MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用課件

第三章MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用電子信息學(xué)院10/6/2023電子信息學(xué)院第三章MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用電子信息學(xué)院10/613.1矩陣分析

3.1.1對(duì)角陣與三角陣

1．對(duì)角陣

只有對(duì)角線上有非0元素的矩陣稱為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素相等的對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對(duì)角線上的元素都為1的對(duì)角矩陣稱為單位矩陣。10/6/2023電子信息學(xué)院3.1矩陣分析

3.1.1對(duì)角陣與三角陣

1．對(duì)角陣

只2(1)提取矩陣的對(duì)角線元素

設(shè)A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對(duì)角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的列向量。

diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對(duì)角線的元素。

(2)構(gòu)造對(duì)角矩陣

設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)m×m對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量V的元素。

diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個(gè)n×n(n=m+)對(duì)角陣，其第k條對(duì)角線的元素即為向量V的元素。10/6/2023電子信息學(xué)院(1)提取矩陣的對(duì)角線元素

設(shè)A為m×n矩陣，diag(A3例先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。

A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;...

11,18,25,2,19];

D=diag(1:5);

D*A%用D左乘A，對(duì)A的每行乘以一個(gè)指定常數(shù)

10/6/2023電子信息學(xué)院例先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘42．三角陣

三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對(duì)角線以下的元素全為0的一種矩陣，而下三角陣則是對(duì)角線以上的元素全為0的一種矩陣。10/6/2023電子信息學(xué)院2．三角陣

三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角5上三角矩陣

求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。

triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對(duì)角線以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對(duì)角線以上的元素，形成新的矩陣B。下三角矩陣

在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。10/6/2023電子信息學(xué)院上三角矩陣

求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(63.1.2矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)

1．矩陣的轉(zhuǎn)置

轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)(‘)。

2．矩陣的旋轉(zhuǎn)

利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A旋轉(zhuǎn)90o的k倍，當(dāng)k為1時(shí)可省略。10/6/2023電子信息學(xué)院3.1.2矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)

1．矩陣的轉(zhuǎn)置

轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是73．矩陣的左右翻轉(zhuǎn)

對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，…，依次類推。MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。

4．矩陣的上下翻轉(zhuǎn)

MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。10/6/2023電子信息學(xué)院3．矩陣的左右翻轉(zhuǎn)

對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最83.1.3矩陣的逆與偽逆

1．矩陣的逆

對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣B，使得：

A·B=B·A=I(I為單位矩陣)

則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。

求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯(cuò)，但在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。

例用求逆矩陣的方法解線性方程組。

Ax=b

其解為：

x=A-1b10/6/2023電子信息學(xué)院3.1.3矩陣的逆與偽逆

1．矩陣的逆

對(duì)于一個(gè)方陣A，92．矩陣的偽逆

如果矩陣A不是一個(gè)方陣時(shí)，矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個(gè)與A的轉(zhuǎn)置矩陣A‘同型的矩陣B，使得：

A·B·A=A

B·A·B=B

此時(shí)稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個(gè)矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。10/6/2023電子信息學(xué)院2．矩陣的偽逆

如果矩陣A不是一個(gè)方陣時(shí)，矩陣A沒有逆矩陣，103.1.4方陣的行列式

把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱為矩陣所對(duì)應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。10/6/2023電子信息學(xué)院3.1.4方陣的行列式

