《計(jì)算電磁學(xué)》第一講課件

Dr.PingDU(杜平)SchoolofElectronicScienceandAppliedPhysics，HefeiUniversityofTechnology(HFUT)Oct.

9,

2011ComputationalElectromagnetics

計(jì)算電磁學(xué)

E-mail:pdu@10/7/2023Dr.PingDU(杜平)SchoolofElec1為什么要學(xué)習(xí)《計(jì)算電磁學(xué)》？

?為何要學(xué)習(xí)科學(xué)計(jì)算？

現(xiàn)代科學(xué)研究的基本模式——科學(xué)實(shí)驗(yàn)、理論分析、科學(xué)高性能計(jì)算（或高性能計(jì)算）。科學(xué)計(jì)算是20世紀(jì)重要的科技進(jìn)步之一。伴隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)迅速發(fā)展并得到廣泛應(yīng)用。目前，其已成為促進(jìn)重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)和科技進(jìn)步的重要手段?，F(xiàn)今科學(xué)計(jì)算已是體現(xiàn)國(guó)家科學(xué)技術(shù)核心競(jìng)爭(zhēng)力的重要標(biāo)志，是國(guó)家科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新發(fā)展的關(guān)鍵要素之一。

科學(xué)計(jì)算技術(shù)：硬件+軟件。硬件：計(jì)算機(jī)

軟件：算法第一講緒論10/7/2023為什么要學(xué)習(xí)《計(jì)算電磁學(xué)》？第一講緒論10/6/2

?為何要學(xué)習(xí)《計(jì)算電磁學(xué)》？它的重要性是什么？

隨著科技的發(fā)展，比如分析深亞微米集成電路的Crosstalk問(wèn)題、信號(hào)完整性問(wèn)題；軍用目標(biāo)（比如戰(zhàn)機(jī)）的電磁特性；大型天線(xiàn)陣列的設(shè)計(jì)等，人們對(duì)快速精確計(jì)算的要求越來(lái)越高。戰(zhàn)機(jī)的電磁特性，如雷達(dá)散射截面(RCS)的計(jì)算，一般要在設(shè)計(jì)時(shí)就要得到。美國(guó)在上世紀(jì)90年代開(kāi)發(fā)了FISC、XPATCH等分析該問(wèn)題的軟件。目前，我國(guó)雖然也開(kāi)發(fā)了幾款類(lèi)似軟件，但據(jù)說(shuō)計(jì)算精度和實(shí)際要求還有一定差距。因此需要繼續(xù)研究《計(jì)算電磁學(xué)》。

10/7/2023?為何要學(xué)習(xí)《計(jì)算電磁學(xué)》？它的重要性是什么？13

《計(jì)算電磁學(xué)》的研究特點(diǎn)？

先建立電磁、數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)適當(dāng)?shù)乃惴ㄔ谟?jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。算法(algorithm)，簡(jiǎn)單說(shuō)就是解決具體問(wèn)題時(shí)計(jì)算機(jī)所能執(zhí)行的步驟。算法的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：能否得到結(jié)果、精度是否滿(mǎn)足要求、計(jì)算量等。

10/7/2023《計(jì)算電磁學(xué)》的研究特點(diǎn)？10/6/20234

算法得到的結(jié)果與真實(shí)結(jié)果之間總會(huì)存在誤差，其主要來(lái)源有：模型誤差

觀測(cè)誤差方法誤差舍入誤差另外，收斂性和穩(wěn)定性問(wèn)題也要考慮。

10/7/2023算法得到的結(jié)果與真實(shí)結(jié)果之間總會(huì)存在誤差，其5電磁場(chǎng)問(wèn)題求解方法

三類(lèi)：解析法、數(shù)值法、半解析數(shù)值法。

?解析法

偏微分方程：分離變量法(Separationofvariables)積分方程：變換法

10/7/2023電磁場(chǎng)問(wèn)題求解方法10/6/20236

優(yōu)點(diǎn)：可將解答表示為已知函數(shù)的顯式，從而可計(jì)算出精確的數(shù)值結(jié)果；

可作為近似解和數(shù)值解的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)；可方便觀察到問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和各參數(shù)對(duì)數(shù)值結(jié)果所起的作用。

