2024屆廣東省廣州市越秀區(qū)荔灣區(qū)數學高一上期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆廣東省廣州市越秀區(qū)荔灣區(qū)數學高一上期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量,則ABC=A30 B.45C.60 D.1202．設a,b均為實數，則“a>b”是“a3A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．計算：（）A.0 B.1C.2 D.34．函數（，且）的圖象必過定點A. B.C. D.5．設，其中、是正實數，且，，則與的大小關系是（）A. B.C. D.6．已知，則它們的大小關系是（）A. B.C. D.7．若，則的最小值為（）A. B.C. D.8．在正方體AC1中，AA1與B1D所成角的余弦值是（）A. B.C. D.9．已知函數的值域為，則實數m的值為（）A.2 B.3C.9 D.2710．設奇函數f(x)在(0，＋∞)上為減函數，且f（1）＝0，則不等式＜0的解集為（）A.(－1，0)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－1，0)∪(0，1)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知冪函數的圖象過點，則___________.12．為了解某校高三學生身體狀況，用分層抽樣的方法抽取部分男生和女生的體重，將男生體重數據整理后，畫出了頻率分布直方圖，已知圖中從左到右前三個小組頻率之比為1:2:3，第二小組頻數為12，若全校男、女生比例為3:2，則全校抽取學生數為________13．已知函數，其所有的零點依次記為，則_________.14．已知函數，若，則實數的取值范圍是__________.15．函數，則________16．已知函數則的值為_______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在平面直角坐標系中，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊在第二象限且與單位圓相交于點，過點作軸的垂線，垂足為點，.（1）求的值；（2）求的值.18．已知定義在上的函數為常數）.（1）求的奇偶性；（2）已知在上有且只有一個零點，求實數a的值.19．已知.（1）求的值；（2）若，求的值.20．已知函數，其中.（1）若是周期為的偶函數，求及的值.（2）若在上是增函數，求的最大值.（3）當時，將函數的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數的圖象，若在上至少含有10個零點，求b的最小值.21．已知，其中為奇函數，為偶函數.（1）求與的解析式；（2）判斷函數在其定義域上的單調性（不需證明）；（3）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】由題意，得，所以，故選A【考點】向量的夾角公式【思維拓展】（1）平面向量與的數量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：；（2）由向量的數量積的性質知，，，因此，利用平面向量的數量積可以解決與長度、角度、垂直等有關的問題2、C【解題分析】因為a3-b3=(a-b)(a23、B【解題分析】根據指數對數恒等式及對數的運算法則計算可得；【題目詳解】解：；故選：B4、C【解題分析】因為函數，且有(且)，令，則，，所以函數的圖象經過點.故選：C.【題目點撥】本題主要考查對數函數(且)恒過定點，屬于基礎題目.5、B【解題分析】利用基本不等式結合二次函數的基本性質可得出與的大小關系.【題目詳解】因為、是正實數，且，則，，因此，.故選：B.6、B【解題分析】根據冪函數、指數函數性質判斷大小關系.【題目詳解】由，所以.故選：B7、B【解題分析】由，根據基本不等式，即可求出結果.【題目詳解】因為，所以，，因此，當且僅當，即時，等號成立.故選：B.8、A【解題分析】畫出圖象如下圖所示,直線與所成的角為,其余弦值為.故選A.9、C【解題分析】根據對數型復合函數的性質計算可得；【題目詳解】解：因為函數的值域為，所以的最小值為，所以；故選：C10、C【解題分析】利用函數奇偶性，等價轉化目標不等式，再結合已知條件以及函數單調性，即可求得不等式解集.【題目詳解】∵f(x)為奇函數，故可得，則＜0等價于.∵f(x)在(0，＋∞)上為減函數且f（1）＝0，∴當x＞1時，f(x)＜0.∵奇函數圖象關于原點對稱，∴在(－∞，0)上f(x)為減函數且f(－1)＝0，即x＜－1時，f(x)＞0.綜上使＜0的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞)故選：.