把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按113.1.5線性方程組求解3.1.5.1直接解法1．利用左除運(yùn)算符的直接解法對(duì)于線性方程組Ax=b，可以利用左除運(yùn)算符“\”求解：x=A\b例用直接解法求解下列線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';x=A\b10/6/2023電子信息學(xué)院3.1.5線性方程組求解10/6/2023電子信息學(xué)院123.1.5.2利用矩陣的分解求解線性方程組矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個(gè)矩陣分解成若干個(gè)矩陣的乘積。常見的矩陣分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇異分解等。10/6/2023電子信息學(xué)院3.1.5.2利用矩陣的分解求解線性方程組10/6/202313(1)LU分解矩陣的LU分解就是將一個(gè)矩陣表示為一個(gè)交換下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積形式。線性代數(shù)中已經(jīng)證明，只要方陣A是非奇異的，LU分解總是可以進(jìn)行的。MATLAB提供的lu函數(shù)用于對(duì)矩陣進(jìn)行LU分解，其調(diào)用格式為：[L,U]=lu(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)變換形式的下三角陣L(行交換)，使之滿足X=LU。注意，這里的矩陣X必須是方陣。[L,U,P]=lu(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)下三角陣L以及一個(gè)置換矩陣P，使之滿足PX=LU。當(dāng)然矩陣X同樣必須是方陣。實(shí)現(xiàn)LU分解后，線性方程組Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，這樣可以大大提高運(yùn)算速度。10/6/2023電子信息學(xué)院(1)LU分解10/6/2023電子信息學(xué)院14例用LU分解求解p79例3-5線性方程組。A=[6,3,4;-2,5,7;8,-4,-3];b=[3,-4,-7]';[L,U]=lu(A);x=U\(L\b)或采用LU分解的第2種格式，命令如下：[L,U,P]=lu(A);x=U\(L\P*b)10/6/2023電子信息學(xué)院例用LU分解求解p79例3-5線性方程組。10/6/202315(2)QR分解對(duì)矩陣X進(jìn)行QR分解，就是把X分解為一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R的乘積形式。QR分解只能對(duì)方陣進(jìn)行。MATLAB的函數(shù)qr可用于對(duì)矩陣進(jìn)行QR分解，其調(diào)用格式為：[Q,R]=qr(X)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R，使之滿足X=QR。[Q,R,E]=qr(X)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q、一個(gè)上三角矩陣R以及一個(gè)置換矩陣E，使之滿足XE=QR。實(shí)現(xiàn)QR分解后，線性方程組Ax=b的解x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。10/6/2023電子信息學(xué)院(2)QR分解10/6/2023電子信息學(xué)院16例用QR分解求解線性方程組。命令如下：A=[6,3,4;-2,5,7;8,-4,-3];b=[3,-4,-7]';[Q,R]=qr(A);x=R\(Q\b)或采用QR分解的第2種格式，命令如下：[Q,R,E]=qr(A);x=E*(R\(Q\b))10/6/2023電子信息學(xué)院例用QR分解求解線性方程組。10/6/2023電子信息學(xué)院173.1.5.3迭代解法迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組。在數(shù)值分析中，迭代解法主要包括Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和兩步迭代法。1．Jacobi迭代法對(duì)于線性方程組Ax=b，如果A為非奇異方陣，則可將A分解為A=D-L-U，其中D為對(duì)角陣，其元素為A的對(duì)角元素，L與U為A的下三角陣和上三角陣，于是Ax=b化為：x=D-1(L+U)x+D-1b與之對(duì)應(yīng)的迭代公式為：x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b這就是Jacobi迭代公式。如果序列{x(k+1)}收斂于x，則x必是方程Ax=b的解。10/6/2023電子信息學(xué)院3.1.5.3迭代解法10/6/2023電子信息學(xué)院18Jacobi迭代法的MATLAB函數(shù)文件Jacobi.m如下：function[y,n]=jacobi(A,b,x0,eps)ifnargin==3eps=1.0e-6;elseifnargin<3errorreturnendD=diag(diag(A));%求A的對(duì)角矩陣L=-tril(A,-1);%求A的下三角陣U=-triu(A,1);%求A的上三角陣B=D\(L+U);f=D\b;y=B*x0+f;n=1;%迭代次數(shù)whilenorm(y-x0)>=epsx0=y;y=B*x0+f;n=n+1;end10/6/2023電子信息學(xué)院Jacobi迭代法的MATLAB函數(shù)文件Jacobi.m如下19例用Jacobi迭代法求解線性方程組。設(shè)迭代初值為0，迭代精度為10-6。在命令中調(diào)用函數(shù)文件Jacobi.m，命令如下：A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];b=[9,7,6]';[x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)(設(shè)x1,x2,x3為0,n為迭代的次數(shù))10/6/2023電子信息學(xué)院例用Jacobi迭代法求解線性方程組。設(shè)迭代初值為0，迭代202．Gauss-Serdel迭代法將在Jacobi迭代過程中,原來的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b改進(jìn)為Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b該式即為Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替舊分量，精度會(huì)高些。10/6/2023電子信息學(xué)院2．Gauss-Serdel迭代法10/6/2023電子信息21Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函數(shù)文件gauseidel.m如下：function[y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps)ifnargin==3eps=1.0e-6;elseifnargin<3errorreturnendD=diag(diag(A));%求A的對(duì)角矩陣L=-tril(A,-1);%求A的下三角陣U=-triu(A,1);%求A的上三角陣G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;y=G*x0+f;n=1;%迭代次數(shù)whilenorm(y-x0)>=epsx0=y;y=G*x0+f;n=n+1;end10/6/2023電子信息學(xué)院Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函數(shù)文件gaus22例用Gauss-Serdel迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為0，迭代精度為10-6。在命令中調(diào)用函數(shù)文件gauseidel.m，命令如下：A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];b=[9,7,6]';[x,n]=gauseidel(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)10/6/2023電子信息學(xué)院例用Gauss-Serdel迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭23例分別用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列線性方程組，看是否收斂。命令如下：a=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1];b=[9;7;6];[x,n]=jacobi(a,b,[0;0;0])[x,n]=gauseidel(a,b,[0;0;0])10/6/2023電子信息學(xué)院例分別用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求243.1.6矩陣的秩與跡

