北京市西城區(qū)（北區(qū)）高二下學期期末考試數(shù)學理試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2012—2013學年北京市西城區(qū)(北區(qū)）高二(下)期末數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分,共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿足z（2﹣i）=7﹣i，則z等于(）A．1+3iB．1﹣3iC．3﹣iD．3+i考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．專題：計算題．分析：由題意求出復數(shù)z，再分子分母同乘以2+i后化簡即可．解答：解：由z（2﹣i）=7﹣i得，===3+i，故選D．點評：本題考查了復數(shù)的乘除運算，對于除法分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)后再化簡．2．（5分）甲騎自行車從A地到B地，途中要經(jīng)過4個十字路口，已知甲在每個十字路口遇到紅燈的概率都是，且在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，那么甲在前兩個十字路口都沒有遇到紅燈，直到第3個路口才首次遇到紅燈的概率是(）A．B．C．D．考點:n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率．專題:概率與統(tǒng)計．分析：根據(jù)由題意可得，甲在前2個路口沒有遇到紅燈，概率都是，第三個路口遇到紅燈,概率等于，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式求得結果．解答：解：由題意可得甲在每個十字路口遇到紅燈的概率都是,甲在每個十字路口沒有遇到紅燈的概率都是1﹣=，那么甲在前兩個十字路口都沒有遇到紅燈,直到第3個路口才首次遇到紅燈的概率是=,故選C．點評：本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率與它的對立事件的概率之間的關系,屬于中檔題．3．（5分）函數(shù)的圖象在點（2，f(2））處的切線方程是（）A．x﹣4y=0B．x﹣4y﹣2=0C．x﹣2y﹣1=0D．x+4y﹣4=0考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：求導函數(shù)，確定切線的斜率，求出切點的坐標,即可得到切線方程．解答:解：求導函數(shù)，可得∴，f（2)=∴函數(shù)的圖象在點（2，f（2））處的切線方程是y﹣=（x﹣2），即x+4y﹣4=0故選D．點評：本題考查導數(shù)知識的運用,考查導數(shù)的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．4．（5分）從0，1，2,3，4中隨機選兩個不同的數(shù)字組成一個兩位數(shù)，其中偶數(shù)有（）A．9個B．10個C．11個D．12個考點：排列、組合的實際應用．專題：概率與統(tǒng)計．分析:由題意,末尾是0,2，4，分類求出相應的偶數(shù)，即可得出結論．解答：解：由題意，末尾是0，2,4末尾是0時，有4個；末尾是2時，有3個;末尾是4時，有3個，所以共有4+3+3=10個故選B．點評：本題考查計數(shù)原理的運用，考查學生分析解決問題的能力,屬于基礎題．5．（5分)設函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+2的導函數(shù)為f′（x）,若f′（x)為奇函數(shù)，則有(）A．a(chǎn)≠0,c=0B．b=0C．a(chǎn)=0，c≠0D．a(chǎn)2+c2=0考點：導數(shù)的運算；函數(shù)奇偶性的判斷．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：先求導數(shù)f′(x），由f′（x）為奇函數(shù)可知f'(x）=﹣f’（﹣x），故3ax2+c恒成立恒成立，所以a=c=0,由此得出答案．解答:解：函數(shù)f（x)=ax3+bx2+cx+2的導函數(shù)為f′（x）=3ax2+2bx+c,∵函數(shù)f′（x)=3ax2+2bx+c是定義在R上的奇函數(shù)，∴f'(x)=﹣f'（﹣x）,即3ax2+2bx+c=﹣3ax2+2bx﹣+c，∴3ax2+c恒成立，a=c=0．即a2+c2=0．故選D．點評：本題考查導數(shù)的運算、函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)的解析式的求法，解題時要認真審題,仔細解答,注意等價轉化思想的合理運用．6．（5分)已知一個二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么它與x軸所圍成的封閉圖形的面積等于（）A．B．C．D．考點：定積分．專題：計算題．分析:先根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式，然后利用定積分表示所求面積,最后根據(jù)定積分運算法則求出所求．