知x0111），2x等于（x3x11511A、B、C、D、2x6x6x6x2．化簡122的結(jié)果是（）m29m3A、6222m929B、C、3D、29mm3mm3、計(jì)算11）11的正確結(jié)果是（xxA、0B、2x2D、2x2C、111x2x29、分式的混雜運(yùn)算1.（11分）先化簡，再求值：x1x，此中x=2．x21x1文檔適用標(biāo)準(zhǔn)x22x1x12.（本題6分）先化簡，再求值：21x1，此中x=x21x3、（8分）先化簡，再求值：1x2，此中：x=－