1．矩陣的秩

矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。

2．矩陣的跡

矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。10/6/2023電子信息學(xué)院3.1.6矩陣的秩與跡

1．矩陣的秩

矩陣線性無關(guān)的行數(shù)253.1.7向量和矩陣的范數(shù)

矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在某種意義下的長度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。10/6/2023電子信息學(xué)院3.1.7向量和矩陣的范數(shù)

矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣261．向量的3種常用范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)

在MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：

(1)norm(V)或norm(V,2)：計(jì)算向量V的2—范數(shù)。

(2)norm(V,1)：計(jì)算向量V的1—范數(shù)。

(3)norm(V,inf)：計(jì)算向量V的∞—范數(shù)。2．矩陣的范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)

MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。10/6/2023電子信息學(xué)院1．向量的3種常用范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)

在MATLAB中，求向量273.1.8矩陣的條件數(shù)

在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：

(1)cond(A,1)計(jì)算A的1—范數(shù)下的條件數(shù)。

(2)cond(A)或cond(A,2)計(jì)算A的2—范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。

(3)cond(A,inf)計(jì)算A的∞—范數(shù)下的條件數(shù)。10/6/2023電子信息學(xué)院3.1.8矩陣的條件數(shù)

在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的3283.1.9矩陣的特征值與特征向量

在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有2種：

(1)E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。

(2)[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。10/6/2023電子信息學(xué)院3.1.9矩陣的特征值與特征向量

在MATLAB中，計(jì)算29例用求特征值的方法解方程。

3x5-7x4+5x2+2x-18=0

p=[3,-7,0,5,2,-18];

A=compan(p);%A的伴隨矩陣

x1=eig(A)%求A的特征值

x2=roots(p)%直接求多項(xiàng)式p的零點(diǎn)作業(yè):p120第8、14題10/6/2023電子信息學(xué)院例用求特征值的方法解方程。

