湖北省部分重點中學2024屆高一上數學期末統考試題含解析

湖北省部分重點中學2024屆高一上數學期末統考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（）A. B.C. D.2．設是定義在上的奇函數，且當時，，則（）A. B.C. D.3．已知函數的值域為R，則實數的取值范圍是()A. B.C. D.4．高斯是德國著名的數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，，已知函數()，則函數的值域為（）A. B.C. D.5．若,,,則大小關系為A. B.C. D.6．定義域在R上的函數是奇函數且，當時，，則的值為（）A. B.C D.7．若，則是（）A.第一象限或第三象限角 B.第二象限或第四象限角C.第三象限或第四象限角 D.第二象限或第三象限角8．函數f（x）=lnx﹣1的零點所在的區(qū)間是A（1，2） B.（2，3）C.（3，4） D.（4，5）9．設，，，則a，b，c的大小關系是（）A. B.C. D.10．簡諧運動可用函數表示，則這個簡諧運動的初相為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知點是角終邊上一點，且，則的值為__________.12．每一個聲音都是由純音合成的，純音的數學模型是函數.若的部分圖象如圖所示，則的解析式為________.13．已知為銳角，，，則__________14．函數的圖象與軸相交于點，如圖是它的部分圖象，若函數圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，則_________.15．高斯是德國著名的數學家，用其名字命名的“高斯函數”為，其中表示不超過x的最大整數.例如：，.已知函數，若，則________；不等式的解集為________.16．設定義在上的函數同時滿足以下條件：①；②；③當時，，則＝________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓的一般方程為.(1)求的取值范圍;(2)若圓與直線相交于兩點，且(為坐標原點)，求以為直徑的圓的方程.18．若函數f(x)滿足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1).(1)求函數f(x)解析式，并判斷其奇偶性和單調性；(2)當x∈(－∞，2)時，f(x)－4的值恒為負數，求a的取值范圍19．已知二次函數滿足，且.（1）求函數在區(qū)間上的值域；（2）當時，函數與的圖像沒有公共點，求實數的取值范圍.20．心理學家通過研究學生的學習行為發(fā)現；學生的接受能力與老師引入概念和描述問題所用的時間相關，教學開始時，學生的興趣激增，學生的興趣保持一段較理想的狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散，分析結果和實驗表明，用表示學生掌握和接受概念的能力,x表示講授概念的時間(單位:min)，可有以下的關系:（1）開講后第5min與開講后第20min比較,學生的接受能力何時更強一些?（2）開講后多少min學生的接受能力最強?能維持多少時間?（3）若一個新數學概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min時間,那么老師能否在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個概念?21．（1）已知，化簡：；（2）已知，證明：

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】要使切線長最小，必須直線y=x+2上的點到圓心的距離最小，此最小值即為圓心（4，﹣2）到直線的距離m，求出m，由勾股定理可求切線長的最小值【題目詳解】要使切線長最小，必須直線y=x+2上的點到圓心的距離最小，此最小值即為圓心（4，﹣2）到直線的距離m，由點到直線的距離公式得m==4，由勾股定理求得切線長的最小值為=故選B【題目點撥】本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式、勾股定理的應用．解題的關鍵是理解要使切線長最小，必須直線y=x+2上的點到圓心的距離最小2、D【解題分析】根據奇函數的性質求函數值即可.【題目詳解】故選：D3、C【解題分析】分段函數值域為R，在x＝1左側值域和右側值域并集為R.【題目詳解】當，∴當時，，∵的值域為R，∴當時，值域需包含，∴，解得，故選：C.4、B【解題分析】先利用換元思想求出函數的值域，再分類討論，根據新定義求得函數的值域【題目詳解】()，令，可得，在上遞減，在上遞增，時，有最小值，又因為，所以當時，，即函數的值域為，時，；時，；時，；的值域是故選：B【題目點撥】思路點睛：新定義是通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.5、D【解題分析】取中間值0和1分別與這三個數比較大小，進而得出結論【題目詳解】解：，，，，故選：D.【題目點撥】本題主要考查取中間值法比較數的大小，屬于基礎題6、A【解題分析】根據函數的奇偶性和周期性進行求解即可.【題目詳解】因為，所以函數的周期為，因為函數是奇函數，當時，，所以，故選：A7、D【解題分析】由已知可得即可判斷.