湖南省長沙市2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

Page16湖南省長沙市2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題第Ⅰ卷一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由交集定義計算．【詳解】根據(jù)集合交集中元素的特征，可得，故選：A.【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于簡單題．2.已知命題，，則是（）.A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】利用全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，直接寫出結(jié)果即可．【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題，，則命題的否定形式是，．故選：．3.如圖，將一張三角形紙片沿著BC邊上的高AD翻折后豎立在桌面上，則折痕AD所在直線與桌面所成的角等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合線面垂直的判定定理確定正確答案.【詳解】依題意可知，所以平面，所以折痕AD所在直線與桌面所成的角等于.故選：C4.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對于D，為上增函數(shù)，符合題意，故選：D.5.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用二倍角公式計算可得；【詳解】解：因為，所以；故選：B6.已知，，，，且，則的值分別為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：,，，解得：，故選C.7.在中，已知，，，則（）A.1 B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．8.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用作差法結(jié)合的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】設(shè)，則為增函數(shù)，因為所以，所以，所以.，當(dāng)時，，此時，有當(dāng)時，，此時，有，所以C、D錯誤.故選：B.【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.下列命題正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判斷．【詳解】由線面垂直的判定定理可得A正確，由線面垂直的性質(zhì)定理可得B正確，，可能有，C錯誤，時可能有，，與相交（可能垂直），D錯誤，故選：AB．10.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）．A.的周期為B.在單調(diào)遞增；C.的一個對稱中心是D.的一條對稱軸的方程為．【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合周期公式逆推即可求解.【詳解】對于A，的周期為，故A不正確；對于B，由，得，從而當(dāng)即時，單調(diào)遞增；故B正確；對于C，，所以的一個對稱中心是，故C正確；對于D，，所以的一條對稱軸的方程為，故D正確.故選：BCD.11.已知復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則下列命題中正確的為（）A.z在復(fù)平面上對應(yīng)點在第四象限 B.C.是純虛數(shù) D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，判斷A;求得復(fù)數(shù)的模，判斷B;計算，根據(jù)其結(jié)果，判斷C;計算，根據(jù)二者的結(jié)果，判斷D.【詳解】z上在復(fù)平面上對應(yīng)點的坐標(biāo)為，在第四象限，故A正確；復(fù)數(shù)，則，故B正確；，是實數(shù)，故C錯誤；，故D錯誤．故選：AB12.已知O，N，P，I在△ABC所在的平面內(nèi)，則下列說法正確的是（）A.若，則O是△ABC的外心B.若，則P是△ABC的垂心C.若，則N是△ABC的重心D.若，則I是△ABC的垂心【答案】ABCD【解析】【分析】根據(jù)三角形外心、垂心、重心和內(nèi)心定義，結(jié)合平面向量的運算即可求得答案.【詳解】對A，根據(jù)外心的定義，易知A正確；對B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正確；對C，記AB、BC、CA的中點為D、E、F，由題意，則，同理可得：，則N是重心，故C正確；對D，由題意，，則I是垂心，故D正確故選：ABCD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）13.___________.【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得.故答案為：.14.已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為______.【答案】【解析】【分析】利用圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，列出方程，求解即可．【詳解】由題意，設(shè)母線長為，∵圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，則有，解得，∴該圓雉的母線長為.故答案為：.15.已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為________【答案】【解析】【分析】由向量垂直數(shù)量積等于可得，再由平面向量夾角公式結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】因為，所以，所以，設(shè)與的夾角為，所以=，因為，所以，所以與的夾角為，故答案為:．