3x5-7x4+5x2+2x303.2多項(xiàng)式計(jì)算3.2.1多項(xiàng)式的四則運(yùn)算1．多項(xiàng)式的加減運(yùn)算（詳見課本p87）作業(yè):編寫子函數(shù)可對(duì)任意二個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加減操作.(自動(dòng)補(bǔ)零)2．多項(xiàng)式乘法運(yùn)算函數(shù)conv(P1,P2)用于求多項(xiàng)式P1和P2的乘積。這里，P1、P2是兩個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)向量。作業(yè)：求多項(xiàng)式x4+8x3-10與多項(xiàng)式2x2-x+3的乘積。提高:對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行四則運(yùn)算,輸入表達(dá)式而不是向量,能輸出運(yùn)算結(jié)果.10/6/2023電子信息學(xué)院3.2多項(xiàng)式計(jì)算10/6/2023電子信息學(xué)院313．多項(xiàng)式除法函數(shù)[Q,r]=deconv(P1,P2)用于對(duì)多項(xiàng)式P1和P2作除法運(yùn)算。其中Q返回多項(xiàng)式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。這里，Q和r仍是多項(xiàng)式系數(shù)向量。deconv是conv的逆函數(shù)，即有P1=conv(P2,Q)+r。作業(yè)：求多項(xiàng)式x4+8x3-10除以多項(xiàng)式2x2-x+3的結(jié)果。10/6/2023電子信息學(xué)院3．多項(xiàng)式除法10/6/2023電子信息學(xué)院323.2.2多項(xiàng)式的導(dǎo)函數(shù)對(duì)多項(xiàng)式求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是：p=polyder(P)：求多項(xiàng)式P的導(dǎo)函數(shù)p=polyder(P,Q)：求P·Q的導(dǎo)函數(shù)[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的分子存入p，分母存入q。上述函數(shù)中，參數(shù)P,Q是多項(xiàng)式的向量表示，結(jié)果p,q也是多項(xiàng)式的向量表示。10/6/2023電子信息學(xué)院3.2.2多項(xiàng)式的導(dǎo)函數(shù)10/6/2023電子信息學(xué)院33例求有理分式的導(dǎo)數(shù)。命令如下：P=[1];Q=[1,0,5];[p,q]=polyder(P,Q)10/6/2023電子信息學(xué)院例求有理分式的導(dǎo)數(shù)。10/6/2023電子信息學(xué)院343.2.3多項(xiàng)式的求值MATLAB提供了兩種求多項(xiàng)式值的函數(shù)：polyval與polyvalm，它們的輸入?yún)?shù)均為多項(xiàng)式系數(shù)向量P和自變量x。兩者的區(qū)別在于前者是代數(shù)多項(xiàng)式求值，而后者是矩陣多項(xiàng)式求值。10/6/2023電子信息學(xué)院3.2.3多項(xiàng)式的求值10/6/2023電子信息學(xué)院351．代數(shù)多項(xiàng)式求值polyval函數(shù)用來求代數(shù)多項(xiàng)式的值，其調(diào)用格式為：Y=polyval(P,x)若x為一數(shù)值，則求多項(xiàng)式在該點(diǎn)的值；若x為向量或矩陣，則對(duì)向量或矩陣中的每個(gè)元素求其多項(xiàng)式的值。作業(yè)：已知多項(xiàng)式x4+8x3-10，分別取x=1.2和一個(gè)2×3矩陣為自變量計(jì)算該多項(xiàng)式的值。10/6/2023電子信息學(xué)院1．代數(shù)多項(xiàng)式求值10/6/2023電子信息學(xué)院362．矩陣多項(xiàng)式求值polyvalm函數(shù)用來求矩陣多項(xiàng)式的值，其調(diào)用格式與polyval相同，但含義不同。polyvalm函數(shù)要求x為方陣，它以方陣為自變量求多項(xiàng)式的值。設(shè)A為方陣，P代表多項(xiàng)式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含義是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))而polyval(P,A)的含義是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))作業(yè)：仍以多項(xiàng)式x4+8x3-10為例，取一個(gè)2×2矩陣為自變量分別用polyval和polyvalm計(jì)算該多項(xiàng)式的值。10/6/2023電子信息學(xué)院2．矩陣多項(xiàng)式求值10/6/2023電子信息學(xué)院373.2.4多項(xiàng)式求根n次多項(xiàng)式具有n個(gè)根，當(dāng)然這些根可能是實(shí)根，也可能含有若干對(duì)共軛復(fù)根。MATLAB提供的roots函數(shù)用于求多項(xiàng)式的全部根，其調(diào)用格式為：x=roots(P)其中P為多項(xiàng)式的系數(shù)向量，求得的根賦給向量x，即x(1),x(2),…,x(n)分別代表多項(xiàng)式的n個(gè)根。10/6/2023電子信息學(xué)院3.2.4多項(xiàng)式求根10/6/2023電子信息學(xué)院38例求多項(xiàng)式x4+8x3-10的根。命令如下：A=[1,8,0,0,-10];x=roots(A)若已知多項(xiàng)式的全部根，則可以用poly函數(shù)建立起該多項(xiàng)式，其調(diào)用格式為：P=poly(x)若x為具有n個(gè)元素的向量，則poly(x)建立以x為其根的多項(xiàng)式，且將該多項(xiàng)式的系數(shù)賦給向量P。10/6/2023電子信息學(xué)院例求多項(xiàng)式x4+8x3-10的根。10/6/2023電子信39例已知f(x)(1)計(jì)算f(x)=0的全部根。(2)由方程f(x)=0的根構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式g(x)，并與f(x)進(jìn)行對(duì)比。