過(guò)點(diǎn)P12的直線與軸的正半軸y軸的正半軸分別交于AB兩點(diǎn)當(dāng)

1一題多解、變式與引申一般高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出:提倡樂(lè)觀主動(dòng),勇于探究的學(xué)習(xí)方式,設(shè)立數(shù)學(xué)探究等學(xué)習(xí)活動(dòng),為學(xué)生形成樂(lè)觀主動(dòng)的,多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步制造有利的條件,讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)覺(jué)察和制造的歷程,進(jìn)展他們的創(chuàng)意識(shí)與力量.增加學(xué)申應(yīng)成為數(shù)學(xué)探究教學(xué)的重要渠道.例題：過(guò)點(diǎn)P〔1，2〕的直線與xyA，BAOBl1、探究問(wèn)題的不同解法分析：從問(wèn)題入手，先回憶直線方程的幾種形式，每種形式分別在何種條件下使用，同時(shí)提示學(xué)生留意要易于將△AOB思路1：突出條件直線過(guò)點(diǎn)〔，1：設(shè)直線l的斜率為k，由條件知k存在且k＜0，因此l的方程為：y－2＝k(x－1)令x＝0，得y＝2－k，令y＝0，得x＝12k則A1－2，B02〕k∴S＝1︱OA︱︱OB︱＝1︱12︱︱2－k︱△AOB 2 2 k＝1︱(1－2)(2－k〕︱2 k＝1︱－k＋4 ＋4︱2 k(k)4(k)4k2

＋4︱＝4

4 即＝2時(shí)，取“＝k∴△AOB4，此時(shí)直線l的方程為y－2＝－2(x－1)＋1〔一〕是否滿足。當(dāng)獲得問(wèn)題的一種解法后，不要為一假設(shè)對(duì)題中的條件從不同的角度進(jìn)展思考，又可得以下兩種思路。2：x，yA、Bxy

a b的解法。解法2：設(shè)點(diǎn)A，B0b，xa

y1，由條件知，a＞1，b＞2b由于點(diǎn)P〔1，2〕121由根本不等式，得1

12≥2a b

a b2abab2ab

＝1ab≥412a＝2，b＝4“＝”.△AOB 2 a b因此，△AOB4，此時(shí)直線lx2

y1，4＋3：212a b

1，從而a

bb2∴S＝1ab＝1 b2

1(b2)24(b2)4△AOB 2

2 b2 2 b2＝1[(b2)2

4 4]b2(b2)4∵b＞2∴b－2＞0，(b2)4b2 b2∴S≥1〔4＋4〕＝4△AOB 2當(dāng)且僅當(dāng)b－2＝4 ，即b＝4時(shí)，取“＝”.此時(shí)a＝2b2因此，△AOB4，此時(shí)lx2

y12x＋y－4＝042a b

1，1sin22

cos2，則a

1 ，b 2a b sin2 cos21 2 ＝ 1△AOB 2

2 sin2 cos2 sin2cos2＝ 4 ＝ 4(2sincos)2 ∵sin22≤1，∴ 4

≥4，即S≥4，當(dāng)且僅當(dāng)sin2＝±1

k

kZ時(shí)，取“＝”.此時(shí)a＝2，b＝42 4故△AOB4，此時(shí)直線lxy12x＋y－4＝02 4思路3：可以以角為變量，用角將所要用的量表示出來(lái)，轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題。解1,自點(diǎn)P作PN⊥y＝θ〔＝BPθ為銳角，則BNtanθ,A＝2coθ,易得，S＝S△AOB