【題目點撥】本題考查利用函數奇偶性和單調性解不等式，屬綜合基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】由冪函數的解析式的形式可求出和的值，再將點代入可求的值，即可求解.【題目詳解】因為是冪函數，所以，，又的圖象過點，所以，解得，所以.故答案為：.12、80【解題分析】頻率分布直方圖中，先根據小矩形的面積等于這一組的頻率求出四與第五組的頻率和，再根據條件求出前三組的頻數，再依據頻率的和等于1，求出前三組的頻率，從而求出抽取的男生數，最后按比例求出全校抽取學生數即可【題目詳解】根據圖可知第四與第五組的頻率和為（0.0125+0.0375）×5=0.25∵從左到右前三個小組頻率之比1：2：3，第二小組頻數為12∴前三個小組的頻數為36，從而男生有人∵全校男、女生比例為3：2，∴全校抽取學生數為48×=80故答案為80【題目點撥】本題考查頻數，頻率及頻率分布直方圖，考查運用統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，數據處理能力和運用意識13、16【解題分析】由零點定義,可得關于的方程.去絕對值分類討論化簡.將對數式化為指數式,再去絕對值可得四個方程.結合韋達定理,求得各自方程兩根的乘積,即可得所有根的積.【題目詳解】函數的零點即所以去絕對值可得或即或去絕對值可得或,或當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得綜上可得所有零點的乘積為故答案為:【題目點撥】本題考查了函數零點定義,含絕對值方程的解法,分類討論思想的應用,由韋達定理研究方程根的關系,屬于難題.14、【解題分析】先確定函數單調性，再根據單調性化簡不等式，最后解一元二次不等式得結果.【題目詳解】在上單調遞增，在上單調遞增，且在R上單調遞增因此由得故答案為：【題目點撥】本題考查根據函數單調性解不等式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.15、【解題分析】利用函數的解析式可計算得出的值.【題目詳解】由已知條件可得.故答案為：.16、【解題分析】首先計算，再求的值.【題目詳解】，所以.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）由三角函數的定義可得出的值，再結合同角三角函數的基本關系可求得的值；（2）利用誘導公式結合弦化切可求得結果.【小問1詳解】解：由題意可知點的橫坐標為，則，因為為第二象限角，則，故.【小問2詳解】解：.18、（1）偶函數，證明見解析，（2）【解題分析】（1）利用定義判斷函數的奇偶性；（2）利用該函數的對稱性，數形結合得到實數a的值.【題目詳解】（1）函數的定義域為R，，即，∴為偶函數，（2）y＝f（x）的圖象關于y軸對稱，由題意知f（x）＝0只有x＝0這一個零點，把（0，0）代入函數表達式得：a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3，或a＝1，當a＝1時，在上單調遞增，∴此時顯然符合條件；當a＝﹣3時，，，即，即在上存在零點，知f（x）至少有三個根，不符合所以，符合條件的實數a的值為1【題目點撥】本題主要考查函數零點的概念，要注意函數的零點不是點，而是函數f（x）＝0時的x的值，屬于中檔題19、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據三角函數的基本關系式，化簡得，即可求解；（2）由（1）知，根據三角函數誘導公式，化簡得到原式，結合三角函數的基本關系式，即可求解.【題目詳解】（1）根據三角函數的基本關系式，可得，解得.（2）由（1）知，又由.因為，且，所以，可得，所以20、（1），，；（2）；（3）.【解題分析】（1）由題知，，進而求解即可得答案；（2）由題知函數在上是增函數，故，進而解不等式即可得答案.（3）由題知，進而根據題意得方程在上至少含有10個零點，進而得，再解不等式即可得答案.【題目詳解】解：（1）由題知，因為是周期為的偶函數，所以，，解得：，，所以，.（2）因為，所以，因為函數在上是增函數，所以函數在上是增函數，所以，解得，又因為，故.所以的最大值為.（3）當時，，所以，當時，，又因為函數在上至少含有10個零點，所以方程在上至少含有10個零點，所以，解得故b最小值為.【題目點撥】本題考查三角函數圖像平移變換，正弦型函數的性質，考查運算求解能力，化歸轉化思想，是中檔題.本題解題的關鍵件在于利用整體換元的思想，將為題轉化為利用函數的圖像性質求解.21、（1），；（2）函數在其定義域上為減函數；（3）.【解題分析】（1）由與可建立有關、的方程組，可得解出與的解析式；（2）化簡函數解析式，根據函數的解析式可直接判斷函數的單調性；（3）將所求不等式變形為，根據函數的定義域、單調性可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.【題目詳解】（1）由于函數為奇函數，為