命令如下：P=[3,0,4,-5,-7.2,5];X=roots(P)%求方程f(x)=0的根G=poly(X)%求多項(xiàng)式g(x)作業(yè):p120第4、5題10/6/2023電子信息學(xué)院例已知f(x)10/6/2023電子信息學(xué)院4010/6/2023電子信息學(xué)院10/6/2023電子信息學(xué)院413.2.5數(shù)據(jù)插值3.2.5.1一維數(shù)據(jù)插值在MATLAB中，實(shí)現(xiàn)這些插值的函數(shù)是interp1，其調(diào)用格式為：Y1=interp1(X,Y,X1,'method')函數(shù)根據(jù)X,Y的值，計(jì)算函數(shù)在X1處的值。X,Y是兩個(gè)等長的已知向量，分別描述采樣點(diǎn)和樣本值，X1是一個(gè)向量或標(biāo)量，描述欲插值的點(diǎn)，Y1是一個(gè)與X1等長的插值結(jié)果。method是插值方法，允許的取值有‘linear’、‘nearest’、‘cubic’、‘spline’。10/6/2023電子信息學(xué)院3.2.5數(shù)據(jù)插值10/6/2023電子信息學(xué)院42注意：X1的取值范圍不能超出X的給定范圍，否則，會(huì)給出“NaN”錯(cuò)誤。例用不同的插值方法計(jì)算在π/2點(diǎn)的值。MATLAB中有一個(gè)專門的3次樣條插值函數(shù)Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法與函數(shù)Y1=interp1(X,Y,X1,‘spline’)完全相同。10/6/2023電子信息學(xué)院注意：X1的取值范圍不能超出X的給定范圍，否則，會(huì)給出“Na43例某觀測(cè)站測(cè)得某日6:00時(shí)至18:00時(shí)之間每隔2小時(shí)的室內(nèi)外溫度(℃)，用3次樣條插值分別求得該日室內(nèi)外6:30至17:30時(shí)之間每隔2小時(shí)各點(diǎn)的近似溫度(℃)。設(shè)時(shí)間變量h為一行向量，溫度變量t為一個(gè)兩列矩陣，其中第一列存放室內(nèi)溫度，第二列儲(chǔ)存室外溫度。命令如下：h=6:2:18;t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]';XI=6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,‘spline’)%用3次樣條插值計(jì)算10/6/2023電子信息學(xué)院例某觀測(cè)站測(cè)得某日6:00時(shí)至18:00時(shí)之間每隔2小時(shí)的室443.2.5.2二維數(shù)據(jù)插值在MATLAB中，提供了解決二維插值問題的函數(shù)interp2，其調(diào)用格式為：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')其中X,Y是兩個(gè)向量，分別描述兩個(gè)參數(shù)的采樣點(diǎn)，Z是與參數(shù)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，X1,Y1是兩個(gè)向量或標(biāo)量，描述欲插值的點(diǎn)。Z1是根據(jù)相應(yīng)的插值方法得到的插值結(jié)果。method的取值與一維插值函數(shù)相同。X,Y,Z也可以是矩陣形式。同樣，X1,Y1的取值范圍不能超出X,Y的給定范圍，否則，會(huì)給出“NaN”錯(cuò)誤。10/6/2023電子信息學(xué)院3.2.5.2二維數(shù)據(jù)插值10/6/2023電子信息學(xué)院45例設(shè)z=x2+y2，對(duì)z函數(shù)在[0,1]×[0,2]區(qū)域內(nèi)進(jìn)行插值。例某實(shí)驗(yàn)對(duì)一根長10米的鋼軌進(jìn)行熱源的溫度傳播測(cè)試。用x表示測(cè)量點(diǎn)0:2.5:10(米)，用h表示測(cè)量時(shí)間0:30:60(秒)，用T表示測(cè)試所得各點(diǎn)的溫度(℃)。試用線性插值求出在一分鐘內(nèi)每隔20秒、鋼軌每隔1米處的溫度TI。命令如下：x=0:2.5:10;h=[0:30:60]';T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];xi=[0:10];hi=[0:20:60]';TI=interp2(x,h,T,xi,hi)10/6/2023電子信息學(xué)院例設(shè)z=x2+y2，對(duì)z函數(shù)在[0,1]×[0,2]區(qū)域內(nèi)進(jìn)463.2.5.3曲線擬合在MATLAB中，用polyfit函數(shù)來求得最小二乘擬合多項(xiàng)式的系數(shù)，再用polyval函數(shù)按所得的多項(xiàng)式計(jì)算所給出的點(diǎn)上的函數(shù)近似值。polyfit函數(shù)的調(diào)用格式為：[P,S]=polyfit(X,Y,m)函數(shù)根據(jù)采樣點(diǎn)X和采樣點(diǎn)函數(shù)值Y，產(chǎn)生一個(gè)m次多項(xiàng)式P及其在采樣點(diǎn)的誤差向量S。其中X,Y是兩個(gè)等長的向量，P是一個(gè)長度為m+1的向量，P的元素為多項(xiàng)式系數(shù)。polyval函數(shù)的功能是按多項(xiàng)式的系數(shù)計(jì)算x點(diǎn)多項(xiàng)式的值，將在6.5.3節(jié)中詳細(xì)介紹。10/6/2023電子信息學(xué)院3.2.5.3曲線擬合10/6/2023電子信息學(xué)院47例已知數(shù)據(jù)表[t,y]，試求2次擬合多項(xiàng)式p(t)，然后求ti=1,1.5,2,2.5,…,9.5,10各點(diǎn)的函數(shù)近似值。10/6/2023電子信息學(xué)院例已知數(shù)據(jù)表[t,y]，試求2次擬合多項(xiàng)式p(t)，然后求t483.3數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理3.3.1最大值和最小值MATLAB提供的求數(shù)據(jù)序列的最大值和最小值的函數(shù)分別為max和min，兩個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式和操作過程類似。1．求向量的最大值和最小值求一個(gè)向量X的最大值的函數(shù)有兩種調(diào)用格式，分別是：(1)y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。10/6/2023電子信息學(xué)院3.3數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理10/6/2023電子信息學(xué)院49(2)[y,I]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序號(hào)存入I，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。