中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題10 平行線中點(diǎn)模型與雨傘模型（解析版）

專題10平行線中點(diǎn)模型與雨傘模型平行線中點(diǎn)模型概述：平行線之間夾中點(diǎn)，通過延長過中點(diǎn)的線段與平行線相交，從而構(gòu)造一對(duì)全等三角形，并將已知條件中的線段和角進(jìn)行轉(zhuǎn)移。平行線中點(diǎn)模型：已知AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB、CD上，點(diǎn)O為線段EF的中點(diǎn)，延長PO交CD于點(diǎn)Q，則?POE≌?QOF證明:∵AB∥CD∴∠PEO=∠OFQ∵點(diǎn)O為線段EF的中點(diǎn)∴EO=OF在?POE和?QOF中∠PEO=∠OFQEO=OF∠POE=∠QOF∴?POE≌?QOF（ASA）雨傘模型：如圖AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足為點(diǎn)D，延長BD交AC于點(diǎn)C,則?ABD≌?ACD，AB=AC，BD=CD證明：∵AP平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∵BD⊥AP∴∠BDA=∠CDA在?ABD和?ACD中∠BAD=∠CADAD=AD∠BDA=∠CDA∴?ABD≌?ACD（ASA）∴AB=AC，BD=CD【平行線中點(diǎn)模型過關(guān)練】1．如圖，正方形的邊長為，在正方形的右側(cè)作矩形，點(diǎn)在邊的延長線上，，點(diǎn)，，在同一條直線上，，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長GH交AD延長線于M，證△AMH≌△FGH(ASA)，得MH=GH，AM=GF=3cm，則DM=1cm，再由勾股定理得GM，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，延長GH交AD延長線于M，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD=2cm，AD//BC，∠GDM=∠ADC=90°，∵四邊形CEFG是矩形，∴GF=CE=3cm，CE//GF，∴AD//GF，∴∠GFH=∠MAH，∵點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)，∴AH=FH，在△AMH和△FGH中，，∴△AMH≌△FGH(ASA)，∴MH=GH，AM=GF=3cm，∴DM=AM-AD=3-2=1(cm)，∵CG=5cm，∴GD=CG-CD=5-2=3(cm)，在Rt△GDM中，由勾股定理得：GM=cm，cm，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．2．矩形ABCD與矩形CEFG如圖放置，點(diǎn)B、C、E共線，點(diǎn)C、D、G共線，連接AF，取AF的中點(diǎn)H，連接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，則GH＝_______．【答案】【分析】延長GH交AD于M點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得出CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，推出DG=CG-CD=2，∠HAM=∠HFG，由ASA證得△AMH≌△FGH，得出AM=FG=1，MH=GH，則MD=AD-AM=2，在Rt△MDG中，根據(jù)勾股定理得到GM，即可得出結(jié)果．【詳解】解：延長GH交AD于M點(diǎn)，如圖所示：∵四邊形ABCD與四邊形CEFG都是矩形，∴CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，∴DG=CGCD=3-1=2，∠HAM=∠HFG，∵AF的中點(diǎn)H，∴AH=FH，在△AMH和△FGH中，，∴△AMH≌△FGH（ASA）．∴AM=FG=1，MH=GH，∴MD=AD-AM=31=2，在Rt△MDG中，GM=，∴GH=GM=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．如圖，□ABCD的頂點(diǎn)C在等邊的邊BF上，點(diǎn)E在AB的延長線上，G為DE的中點(diǎn)，連接CG．若，，則BG的長為______．【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，可以得到BF和BE的長，然后證明△DCG和△EHG全等，可得DC＝EH，CG＝HG，求出BH＝3，證明△CBH是等邊三角形，即可得到CG的長，然后利用勾股定理求出BG即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，∵AD＝3，AB＝CF＝2，∴CD＝2，BC＝3，∴BF＝BC＋CF＝5，∵△BEF是等邊三角形，G為DE的中點(diǎn)，∴BF＝BE＝5，DG＝EG，延長CG交BE于點(diǎn)H，連接BG，∵DC∥AB，∴∠CDG＝∠HEG，在△DCG和△EHG中，，∴△DCG≌△EHG（ASA），∴DC＝EH，CG＝HG，∵CD＝2，BE＝5，∴HE＝2，BH＝3，∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，∴△CBH是等邊三角形，∴CH＝BC＝3，BG⊥CH，∴CG＝CH＝，∴BG＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．如圖，?ABCD的頂點(diǎn)C在等邊△BEF的邊BF上，點(diǎn)E在AB的延長線上，G為DE的中點(diǎn)，連接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，則CG的長為_____．【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，可以得到BF和BE的長，然后可以證明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，CD=AB，DC∥AB，∵AD=3，AB=CF=2，∴CD=2，BC=3，∴BF=BC+CF=5，∵△BEF是等邊三角形，G為DE的中點(diǎn)，∴BF=BE=5，DG=EG，延長CG交BE于點(diǎn)H，∵DC∥AB，∴∠CDG=∠HEG，在△DCG和△EHG中，，∴△DCG≌△EHG（ASA），∴DC=EH，CG=HG，∵CD=2，BE=5，∴HE=2，BH=3，∵∠CBH=60°，BC=BH=3，∴△CBH是等邊三角形，∴CH=BC=3，∴CG=CH=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．