解答：解：根據(jù)函數(shù)的圖象可知二次函數(shù)y=f（x）圖象過點（﹣1,0），（1，0)，（0,﹣1）從而可知二次函數(shù)y=f（x)=x2﹣1∴它與x軸所圍圖形的面積為(x2﹣1）dx=(﹣x）=．故選C．點評：本題考查利用定積分求面積，解題的關鍵是確定被積區(qū)間及被積函數(shù)．7．（5分）（2006?廣州二模)4名男生和4名女生隨機地排成一行，有且僅有兩名男生排在一起的概率是（)A．B．C．D．考點：等可能事件的概率．專題：計算題．分析:4名男生和4名女生隨機地排成一行，總共有種排列方法．由分步計數(shù)原理求出有且僅有兩名男生排在一起的排法有種，由此求得有且僅有兩名男生排在一起的概率．解答：解:隨機排成一行,總共有種排列方法．任意從四個男生中挑選兩個男生作為一個整體，有種方法．然后往女生中插空，有種排法，而女生的排法是種方法，故有且僅有兩名男生排在一起的排法有種．就可以得到有且僅有兩名男生排在一起的到概率為=，故選A．點評：本題主要考查等可能事件的概率，以及分步計數(shù)原理的應用，屬于中檔題．8．（5分）已知函數(shù)，若同時滿足條件：①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點;②?x∈（8，+∞），f(x）＞0．則實數(shù)a的取值范圍是（)A．（4，8］B．［8，+∞）C．（﹣∞,0）∪［8，+∞)D．(﹣∞，0)∪（4，8]考點：函數(shù)在某點取得極值的條件;利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題:導數(shù)的綜合應用．分析：求導數(shù)，由①得到；由②?x∈(8,+∞），f（x）＞0,故只需f（x)在（8,+∞）上的最小值大于0即可，分別解出不等式即可得到實數(shù)a的取值范圍為4＜a≤8．解答：解：由于,則=令f′(x）=0，則，故函數(shù)f（x）在（﹣∞,x1），（x2，+∞）上遞增，在(x1，x2）上遞減由于?x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x)在(8，+∞)上的最小值大于0即可，當x2＞8，即時,函數(shù)f（x）在（8，+∞）上的最小值為，此時無解；當x2≤8,即時，函數(shù)f(x）在（8，+∞）上的最小值為,解得a≤8．又由?x0∈（0，+∞),x0為f（x）的一個極大值點，故解得a＞4；故實數(shù)a的取值范圍為4＜a≤8故答案為A點評：本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，屬于基礎題．二、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．9．（5分）的二項展開式中的常數(shù)項為160．（用數(shù)字作答）考點：二項式定理．專題:計算題；概率與統(tǒng)計．分析：先求出二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項的值．解答：解：由于的二項展開式的通項公式為Tr+1=??=26﹣r??x3﹣r．令3﹣r=0，求得r=3，故二項展開式中的常數(shù)項為=160，故答案為160．點評:本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式,求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．10．（5分）如果函數(shù)f（x)=cosx,那么=．考點：導數(shù)的運算；函數(shù)的值．專題：計算題．分析:根據(jù)解析式求出和f′（x），再求出，代入求解即可．解答：解：由題意知，f（x)=cosx，∴=cos=,f′（x）=﹣sinx，∴=﹣sin=﹣=,故答案為：．點評:本題考查了求導公式的應用，以及求函數(shù)值,屬于基礎題．11．（5分）已知某隨機變量X的分布列如下(p，q∈R）：X1﹣1Ppq且X的數(shù)學期望，那么X的方差D(X)=．考點：離散型隨機變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計．分析：利用數(shù)學期望公式及概率的性質，求出p,q，再利用方差公式，即可得到結論．解答：解：∵X的數(shù)學期望，∴∴p=,q=∴X的方差D（X)==故答案為:點評：本題考查期望與方差公式，考查概率的性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．12．（5分）已知函數(shù)的圖象在x=0和處的切線互相平行,則實數(shù)a=﹣1．考點:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：導數(shù)的概念及應用．分析：由求導公式和法則求出導數(shù)，再把x=0、代入求出導數(shù)值,再根據(jù)直線平行的充要條件建立方程求a．解答：解：由題意得，=，把x=0代入得,y′=，把代入得，y′=,由題意得，=,解得a=﹣1．故答案為：﹣1．點評:本題考查了導數(shù)的幾何意義,即某點處的切線的斜率是該點出的導數(shù)值，以及直線平行的充要條件的應用．13．