求向量X的最小值的函數(shù)是min(X)，用法和max(X)完全相同。例6-1求向量x的最大值。命令如下：x=[-43,72,9,16,23,47];y=max(x)%求向量x中的最大值[y,l]=max(x)%求向量x中的最大值及其該元素的位置10/6/2023電子信息學(xué)院(2)[y,I]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，502．求矩陣的最大值和最小值求矩陣A的最大值的函數(shù)有3種調(diào)用格式，分別是：(1)max(A)：返回一個(gè)行向量，向量的第i個(gè)元素是矩陣A的第i列上的最大值。(2)[Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號(hào)。10/6/2023電子信息學(xué)院2．求矩陣的最大值和最小值10/6/2023電子信息學(xué)院51(3)max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1時(shí)，該函數(shù)和max(A)完全相同；dim取2時(shí)，該函數(shù)返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A矩陣的第i行上的最大值。求最小值的函數(shù)是min，其用法和max完全相同。例6-2分別求3×4矩陣x中各列和各行元素中的最大值，并求整個(gè)矩陣的最大值和最小值。10/6/2023電子信息學(xué)院(3)max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取523．兩個(gè)向量或矩陣對(duì)應(yīng)元素的比較函數(shù)max和min還能對(duì)兩個(gè)同型的向量或矩陣進(jìn)行比較，調(diào)用格式為：(1)U=max(A,B)：A,B是兩個(gè)同型的向量或矩陣，結(jié)果U是與A,B同型的向量或矩陣，U的每個(gè)元素等于A,B對(duì)應(yīng)元素的較大者。(2)U=max(A,n)：n是一個(gè)標(biāo)量，結(jié)果U是與A同型的向量或矩陣，U的每個(gè)元素等于A對(duì)應(yīng)元素和n中的較大者。min函數(shù)的用法和max完全相同。例6-3求兩個(gè)2×3矩陣x,y所有同一位置上的較大元素構(gòu)成的新矩陣p。10/6/2023電子信息學(xué)院3．兩個(gè)向量或矩陣對(duì)應(yīng)元素的比較10/6/2023電子信息學(xué)533.3.2求和與求積數(shù)據(jù)序列求和與求積的函數(shù)是sum和prod，其使用方法類似。設(shè)X是一個(gè)向量，A是一個(gè)矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘積。sum(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的元素和。10/6/2023電子信息學(xué)院3.3.2求和與求積10/6/2023電子信息學(xué)院54prod(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的元素乘積。sum(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于sum(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于prod(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的各元素乘積。例6-4求矩陣A的每行元素的乘積和全部元素的乘積。10/6/2023電子信息學(xué)院prod(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的元553.3.3平均值和中值求數(shù)據(jù)序列平均值的函數(shù)是mean，求數(shù)據(jù)序列中值的函數(shù)是median。兩個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式為：mean(X)：返回向量X的算術(shù)平均值。median(X)：返回向量X的中值。mean(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的算術(shù)平均值。median(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的中值。mean(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于mean(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的算術(shù)平均值。median(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于median(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的中值。例6-5分別求向量x與y的平均值和中值。10/6/2023電子信息學(xué)院3.3.3平均值和中值10/6/2023電子信息學(xué)院563.3.4累加和與累乘積在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函數(shù)能方便地求得向量和矩陣元素的累加和與累乘積向量，函數(shù)的調(diào)用格式為：cumsum(X)：返回向量X累加和向量。cumprod(X)：返回向量X累乘積向量。cumsum(A)：返回一個(gè)矩陣，其第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A)：返回一個(gè)矩陣，其第i列是A的第i列的累乘積向量。cumsum(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于cumsum(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)矩陣，其第i行是A的第i行的累加和向量。cumprod(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于cumprod(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)向量，其第i行是A的第i行的累乘積向量。例6-6求s的值。10/6/2023電子信息學(xué)院3.3.4累加和與累乘積10/6/2023電子信息學(xué)院573.3.5標(biāo)準(zhǔn)方差與相關(guān)系數(shù)1．