如圖，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，連接GF．若∠A=80°，則∠DGF的度數(shù)為___________．【答案】50°．【詳解】試題分析：如圖，延長AD、EF相交于點(diǎn)H，∵F是CD的中點(diǎn)，∴CF=DF，∵菱形對(duì)邊AD∥BC，∴∠H=∠CEF，在△CEF和△DHF中，，∴△CEF≌△DHF（AAS），∴EF=FH，∵EG⊥AD，∴GF=FH，∴∠DGF=∠H，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠C=∠A=80°，∵菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，∴CE=CF，在△CEF中，∠CEF=（180°﹣80°）=50°，∴∠DGF=∠H=∠CEF=50°．故答案是50°．6．如圖，已知等邊三角形的邊長為4，過邊上一點(diǎn)P作于點(diǎn)E，Q為延長線上一點(diǎn)，取，連接，交于M，則的長為______．【答案】2【分析】過P作交于F，證明，再證明，得證，根據(jù)證明即可．【詳解】解：過P作交于F，如圖所示：∵，是等邊三角形，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．7．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，E是BC延長線上一點(diǎn)，CE＝DA，連接DE交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H．(1)求證：AG＝AD；(2)求證：DF＝EF；(3)若CF＝CE，S△ADG＝2，求△DGF的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)6【分析】（1）利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求證．（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得及等邊三角形的性質(zhì)，利用AAS可證得△DHF≌△ECF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證結(jié)論．（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AG＝GH，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得HF＝CF，利用等量關(guān)系可得GF＝3AG，利用等高三角形面積之間的關(guān)系即可求解．(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵DG⊥AC，∴∠AGD＝90°，∠ADG＝30°，∴．(2)∵，∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，∴△ADH是等邊三角形，∴DH＝AD，∵AD＝CE，∴DH＝CE，在△DHF和△ECF中，，∴△DHF≌△ECF（AAS），∴DF＝EF，(3)∵△ABC是等邊三角形，DG⊥AC，AD＝DH，∴AG＝GH，∵△DHF≌△ECF，∴HF＝CF，∵CF＝CE，DH＝CE，∴HF＝AH，∴GF＝3AG，∵△DGF和△ADG等高，∴S△DGF＝3S△ADG＝6．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30°直角三角形的性質(zhì)，此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8．（1）老師在課上給出了這樣一道題目：如圖（1），等邊△ABC邊長為2，過AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且AP=CQ，連接PQ交AC于D，求DE的長.小明同學(xué)經(jīng)過認(rèn)真思考后認(rèn)為，可以通過過點(diǎn)P作平行線構(gòu)造等邊三角形的方法來解決這個(gè)問題.請(qǐng)根據(jù)小明同學(xué)的思路直接寫出DE的長.（2）【類比探究】老師引導(dǎo)同學(xué)繼續(xù)研究：①等邊△ABC邊長為2，當(dāng)P為BA的延長線上一點(diǎn)時(shí),作PE⊥CA的延長線于點(diǎn)E，Q為邊BC上一點(diǎn)，且AP=CQ，連接PQ交AC于D．請(qǐng)你在圖（2）中補(bǔ)全圖形并求DE的長.②已知等邊△ABC，當(dāng)P為AB的延長線上一點(diǎn)時(shí),作PE⊥射線AC于點(diǎn)E，Q為哪一個(gè)（①BC邊上；②BC的延長線上；③CB的延長線上）一點(diǎn)，且AP=CQ，連接PQ交直線AC于點(diǎn)D，能使得DE的長度保持不變.(直接寫出答案的編號(hào))

【答案】（1）DE=1；(2)①正確補(bǔ)全圖形見解析，②②.【分析】（1）過P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE，證△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DEAC即可；（2）①過點(diǎn)P作PF∥BC交CA的延長線與點(diǎn)F，由平行線的性質(zhì)得出∠PFA=∠C．再證明△APF為等邊三角形，得到AP=PF．進(jìn)一步得到AE=FE=．由SAS證明△FDP≌△CDQ，得到FD=CD=，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．②如圖，過P作直線PF∥BC交直線AC于F，通過證明△APF是等邊三角形，得到AP=PF．進(jìn)而得到EF=AE=AF．再由線段的和差即可得出結(jié)論．【詳解】（1）過P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，∵，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DEAC．∵AC=2，∴DE=1．(2)①正確補(bǔ)全圖形．過點(diǎn)P作PF∥BC交CA的延長線與點(diǎn)F，∴∠PFA=∠C．∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠C=60°，∴∠PFA=∠PAF=60°，∴△APF為等邊三角形，∴AP=PF．又∵PE⊥CA的延長線于點(diǎn)E，∴AE=FE=．∵AP=CQ，∴PF=QC．∵∠FDP=∠CDQ，∴△FDP≌△CDQ，∴FD=CD=，∴DE=DF﹣EF=．②答案為②．理由如下：如圖，過P作直線PF∥BC交直線AC于F，∴∠APF=∠ABC=60°．∵∠A=60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP=PF．∵AP=CQ，∴PF=QC．