缺點(diǎn)：只能解決很少量的問(wèn)題。比如，標(biāo)量亥姆霍茲問(wèn)題，只有在11種坐標(biāo)系下才能用分離變量法求解。所分析問(wèn)題的邊界面只能為11種坐標(biāo)系中的一個(gè)或幾個(gè)的組合；另外，邊界條件只能為一類(lèi)或二類(lèi)才行。對(duì)積分方程，只有其核為某些形式時(shí)才能用變換法得到解。因而近似解析法就顯得十分重要。10/7/2023優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：只能解決很少量的問(wèn)題。對(duì)7

近似解析法常見(jiàn)的有微擾法、變分法、多極子展開(kāi)近似等。高頻近似法，如幾何光學(xué)法(GO)、物理光學(xué)法(PO)、幾何繞射理論(GTD)、一致性繞射理論（UTD）、物理繞射理論(PTD)、彈跳射線(xiàn)法(ShootingandBouncingRays,SBR)。低頻近似法，如準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)近似。這些近似法共同點(diǎn)是：根據(jù)求解問(wèn)題的解的范圍(定義域、值域)作出該范圍內(nèi)成立的近似假設(shè)，從而得到簡(jiǎn)化模型和求解過(guò)程的目的。10/7/2023近似解析法這些近似法共同點(diǎn)是：10/6/20238

?數(shù)值方法：

優(yōu)點(diǎn)：普適性強(qiáng)；用戶(hù)不必掌握高度專(zhuān)業(yè)化的電磁場(chǎng)理論、數(shù)學(xué)及數(shù)值技術(shù)方面的知識(shí)就能用提供的程序解決實(shí)際問(wèn)題。

主要有：有限元法(FEM)時(shí)域有限差分法(FDTD)矩量法(MoM).10/7/2023?數(shù)值方法：10/6/20239

?半解析數(shù)值法

它結(jié)合了純解析法和純數(shù)值法的優(yōu)點(diǎn)，使數(shù)值計(jì)算工作量顯著降低，適合微機(jī)計(jì)算。同時(shí)，保留了純數(shù)值法的靈活性和通用性。比如，直線(xiàn)法(MethodofLines)10/7/2023?半解析數(shù)值法10/6/202310常用的幾種數(shù)值計(jì)算方法?有限元法（FEM法)：離散泛函形式的麥克斯韋方程。早在1940年代就提出，1950年代用于飛機(jī)設(shè)計(jì)；但開(kāi)創(chuàng)性工作是R.W.Clough在1960年的著作中奠定的。1960年代末-70年代初，被移植到電磁場(chǎng)工程領(lǐng)域。

10/7/2023常用的幾種數(shù)值計(jì)算方法10/6/202311

早期：里茲有限元：應(yīng)用瑞利-里茲方法，廣泛應(yīng)用于求解Laplace方程和Poisson方程所描述的場(chǎng)問(wèn)題。后來(lái)：伽略金(最小二乘)有限元法：應(yīng)用加權(quán)余量法中的伽略金(Galerkin)法或最小二乘法也可以得到有限元方程。這樣，F(xiàn)EM法能夠分析任何微分方程所描述的各類(lèi)物理場(chǎng)。另外，它也能用于分析時(shí)變場(chǎng)、非線(xiàn)性場(chǎng)以及復(fù)雜媒質(zhì)中的電磁場(chǎng)問(wèn)題。