求標(biāo)準(zhǔn)方差在MATLAB中，提供了計(jì)算數(shù)據(jù)序列的標(biāo)準(zhǔn)方差的函數(shù)std。對(duì)于向量X，std(X)返回一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方差。對(duì)于矩陣A，std(A)返回一個(gè)行向量，它的各個(gè)元素便是矩陣A各列或各行的標(biāo)準(zhǔn)方差。std函數(shù)的一般調(diào)用格式為：Y=std(A,flag,dim)其中dim取1或2。當(dāng)dim=1時(shí)，求各列元素的標(biāo)準(zhǔn)方差；當(dāng)dim=2時(shí)，則求各行元素的標(biāo)準(zhǔn)方差。flag取0或1，當(dāng)flag=0時(shí)，按σ1所列公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方差，當(dāng)flag=1時(shí)，按σ2所列公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方差。缺省flag=0，dim=1。例6-7對(duì)二維矩陣x，從不同維方向求出其標(biāo)準(zhǔn)方差。10/6/2023電子信息學(xué)院3.3.5標(biāo)準(zhǔn)方差與相關(guān)系數(shù)10/6/2023電子信息學(xué)582．相關(guān)系數(shù)MATLAB提供了corrcoef函數(shù)，可以求出數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣。corrcoef函數(shù)的調(diào)用格式為：corrcoef(X)：返回從矩陣X形成的一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣。此相關(guān)系數(shù)矩陣的大小與矩陣X一樣。它把矩陣X的每列作為一個(gè)變量，然后求它們的相關(guān)系數(shù)。corrcoef(X,Y)：在這里，X,Y是向量，它們與corrcoef([X,Y])的作用一樣。10/6/2023電子信息學(xué)院2．相關(guān)系數(shù)10/6/2023電子信息學(xué)院59例6-8生成滿足正態(tài)分布的10000×5隨機(jī)矩陣，然后求各列元素的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差，再求這5列隨機(jī)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣。命令如下：X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)10/6/2023電子信息學(xué)院例6-8生成滿足正態(tài)分布的10000×5隨機(jī)矩陣，然后求603.3.6排序MATLAB中對(duì)向量X是排序函數(shù)是sort(X)，函數(shù)返回一個(gè)對(duì)X中的元素按升序排列的新向量。sort函數(shù)也可以對(duì)矩陣A的各列或各行重新排序，其調(diào)用格式為：[Y,I]=sort(A,dim)其中dim指明對(duì)A的列還是行進(jìn)行排序。若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排。Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。例6-9對(duì)二維矩陣做各種排序。10/6/2023電子信息學(xué)院3.3.6排序10/6/2023電子信息學(xué)院613.4函數(shù)分析與數(shù)值積分3.4.1函數(shù)在MATLAB中的表示與函數(shù)的繪1.函數(shù)表示與計(jì)算a.函數(shù)文件p105頁的humps.m表示b.Inline內(nèi)聯(lián)函數(shù)實(shí)現(xiàn)2.函數(shù)的繪制a.單變量函數(shù)繪制圖形命令fplot函數(shù)的調(diào)用格式為：fplot(fname,lims,tol,選項(xiàng))其中fname為函數(shù)名，以字符串形式出現(xiàn)，lims為x,y的取值范圍，tol為相對(duì)允許誤差，其系統(tǒng)默認(rèn)值為2e-3。選項(xiàng)定義與plot函數(shù)相同。例5-9用fplot函數(shù)繪制f(x)=cos(tan(πx))的曲線。命令如下：fplot('cos(tan(pi*x))',[0,1],1e-4)10/6/2023電子信息學(xué)院3.4函數(shù)分析與數(shù)值積分10/6/2023電子信息學(xué)院62b.簡(jiǎn)易的函數(shù)繪圖命令ezplotMATLAB提供了一個(gè)ezplot函數(shù)繪制函數(shù)圖形，下面介紹其用法。(1)對(duì)于函數(shù)f=f(x)，ezplot函數(shù)的調(diào)用格式為：ezplot(f)：在默認(rèn)區(qū)間-2π<x<2π繪制f=f(x)的圖形。ezplot(f,[a,b])：在區(qū)間a<x<b繪制f=f(x)的圖形。10/6/2023電子信息學(xué)院b.簡(jiǎn)易的函數(shù)繪圖命令ezplot10/6/2023電子信息63(2)對(duì)于函數(shù)f=f(x,y)，ezplot函數(shù)的調(diào)用格式為：ezplot(f)：在默認(rèn)區(qū)間-2π<x<2π和-2π<y<2π繪制f(x,y)=0的圖形。ezplot(f,[xmin,xmax,ymin,ymax])：在區(qū)間xmin<x<xmax和ymin<y<ymax繪制f(x,y)=0的圖形。ezplot(f,[a,b])：在區(qū)間a<x<b和a<y<b繪制f(x,y)=0的圖形。10/6/2023電子信息學(xué)院(2)對(duì)于函數(shù)f=f(x,y)，ezplot函數(shù)的調(diào)用64(3)對(duì)于參數(shù)方程x=x(t)和y=y(t)，ezplot函數(shù)的調(diào)用格式為：ezplot(x,y)：在默認(rèn)區(qū)間0<t<2π繪制x=x(t)和y=y(t)的圖形。ezplot(x,y,[tmin,tmax])：在區(qū)間tmin<t<tmax繪制x=x(t)和y=y(t)的圖形。10/6/2023電子信息學(xué)院(3)對(duì)于參數(shù)方程x=x(t)和y=y(t)，ez653.4.2函數(shù)極值MATLAB提供了基于單純形算法求解函數(shù)極值的函數(shù)fmin和fmins，它們分別用于單變量函數(shù)和多變量函數(shù)的最小值，其調(diào)用格式為：x=fmin('fname',x1,x2)x=fmins('fname',x0)這兩個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式相似。