∵PF∥BC，∴∠F=∠DCQ，∠FPD=∠Q．在△DPF和△DQC中，∵∠F=∠DCQ，PF=QC，∠FPD=∠Q，∴△DPF≌△DQC，∴CD=DF=CF．∵△APF是等邊三角形，PE⊥AF，∴EF=AE=AF．∵ED=EF﹣DF，∴ED=AF﹣CF=（AF﹣CF）=AC．∵AC的長度不變，∴DE的長度保持不變．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解答此題的關(guān)鍵，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，題型較好，難度適中．9．在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，老師給出了下列問題．(1)探究結(jié)論在圖1中，，點(diǎn)P是兩平行線之間的一點(diǎn)，則，，之間的關(guān)系是_______．(2)應(yīng)用結(jié)論在圖2中，，PB平分，，若為等腰三角形，求的度數(shù)_______．(3)拓展延伸在圖3中，，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，．試判斷AB，AC，BD之間有什么關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)的度數(shù)為或(3)，理由見解析【分析】(1)作，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得出．(2)分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)三種情況討論即可．(3)延長交直線于F點(diǎn)，證明即可求解．【詳解】（1）作，如圖1，∵，∴，∴，(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∵，∴；（2）∵PB平分，如圖2，∴,設(shè)，∵為等腰三角形，∴分三種情況討論，①當(dāng)時(shí)，,∴,∵由(1)知，且，∴，解得：；∴；②當(dāng)時(shí)，，∴,無解，此情況舍去，③當(dāng)時(shí)，，∴，解得：，∴．綜上可知：的度數(shù)為或．（3）的關(guān)系為，延長交直線于F點(diǎn)，如圖3，由(1)得，∵，∴，，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∴,∴,∵,,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造平行線是解題關(guān)鍵．10．【問題情境】興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題，如圖1，在△ABC中，AB＝16，AC＝10，求BC邊上的中線AD的取值范圍．經(jīng)過小組合作交流，卓越小組得到了如下的解決方法：延AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE．勤思小組得到的方法是，過點(diǎn)B作直線AC的平行線BE，并交AD的延長線于點(diǎn)E．請(qǐng)結(jié)合兩個(gè)小組提供的方法思考：(1)圖1中，BC邊上的中線AD長度的取值范圍是；(2)【靈活運(yùn)用】如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)【拓展延伸】如圖3，已知AB∥CF，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，若AB＝10，CF＝4，DF＝6，求證∠EDF＝∠BAE．【答案】(1)3<AD<13(2)AD=AB+DC．理由見解析(3)見解析【分析】（1）延長AD到E，使AD=DE，連接BE，證明△ADC=△EDB，推出AC=BE=8，在△ABE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出AB-BE<AE<AB+BE，代入求出即可．（2）結(jié)論：AD=AB+DC．延長AE，DC交于點(diǎn)F，證明△ABE=△FEC（AAS），推出AB=CF，再證明DA=DF即可解決問題．（3）如圖，延長AE交CF的延長線于點(diǎn)G，證明△DFG是等腰三角形，可得結(jié)論．【詳解】（1）解∶延長AD到點(diǎn)E，使AD=DE，連接BE，如圖，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，∵AD=DE，∠ADC=∠EDB，DC=DB，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=10，在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，即16-10<2AD<16+10，∴3<AD<13，故答案為：3<AD<13；（2）解∶AD=AB+DC．理由如下：如圖，延長AE，DC交于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，在△ABE和△FCE中，∵∠AEB=∠FEC，∠BAE=∠F，BE=CE∴△ABE=△FCE（AAS），∴CF=AB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD；（3）證明：如圖，延長AE交CF的延長線于點(diǎn)G∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，∵∠BAE=∠G，∠AEB=∠GEC，BE=CE，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC=10，∠BAE=∠G，∵CF=4，∴FG=CG-CF=6，∵DF=6，∴FD=FG，∴∠EDF=∠G，∴∠EDF=∠BAE．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．11．如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊AD上，連接BE，過點(diǎn)D作DFBE，交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別是BE，DF的中點(diǎn)，連接EH，GF．(1)求證：四邊形EGFH為平行四邊形；(2)若BC＝10，AB＝6，∠ABC＝60°；①當(dāng)BG＝GF時(shí)，求四邊形EGFH的面積：②如圖2，延長FG交AB于點(diǎn)P，連接AG，記ΔAPG的面積為S1，ΔBPG的面積為S2，若FP⊥AB，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)①當(dāng)BG＝GF時(shí)，四邊形EGFH的面積為；②的值為【分析】（1）由，知四邊形是平行四邊形，從而得，再由、分別是、的中點(diǎn)得，結(jié)合即可得證；（2）①連接，先證，由四邊形為平行四邊形知，過點(diǎn)作，則，由，知，，再證四邊形為矩形，設(shè)，則，，，由得，根據(jù)可得答案；②延長交的延長線于點(diǎn)，證得，設(shè)，則，，，，由得，根據(jù)與同高可得，從而得出答案．