10/7/2023早期：里茲有限元：應(yīng)用瑞利-里茲方法，廣泛12有限元法的幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：采用物理上離散與分片多項(xiàng)式插值，對(duì)材料邊界、激勵(lì)有廣泛適應(yīng)性；基于變分原理，將數(shù)理方程變?yōu)榇鷶?shù)方程組求解；采用矩陣形式和單元組裝方法，其各環(huán)節(jié)易于標(biāo)準(zhǔn)化，程序通用性強(qiáng)，且具有較高的計(jì)算精度，便于編寫(xiě)程序和維護(hù)，適宜于制作商業(yè)軟件.國(guó)際學(xué)術(shù)界對(duì)有限元法的理論、計(jì)算技術(shù)和各方面的應(yīng)用做了大量的工作，許多問(wèn)題均有現(xiàn)成的程序，可用的商業(yè)軟件資源相對(duì)較多。電磁領(lǐng)域有HFSS。

10/7/2023有限元法的幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：10/6/202313早期有限元法存在幾個(gè)缺點(diǎn)：出現(xiàn)偽解，這是由于未強(qiáng)加散度條件引起的；在材料邊界和導(dǎo)體表面強(qiáng)加邊界條件不便；處理導(dǎo)體和介質(zhì)邊緣及角有困難。

1980年代末、90年代初，提出了矢量有限元法(VectorFEM)，也叫棱邊元(edgeelement)。該方法克服了上面提到的缺點(diǎn)。10/7/2023早期有限元法存在幾個(gè)缺點(diǎn)：1980年代末、9014FEM法因?yàn)槠鋬?yōu)點(diǎn)受到了人們的歡迎。但隨著對(duì)FEM的研究，特別是工程上實(shí)際應(yīng)用的深入，一些新問(wèn)題也隨之出現(xiàn)：所解問(wèn)題的復(fù)雜性和經(jīng)費(fèi)、時(shí)間以及計(jì)算機(jī)能力有限之間存在著矛盾；FEM法為區(qū)域性解法，分割的元素?cái)?shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)較多，導(dǎo)致所需要的初始數(shù)據(jù)復(fù)雜、使用不便。但利用剖分軟件如ANSYS、Patran等商業(yè)軟件可以將分析區(qū)域自動(dòng)剖分成三角形單元(二維問(wèn)題，如波導(dǎo)的本征值問(wèn)求解)或四面體單元(三維問(wèn)題，如介質(zhì)體的散射計(jì)算)。

(Tobecont’d)10/7/2023FEM法因?yàn)槠鋬?yōu)點(diǎn)受到了人們的歡迎。15有限元產(chǎn)生的代數(shù)矩陣方程的條件數(shù)。隨著網(wǎng)格細(xì)分，單元尺寸h變小，條件數(shù)將變壞，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果很差。

為求解壞條件數(shù)的矩陣方程，人們提出了預(yù)條件技術(shù)(Preconditioningtechniques)，如稀疏近似逆（SAI）、雙層(Two-level)預(yù)條件技術(shù)、稀疏化遞歸Cholesky分解以及折疊預(yù)條件(Foldedpreconditioning)(IEEETRANS.MAGNETICS,VOL.46,No.7,Jul.2010)等。

(Tobecont’d)10/7/2023有限元產(chǎn)生的代數(shù)矩陣方程的條件數(shù)。隨著網(wǎng)格細(xì)分，單元尺寸h變16對(duì)于無(wú)限大區(qū)域中的問(wèn)題，由于其邊界條件難以妥善處理，即使能求得結(jié)果，誤差也較大。兩個(gè)解決辦法：1.采用效果較好的截?cái)噙吔鐥l件；它可以保持FEM中矩陣方程稀疏性、但計(jì)算空間較大；2.采用有限元法+邊界積分方程(FE-BI)。邊界積分破壞了矩陣方程的稀疏性，但大多數(shù)情況下能夠減少計(jì)算空間。

基于FEM法的商業(yè)軟件如AnsoftHFSS。10/7/2023對(duì)于無(wú)限大區(qū)域中的問(wèn)題，由于其邊界條件難以妥善處理，即使能求17?時(shí)域有限差分法(FDTD):直接離散時(shí)域麥克斯韋方程。