其中fmin函數(shù)用于求單變量函數(shù)的最小值點(diǎn)。fname是被最小化的目標(biāo)函數(shù)名，x1和x2限定自變量的取值范圍。fmins函數(shù)用于求多變量函數(shù)的最小值點(diǎn)，x0是求解的初始值向量。10/6/2023電子信息學(xué)院3.4.2函數(shù)極值10/6/2023電子信息學(xué)院66MATLAB沒有專門提供求函數(shù)最大值的函數(shù)，但只要注意到-f(x)在區(qū)間(a,b)上的最小值就是f(x)在(a,b)的最大值，所以fmin(f,x1,x2)返回函數(shù)f(x)在區(qū)間(x1,x2)上的最大值。例求f(x)=x3-2x-5在[0,5]內(nèi)的最小值點(diǎn)。(1)建立函數(shù)文件mymin.m。functionfx=mymin(x)fx=x.^3-2*x-5;(2)調(diào)用fmin函數(shù)求最小值點(diǎn)。x=fmin('mymin',0,5)x=0.816510/6/2023電子信息學(xué)院MATLAB沒有專門提供求函數(shù)最大值的函數(shù)，但只要注意到-f673.4.2數(shù)值積分與微分3.4.2.1數(shù)值積分基本原理求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡(jiǎn)單的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛頓－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。它們的基本思想都是將整個(gè)積分區(qū)間[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。10/6/2023電子信息學(xué)院3.4.2數(shù)值積分與微分10/6/2023電子信息學(xué)院683.4.2.2數(shù)值積分的實(shí)現(xiàn)方法1．變步長辛普生法基于變步長辛普生法，MATLAB給出了quad函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被積函數(shù)名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來控制積分精度，缺省時(shí)取tol=0.001。trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0則展現(xiàn)積分過程，取0則不展現(xiàn)，缺省時(shí)取trace=0。返回參數(shù)I即定積分值，n為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。10/6/2023電子信息學(xué)院3.4.2.2數(shù)值積分的實(shí)現(xiàn)方法10/6/2023電子信息69例求定積分。(1)建立被積函數(shù)文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)調(diào)用數(shù)值積分函數(shù)quad求定積分。[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S=0.9008n=7710/6/2023電子信息學(xué)院例求定積分。10/6/2023電子信息學(xué)院702．牛頓－柯特斯法基于牛頓－柯特斯法，MATLAB給出了quad8函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)其中參數(shù)的含義和quad函數(shù)相似，只是tol的缺省值取10-6。該函數(shù)可以更精確地求出定積分的值，且一般情況下函數(shù)調(diào)用的步數(shù)明顯小于quad函數(shù)，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。10/6/2023電子信息學(xué)院2．牛頓－柯特斯法10/6/2023電子信息學(xué)院71例求定積分。(1)被積函數(shù)文件fx.m。functionf=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));(2)調(diào)用函數(shù)quad8求定積分。I=quad8('fx',0,pi)I=2.467410/6/2023電子信息學(xué)院例求定積分。10/6/2023電子信息學(xué)院72例分別用quad函數(shù)和quad8函數(shù)求定積分的近似值，并在相同的積分精度下，比較函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。調(diào)用函數(shù)quad求定積分：formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254766n=6510/6/2023電子信息學(xué)院例分別用quad函數(shù)和quad8函數(shù)求定積分的近似值，并在相73調(diào)用函數(shù)quad8求定積分：formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254754n=3310/6/2023電子信息學(xué)院調(diào)用函數(shù)quad8求定積分：10/6/2023電子信743．被積函數(shù)由一個(gè)表格定義在MATLAB中，對(duì)由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分問題用trapz(X,Y)函數(shù)。其中向量X,Y定義函數(shù)關(guān)系Y=f(X)。例用trapz函數(shù)計(jì)算定積分。命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)向量trapz(X,Y)ans=0.2857968241639310/6/2023電子信息學(xué)院3．被積函數(shù)由一個(gè)表格定義10/6/2023電子信息學(xué)院753.4.2二重定積分的數(shù)值求解3.4.2使用MATLAB提供的dblquad函數(shù)就可以直接求出上述二重定積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)該函數(shù)求f(x,y)在[a,b]×[c,d]區(qū)域上的二重定積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。10/6/2023電子信息學(xué)院3.4.2二重定積分的數(shù)值求解10/6/2023電子信息學(xué)