（1）解：如圖1，在平行四邊形中，，，四邊形是平行四邊形，，、分別是、的中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形；（2）①連接，、，，，，S△BGF=S△EGF，，，即，由（1）知，四邊形為平行四邊形，，過點(diǎn)作，則，，，，，，，，四邊形為矩形，設(shè)，則，，，∴，解得：，；②延長交的延長線于點(diǎn)，，，，，，設(shè)，則，，，，由得，與同高，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．12．已知,點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合)，分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是___，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是___；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；【答案】（1）AE∥BF，QE=QF

（2）答案見解析【分析】（1）根據(jù)AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）延長EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EQ=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中點(diǎn)性質(zhì)得出即可．【詳解】(1)AE∥BF，QE=QF，理由是：如圖1，∵Q為AB中點(diǎn)，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ=90°，在△BFQ和△AEQ中∴△BFQ≌△AEQ(AAS)，∴QE=QF，故答案為AE∥BF；QE=QF.(2)QE=QF，證明：如圖2，延長FQ交AE于D，∵Q為AB中點(diǎn)，∴AQ=BQ,∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∴∠QAD=∠FBQ，在△FBQ和△DAQ中∴△FBQ≌△DAQ(ASA)，∴QF=QD，∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，∴QE=QF=QD，即QE=QF.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，解此題的關(guān)鍵是求出△AEQ≌△BDQ，用了運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，難度適中．13．已知點(diǎn)P是Rt△ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，分別過點(diǎn)A，B向直線CP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)Q為斜邊AB的中點(diǎn)．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是________，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是________；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上且不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(溫馨提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)【答案】(1)AE∥BF，QE＝QF；(2)QE=QF，理由見解析.【分析】(1)根據(jù)AAS推出△AEQ和△BFQ全等即可得出答案；(2)延長EQ交BF于D，求出△AEQ和△BDQ全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EQ=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中點(diǎn)性質(zhì)得出即可．【詳解】(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是AE∥BF，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是QE=QF,理由：∵Q為AB的中點(diǎn)，∴AQ=BQ，∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，∴△AEQ≌△BFQ，∴QE=QF；(2)QE=QF證明：如圖2，延長EQ交BF于D,∵由(1)知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF．【點(diǎn)睛】本題主要考查的就是三角形全等的證明與應(yīng)用，難度中等．在解決這個(gè)問題的時(shí)候，我們要學(xué)會(huì)利用添加輔助線構(gòu)造三角形全等，對(duì)直角三角形性質(zhì)(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)的應(yīng)用也要非常的熟練．【雨傘模型模型過關(guān)練】1．如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．【答案】（1）BE＝AD，見解析；（2）BEG是等腰直角三角形，見解析【分析】（1）延長BE、AC交于點(diǎn)H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝AD；（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．【詳解】證：（1）BE＝AD，理由如下：如圖，延長BE、AC交于點(diǎn)H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等腰直角三角形的基本性質(zhì)，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關(guān)鍵．2．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝CD．【答案】見解析【分析】分別延長BE、CA交于點(diǎn)F，首先結(jié)合題意推出△CFE≌△CBE，從而得到BE＝EF＝BF，然后證明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：分別延長BE、CA交于點(diǎn)F，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠FEC＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE．在△CFE與△CBE中，∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，∴△CFE≌△CBE，∴BE＝EF＝BF．在△CFE與△CAD中，∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠F＝∠ADC．在△BFA與△CDA中，∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，∴△BFA≌△CDA，∴BF＝CD．∴BE＝CD．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，理解角平分線的基本定義，熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，并且準(zhǔn)確判定全等三角形是解題關(guān)鍵．3．已知：如圖，在中，，平分，于，是的中點(diǎn)，求證：.【答案】見解析.【分析】延長CD交AB于點(diǎn)F，然后利用“角邊角”證明△ADC和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CD=DF，AC=AF，再根據(jù)三角形的中位線定理進(jìn)行證明即可.【詳解】如圖，延長CD交AB于點(diǎn)F，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠FAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADF=90°，又AD＝AD∴△ADC≌△ADF(ASA)，∴CD=DF，AC=AF，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴DE是△BCF的中位線，∴DE=BF，∵BF=AB-AF=AB-AC，∴DE=(AB-AC)．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線并證明DE是三角形的中位線是解題的關(guān)鍵．4．已知：中，為的中點(diǎn)，平分于，連結(jié)，若，求的長．【答案】【分析】延長CG交AB于點(diǎn)E.根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)得CG=EG，AE=AC,再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出DG=BE=（AB-AC），從而得出的長．【詳解】解：延長CG交AB于點(diǎn)E．AG平分，于，，，，∵，為的中點(diǎn)，．故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用三角形中位線定理求解是解題的關(guān)鍵．5．如圖，中，M為的中點(diǎn)，為的平分線，于D．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)14【分析】（1）延長，交于點(diǎn)E，通過證明≌，得到，，進(jìn)而得到為的中位線，即可得證；（2）利用勾股定理得到線段的長度，再結(jié)合（1）的結(jié)論，即可求出線段的長度．【詳解】（1）解：如圖，延長，交于點(diǎn)E，∵平分，∴，在與中，∴≌，∴，，即點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，∵，∴；（2）解：在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線的定義及性質(zhì)，根據(jù)題目的提示，正確做出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，延長BN交AC于點(diǎn)D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求證：BN=DN；（2）求△ABC的周長．【答案】（1）見解析，（2）41【分析】（1）證明△ABN≌△ADN，即可得出結(jié)論．（2）先判斷MN是△BDC的中位線，從而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，從而計(jì)算周長即可．【詳解】（1）證明：∵BN⊥AN于點(diǎn)N，∴，在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN（ASA）．∴BN=DN．（2）∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB．又∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，∴MN是△BDC的中位線．∴CD=2MN=6．∴△ABC的周長=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．7．如圖1，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)，平分，，點(diǎn)在邊上，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）判斷線段、、的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論．（3）點(diǎn)是的邊上的一點(diǎn)，若的面積，請(qǐng)直接寫出的面積（不需要寫出解答過程）．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；（3）=3．【分析】（1）證明△AGE≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到GE＝EC，再利用三角形的中位線定理證明DE∥AB，再加上條件EF∥BC可證出結(jié)論；（2）先證明BF＝DE＝BG，再證明AG＝AC，可得到BF＝（AB?AG）＝（AB?AC）；(3)根據(jù)△DCE中DC邊上的高與BDEF中BD邊上的高相等，得出BDEF的面積為6，設(shè)BDEF中BF邊上的高為h，由即可求解．【詳解】（1）延長交于點(diǎn)，，，又∵平分，∴∠GAE=∠CAE在和中，，，，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴為的中位線，，，四邊形是平行四邊形．（2）四邊形是平行四邊形，，，分別是，的中點(diǎn)，，，，．（3）如圖：∵BD=DC，EF∥BC∴△DCE中DC邊上的高與BDEF中BD邊上的高相等，∴∵BF∥DE設(shè)BDEF中BF邊上的高為h，則=（DE+BP