＋SOMPN

＋S△PAM

△BPN＝2＋1×2×2cotθ＋1×1×tanθ2 22cot1tan2＝2＋2cotθ＋2cot1tan22yBNP(1,2)θMAx1當(dāng)且僅當(dāng)2cotθ＝1taθ，即taθyBNP(1,2)θMAx12k＝tan(π－θ)＝－2，可得直線方程為y－2＝－2(x－12x＋y－4＝0評(píng)注：2，3，423用的是變量代換的方法，將面積表達(dá)式中兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量，這45變量的方法技巧性強(qiáng)，解決某些問(wèn)題比較便利，但其適用范圍小，用設(shè)斜率或截距的方法才是解決這一類(lèi)問(wèn)題的通法。從不同的角度打量該題并進(jìn)展一題多解，可以培育學(xué)生思維的寬闊性。2、探究變式變換條件解題后，不能僅僅停留在外表上，要對(duì)問(wèn)題開(kāi)放廣泛的思考與爭(zhēng)論，盡可能地從條件與結(jié)論的變換中得出更多的相關(guān)問(wèn)題。1:的直線l與x兩點(diǎn)，當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和最小時(shí)，求直線l的方程。問(wèn)2:的直線l與x兩點(diǎn)，當(dāng)︱PA︱與︱PB︱之積最小時(shí)，求直線l的方程。3:的直線l與x兩點(diǎn)，當(dāng)︱PA︱與︱PB︱之和最小時(shí)，求直線l的方程。以上三題都可以用與例題類(lèi)似的某些方法解決,此處從略.4:假設(shè)將條件“l(fā)xyA，B為“l(fā)與xyA，B分析:畫(huà)出草圖可知直線l并不是與坐標(biāo)軸在每個(gè)象限都可以圍成三角形的,只在第一,二,四象限能?chē)扇切?所圍成的△AOB并不是每種狀況下都有最小值.畫(huà)圖并結(jié)合例題的求解過(guò)程可知:在其次四象限所圍成的三角形面積可4.。解答過(guò)程略評(píng)注:對(duì)例題的條件與結(jié)論進(jìn)展轉(zhuǎn)變,有助于培育學(xué)生的探究力量與創(chuàng)意識(shí),有利于學(xué)生發(fā)散性思維的培育.課程理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)例習(xí)題的變式教學(xué).構(gòu)建開(kāi)放性問(wèn)題5:直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2)且與xA，BAOB4,則這樣的直線有多少條?yBP(1,2)OAx2yP(1,2)OAxyBP(1,2)OAx2yP(1,2)OAxByBP(1,2)AOx6:5435,狀況又如何呢?由對(duì)問(wèn)題53各有一個(gè),即直線有兩條;面積為5時(shí),滿足條件的三角形在第一象限有兩個(gè),其次,四象限各有一個(gè),即直線共有四條.3、引申出一般性結(jié)論yDyDOCAxP象限內(nèi)所截得的線段的中點(diǎn)是12，恰好是點(diǎn)P，也就是ABPAOB巧合嗎？有局部學(xué)生指出：將例題中的點(diǎn)P線，觀看結(jié)果是否也如此即可，教師可指出這只是特例驗(yàn)證的方法，能否用一般性理論證明呢？如右圖，直線ABCD都過(guò)點(diǎn)P12，且P為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)D在OB的BE∥xDPE,則△PCA≌△PEB，從而△AOB△DCOCOA〔DOB〕時(shí)，△AOB小于△DCO由上述分析可得下面的結(jié)論：1：在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)P〔m，n〕m＞0，n＞0x，y正半軸相交于A，B，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是ABAOB〔O〕的面積2mn，此時(shí)的直線方程為x

y11

2m 2n結(jié)論2：過(guò)角內(nèi)部肯定點(diǎn)的直線與角的兩邊相交成三角形，當(dāng)過(guò)定點(diǎn)的直線被角的兩邊所截得的線段以定點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，所成三角形面積最小。本結(jié)論的證明見(jiàn)文[4]評(píng)注:上述引申,引導(dǎo)學(xué)生多角度思考,由特別猜測(cè)一般性結(jié)論,拓寬了思維的渠道,體驗(yàn)了數(shù)學(xué)覺(jué)察和制造的歷程,有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)