【題目詳解】，即，則且，是第二象限或第三象限角.故選：D.8、B【解題分析】∵，在遞增，而，∴函數的零點所在的區(qū)間是，故選B.9、C【解題分析】根據冪函數和指數函數的單調性比較判斷【題目詳解】∵，，∴.故選：C10、B【解題分析】根據初相定義直接可得.【題目詳解】由初相定義可知，當時的相位稱為初相，所以，函數的初相為.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】由三角函數定義可得,進而求解即可【題目詳解】由題,,所以,故答案為：【題目點撥】本題考查由三角函數值求終邊上的點,考查三角函數定義的應用12、【解題分析】結合正弦函數的性質確定參數值．【題目詳解】由圖可知，最小正周期，所以，所以.故答案為：．【題目點撥】本題考查由三角函數圖象確定其解析式，掌握正弦函數的圖象與性質是解題關鍵．13、【解題分析】由，都是銳角，得出的范圍，由和的值，利用同角三角函數的基本關系分別求出和的值，然后把所求式子的角變?yōu)?，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡計算，即得結果【題目詳解】，都是銳角，，又，，，，則故答案為：.14、【解題分析】根據圖象可得，由題意得出，即可求出，再代入即可求出，進而得出所求.【題目詳解】由函數圖象可得，相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，，則，，，又，即，，或，根據“五點法”畫圖可判斷，，.故答案為：.15、①.②.【解題分析】第一空：”根據“高斯函數”的定義，可得，進而再分類討論建立方程求值即可；第二空：分類討論建立不等式求解即可.【題目詳解】由題意，得，當時，，即；當時，，即(舍)，綜上；當時，，即，當時，，即，綜上，.故答案為：；.【題目點撥】關鍵點睛：求解分段函數相關問題的關鍵是“分段歸類”，即應用分類討論思想.16、【解題分析】利用周期性和奇偶性，直接將的值轉化到上的函數值，再利用解析式計算，即可求出結果【題目詳解】依題意知：函數為奇函數且周期為2，則，，即.【題目點撥】本題主要考查函數性質——奇偶性和周期性的應用，以及已知解析式，求函數值，同時，考查了轉化思想的應用三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解題分析】（1）根據圓的一般方程成立條件，，代入即可求解；（2）聯立直線方程和圓的方程，消元得關于的一元二次方程，列出韋達定理，求解中點坐標為圓心，為半徑，即可求解圓的方程.【題目詳解】(1)，，，，，解得:(2)，將代入得，，，，半徑∴圓的方程為【題目點撥】（1）考查圓的一般方程成立條件，屬于基礎題；（2）考查直線與圓位置關系，聯立方程組法求解，結合一元二次方程韋達定理，綜合性較強，難度一般.18、（1）見解析．（2）[2－，1)∪(1,2＋]【解題分析】試題分析：（1）利用換元法求函數解析式，注意換元時元的范圍，再根據奇偶性定義判斷函數奇偶性，最后根據復合函數單調性性質判斷函數單調性（2）不等式恒成立問題一般轉化為對應函數最值問題：即f(x)最大值小于4，根據函數單調性確定函數最大值，自在解不等式可得a的取值范圍試題解析：(1)令logax＝t(t∈R)，則x＝at，∴f(t)＝(at－a－t)∴f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)∵f(－x)＝(a－x－ax)＝－(ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數當a＞1時，y＝ax為增函數，y＝－a－x為增函數，且＞0，∴f(x)為增函數當0＜a＜1時，y＝ax為減函數，y＝－a－x為減函數，且＜0，∴f(x)為增函數．∴f(x)在R上為增函數(2)∵f(x)是R上的增函數，∴y＝f(x)－4也是R上的增函數由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒為負數，只需f(2)－4≤0，即(a2－a－2)≤4.∴()≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，∴2－≤a≤2＋.又a≠1，∴a的取值范圍為[2－，1)∪(1,2＋]點睛：不等式有解是含參數的不等式存在性問題時，只要求存在滿足條件的即可；不等式的解集為R是指不等式的恒成立，而不等式的解集的對立面（如的解集是空集，則恒成立）)也是不等式的恒成立問題，此兩類問題都可轉化為最值問題，即恒成立?，恒成立?.19、（1）（2）【解題分析】（1）通過已知得到方程組，解方程組即得二次函數的解析式，再利用二次函數的圖象求函數的值域得解；（2）求出，等價于，求出二次函數最小值即得解.【小問1詳解】解：設、∴，∴，∴，，又，∴，∴.∵對稱軸為直線，，，，∴函數的值域.【小問2詳解】解：由（1）可得：∵直線與函數的圖像沒有公共點∴，當時，∴，∴.20、（1）開講后第5min比開講后第20min，學生接受能力強一些.；（2）6min;（3）詳見解析.【解題分析】第一步已知自變量值求函數值，比較后給出答案；第二步是二次函數求最值問題；第三步試題解析：（1），，則開講后第5min比開講后第20min，學生的接受能力更強一些.]（2）當時，，當時，開講后10min（包括10分鐘）學生