(5分)有5名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生，現(xiàn)要從中選6名醫(yī)生組成2個地震醫(yī)療小組，要求每個小組有2名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生，那么有90種不同的組隊方法．（用數(shù)字作答)考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題．專題：概率與統(tǒng)計．分析：從5男3女中先選2男1女，剩下3男2女中再選2男1女,但因為2個地震醫(yī)療小組并無區(qū)別,故無需排列，最后再除以，即可得到不同的組隊方法．解答:解:由題意，從5男3女中先選2男1女，剩下3男2女中再選2男1女，但因為2個地震醫(yī)療小組并無區(qū)別,故無需排列，最后再除以，即不同的組隊方法有=90（種)故答案為：90點評：本題考查排列組合知識，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計數(shù)能力，屬于基礎題．14．（5分）設函數(shù)fn（x)=xn+x﹣1,其中n∈N*，且n≥2，給出下列三個結論:①函數(shù)f3(x)在區(qū)間（,1）內不存在零點;②函數(shù)f4(x）在區(qū)間（,1）內存在唯一零點；③設xn(n＞4）為函數(shù)fn（x）在區(qū)間（，1）內的零點,則xn＜xn+1．其中所有正確結論的序號為②③．考點：命題的真假判斷與應用；函數(shù)的零點．專題：函數(shù)的性質及應用．分析:①確定函數(shù)的單調性，利用零點存在定理，進行驗證；②確定函數(shù)的單調性，利用零點存在定理,進行驗證；③函數(shù)在（，1）上是單調增函數(shù)，fn+1（x)＜fn（x），即可得到結論．解答:解:①f3（x）=x3+x﹣1，∵f3′（x）=3x2+1＞0，∴函數(shù)在R上是單調增函數(shù)，∵f3（）=﹣＜0，f3(1）=1＞0，∴函數(shù)f3(x）在區(qū)間(，1）內存在零點，即①不正確;②f4（x）=x4+x﹣1，∵f4′（x）=4x3+1，∵x∈（,1），∴f4′（x）＞0，∴函數(shù)在（,1）上是單調增函數(shù),∵f4（）=﹣＜0，f4（1）=1＞0，∴函數(shù)f4（x)在區(qū)間（，1）內存在零點,即②正確;③fn（x)=xn+x﹣1，∵fn′（x）=nxn﹣1+1,∵x∈(，1），∴fn′（x）＞0，∴函數(shù)在（，1）上是單調增函數(shù)，∵fn+1（x）﹣fn（x）=xn(x﹣1）＜0,∴函數(shù)在（，1）上fn+1（x)＜fn（x），∵xn（n＞4）為函數(shù)fn(x）在區(qū)間（，1）內的零點，∴xn＜xn+1，即③正確故答案為：②③點評:本題考查的知識點是零點存在定理，導數(shù)法判斷函數(shù)的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）甲、乙兩人練習投籃，每次投籃命中的概率分別為，，設每人每次投籃是否命中相互之間沒有影響．(I)如果甲、乙兩人各投籃1次，求兩人投籃都沒有命中的概率;（II）如果甲投籃3次,求甲至多有1次投籃命中的概率．考點:n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率;相互獨立事件的概率乘法公式．專題：概率與統(tǒng)計．分析：（I)記“甲、乙兩人各投籃1次,且都沒有命中”為事件A，則甲投籃一次且沒有命中的概率為，同理，乙投籃一次且沒有命中的概率為，再把這2個概率值相乘，即得所求．（II）記“甲投籃3次，且至多有1次投籃命中”為事件B，求出甲投籃3次,且都沒命中的概率,再求出甲投籃3次，且恰有1次投籃命中的概率，相加即得所求解答：(I）解：記“甲、乙兩人各投籃1次，且都沒有命中”為事件A．(1分）因為甲每次投籃命中的概率為,所以甲投籃一次且沒有命中的概率為．（2分）同理,乙投籃一次且沒有命中的概率為．(3分)所以．答：甲、乙兩人各投籃1次,且都沒有命中的概率為．（6分）（II)解：記“甲投籃3次，且至多有1次投籃命中”為事件B．（7分）因為甲每次投籃命中的概率為，所以甲投籃3次，且都沒命中的概率為，（9分）甲投籃3次，且恰有1次投籃命中的概率為（11分）所以．答：甲投籃3次，且至多有1次投籃命中的概率為．(13分）點評:本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式,所求的事件的概率與它的對立事件的概率之間的關系,屬于中檔題．16．（13分）設函數(shù)，且，其中n=1，2，3，…．（I)計算a2，a3，a4的值；（II)猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)字歸納法加以證明．考點：數(shù)學歸納法；數(shù)列遞推式．專題：證明題;等差數(shù)列與等比數(shù)列；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法．分析：（I）由an+1=，a1=，即可求得a2,a3，a4的值；（II）由a1,a2，a3,a4，可猜想an=，用數(shù)學歸納法證明,①當n=1時，去證明結論成立；②假設當n=k（k∈N＊）時等式成立,去證明當n=k+1時，猜想也成立即可．解答:解：（I）由題意，得an+1=,(1分）因為a1=，所以a2=,a3=，a4=．