16.已知函數(shù)，則不等式的x的解集是________．【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的解析式或圖象可得函數(shù)單調(diào)遞增，不等式轉(zhuǎn)化為，進而求解出結(jié)果.【詳解】畫出函數(shù)的圖象如圖所示：所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由得，即，解得.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或者演算步驟）17.已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．（1）若z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）若m＝2，設(shè)，試求a＋b的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由實部等于0得到實數(shù)的值；（2）把復(fù)數(shù)整理成的形式，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件得到的值進而求出．【小問1詳解】由題意可得：，且，；【小問2詳解】若m＝2，則，所以，，，.18.已知正方體ABCD?A1B1C1D1，O1為底面A1B1C1D1的中心．求證：（1）平面AB1D1//平面C1BD；（2）求直線D1A與BA1所成角．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）在正方體中，分別證明平面，平面，由面面平行的判定定理可證.（2）異面直線求夾角，將異面直線轉(zhuǎn)換到同一平面內(nèi)，進行求解.【小問1詳解】證：在正方體中，，且，所以四邊形為平行四邊形，則，同理.平面，平面；所以平面，同理平面，且，所以平面平面.【小問2詳解】∵，∴是直線與所成角，∵，∴，∴直線與所成角為．19.已知函數(shù)，的解集為．（1）求的解析式；（2）當(dāng)時，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意，為方程的兩個根，利用韋達(dá)定理得到方程組，解得、，即可求出求出函數(shù)解析式；（2）由（1）可得，利用基本不等式求出函數(shù)的最大值；小問1詳解】解：因為函數(shù)，的解集為，那么方程的兩個根是，，且，由韋達(dá)定理有所以．【小問2詳解】解：，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，當(dāng)時取等號，∴當(dāng)時，．20.如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達(dá)點D的位置，且AB⊥DA．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP=DQ=DA．①求三棱錐Q?ABP的體積；②求二面角Q?AP?C的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）①1；②.【解析】【分析】（1）證明，結(jié)合，證明平面，然后證明平面平面；（2）①由（1）及已知條件可確定QE⊥平面ABC，三棱錐Q?ABP的體積可通過錐體體積公式計算；②通過二面角的定義，找到二面角Q?AP?C的平面角∠EHQ，利用余弦定理解得EH，QH，進而確定二面角大小.【小問1詳解】由已知可得，∠BAC=90°，BA⊥AC又∵BA⊥AD，且ACAD=A，所以AB⊥平面ACD．又∵AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．【小問2詳解】①由已知可得，DC=CM=AB=AC=3，DA=，BP=DQ=DA，所以BP=．作QE⊥AC，垂足為E，則，QE=DC=AB=1，由已知及（1）可知，DC⊥CA，DC⊥BA，CABA=A，∴DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC．因此，三棱錐Q?ABP的體積為．②作EH⊥AP交AP于H，連QH，由QE⊥平面ABC，得QE⊥AP，EHQE=E，∴AP⊥平面QEH，∴AP⊥QH，∠EHQ為二面角Q?AP?C的平面角在△ABP中由余弦定理，求得，由DA=BC=，BP=，所以PC=，又∵AC=3在△ACP中由余弦定理，，，又∵AE=AC=1，∴，又∵QE=1，∴，∴．21.已知向量，函數(shù)，，．（1）當(dāng)m=0時，求的值；（2）若的最小值為，求實數(shù)m的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和的余弦定理得到函數(shù)的解析式，代入計算即可.（2）利用向量運算的坐標(biāo)表示及兩角和的余弦定理化簡函數(shù)解析式，再利用換元法根據(jù)函數(shù)最大值求出參數(shù)的值.【小問1詳解】當(dāng)時，，【小問2詳解】，，又令，則，，對稱軸為，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，解得（舍去），當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，解得（舍去），綜上，若的最小值為?1，則，22.（1）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，R表示的外接圓半徑.①如圖，在以O(shè)圓心、半徑為2的圓O中，和是圓O的弦，其中，，求弦的長；②在中，若是鈍角，求證：；（2）給定三個正實數(shù)a、b、R，其中，問：a、b、R滿足怎樣的關(guān)系時，以a、b為邊長，R為外接圓半徑的不存在、存在一個或存在兩個（全等的三角形算作同一個）？在存在的情況下，用a、b、R表示c.【答案】（1）①，②證明見解析，（2）見解析.【解析】【分析】（1）①由正弦定理知，根據(jù)題目中所給的條件可求出的長；②若是鈍角，則其余弦值小于零，由余弦定理得，即可證出結(jié)果；（2）根