（3分）(II）解:由a1,a2,a3,a4,猜想an=(5分）以下用數(shù)字歸納法證明:對任何的n∈N＊，an=證明：①當n=1時，由已知，左邊=，右邊==，所以等式成立．（7分)②假設當n=k(k∈N＊）時等式成立，即ak=，(8分）則n=k+1時，ak+1=====．所以當n=k+1時，猜想也成立．（12分）根據(jù)①和②，可知猜想對于任何n∈N*都成立．（13分）點評:本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)學歸納法，證明時用好歸納假設是關鍵，突出考查推理與證明的能力,屬于中檔題．17．（13分)已知函數(shù)f(x）=e2x﹣1﹣2x．（I）求函數(shù)f(x）的單調區(qū)間；（II)設b∈R，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[b，b+1]上的最小值．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：導數(shù)的綜合應用．分析:（I）求導函數(shù)，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調區(qū)間；（II)分類討論，求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[b，b+1]上的最小值．解答：解：(I）因為f′（x）=2e2x﹣1﹣2．（2分）令f′（x）=0，解得．（3分）當x變化時，f（x）與f′(x）的變化情況如下表：xf′（x）﹣0+f（x）極小值(5分）所以函數(shù)f(x)在（）上單調遞減,在上單調遞增．(6分)（II）當時，因為函數(shù)f（x)在（b，b+1）上單調遞減,所以當x=b+1時，函數(shù)f（x）有最小值f（b+1)=e2b+1﹣2b﹣2．（8分)當時，因為函數(shù)f（x）在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，函數(shù)f(x)有最小值．（10分）當時，因為函數(shù)f（x）在（b,b+1)上單調遞增，所以當x=b時，函數(shù)f（x）有最小值f（b）=e2b﹣1﹣2b．（12分）綜上，當時,函數(shù)f（x）在[b，b+1]上的最小值為f（b+1)=e2b+1﹣2b﹣2；當時，函數(shù)f（x）在[b，b+1]上的最小值為;當時，函數(shù)f(x）在[b,b+1]上的最小值為f(b）=e2b﹣1﹣2b．（13分）點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調性與最值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．18．(13分）箱中裝有4個白球和m(m∈N＊）個黑球．規(guī)定取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，現(xiàn)從箱中任取3個球,假設每個球被取出的可能性都相等．記隨機變量X為取出的3個球所得分數(shù)之和．（I）若，求m的值;(II）當m=3時，求X的分布列和數(shù)字期望E（X）．考點：離散型隨機變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計．分析：（I）取出的3個球都是白球時，隨機變量X=6，利用概率公式,建立方程，即可求m的值;（II）當m=3時,確定X的取值，求出相應的概率,即可求X的分布列和數(shù)字期望E（X）．解答:解：（I）由題意得取出的3個球都是白球時，隨機變量X=6．(1分)所以，（3分）即,解得m=1．(5分）(II)由題意得X的可能取值為3，4，5，6．（6分）則，，．．（10分）X的分布列為：X3456P（11分）所以．（13分)點評:本題考查概率的計算,考查離散型隨機變量的分布列與期望，考查學生的計算能力,屬于中檔題．19．（14分）請先閱讀：設平面向量=（a1，a2)，=（b1，b2），且與的夾角為θ,因為?=｜｜||cosθ，所以?≤||||．即，當且僅當θ=0時,等號成立．（I）利用上述想法（或其他方法），結合空間向量，證明:對于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有成立;（II）試求函數(shù)的最大值．考點:平面向量的綜合題．專題:平面向量及應用．分析：（I)利用?≤|｜?|｜,即可證明結論;（II）構造空間向量=（1，1,1），，且與的夾角為θ，利用（I)的結論，即可得到結論．解答:(I）證明：設空間向量=（a1，a2，a3）,=（b1，b2，b3),且與的夾角為θ，因為?=｜｜?||cosθ，所以?≤||?｜｜，（3分）即(6分）所以，當且僅當θ=0時，等號成立．（7分）（II）解：設空間向量=（1，1,1），，且與的夾角為θ，(9分）因為,所以，即,（12分)當且僅當θ=0（即與共線，且方向相同）時，等號成立．所以當時，即x=2時，函數(shù)有最大值．（14分）點評：本題考查向量的數(shù)量積公式，考查函數(shù)最大值的求解，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20．（14分）已知函數(shù),．(I）求函數(shù)f(x）的解析式；（II)若對于任意x∈（0，+∞)，都有f(x）+g（x）≤a成立，求實數(shù)a的取值范圍