有限差分法，在19世紀(jì)末已經(jīng)提出。1950年代，它才與近似數(shù)值分析結(jié)合起來(lái)。它簡(jiǎn)單、直觀，得到了廣泛應(yīng)用。原理：它是以差分原理為基礎(chǔ)的一種數(shù)值方法，它把電磁場(chǎng)連續(xù)域內(nèi)的問(wèn)題變?yōu)殡x散系統(tǒng)的問(wèn)題。有限差分法一般是在頻域中應(yīng)用的。1966年K.S.Yee將其應(yīng)用于時(shí)域電磁問(wèn)題，提出了時(shí)域有限差分法，即FDTD法。1980年代后期開(kāi)始受到了人們的重視。10/7/2023?時(shí)域有限差分法(FDTD):直接離散時(shí)域麥克斯韋方程18

隨著吸收邊界條件(Absorbingboundarycondition,ABC)的不斷完善、各種非標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格劃分技術(shù)、計(jì)算量壓縮技術(shù)、抗誤差積累技術(shù)等的深入研究使得它幾乎應(yīng)用于所有電磁問(wèn)題，如電磁散射、天線(xiàn)特性、電磁波的生物效應(yīng)、波導(dǎo)與諧振腔問(wèn)題、微波與毫米波集成電路分析等。基于FDTD法的商業(yè)軟件如GEMS。10/7/2023隨著吸收邊界條件(Absorbingbo19

?矩量法(MoM)：直接離散積分形式麥克斯韋方程。

1963年，K.K.Mei(梅冠香)在博士論文中首次采用了該方法。1968年R.F.Harrington(哈林頓)在其專(zhuān)著中FieldComputationbyMethodofMoments，對(duì)該方法進(jìn)行了全面深入的分析，用統(tǒng)一的觀點(diǎn)進(jìn)行了簡(jiǎn)單扼要地介紹。

10/7/2023?矩量法(MoM)：直接離散積分形式麥克斯韋方程。1020MoM的步驟：將需要求解的微分或積分方程寫(xiě)成帶有微分或積分算符的算子方程；將待求函數(shù)表示為一組基函數(shù)的線(xiàn)性組合并代入到算子方程；然后選一組權(quán)函數(shù)對(duì)所得的方程取內(nèi)積，從而得到矩陣方程或代數(shù)方程組。最后就是利用計(jì)算機(jī)求解上面所得的方程組。

10/7/2023MoM的步驟：10/6/202321

MoM能夠分析嚴(yán)格解析法和近似解析法不能解決的邊界比較復(fù)雜的問(wèn)題。MoM的計(jì)算量很大。對(duì)于由微分方程為基礎(chǔ)的離散方程，其系數(shù)矩陣多為大型病態(tài)稀疏矩陣；對(duì)于由積分方程為基礎(chǔ)的離散方程，其系數(shù)矩陣通常為滿(mǎn)陣(Densematrix)，所有元素都要進(jìn)行計(jì)算。

在電磁學(xué)中，MoM一般應(yīng)用于分析積分方程。這樣，它產(chǎn)生的系數(shù)矩陣為滿(mǎn)陣，其內(nèi)存需求為，CPU時(shí)間為，其中N為未知量數(shù)目。因而，該方法只適合分析較小的電磁問(wèn)題。

10/7/2023MoM能夠分析嚴(yán)格解析法和近似解析法不能22

為了能用它分析大型電磁問(wèn)題，人們提出了許多方法，如快速方法，如?多層快速多極子方法MLFMA?共軛梯度-快速傅立葉法CG-FFT?自適應(yīng)積分法AIM?pFFT新穎的基函數(shù)，如

?綜合基函數(shù)(SynthesisBasisfunction,SBF)?特征基函數(shù)(CharacteristicBF)?子全域基函數(shù)(SEDBF)混合法，如物理光學(xué)-矩量法(PO-MoM)。10/7/2023為了能用它分析大型電磁問(wèn)題，人們提出了許多方23基于MoM法的商業(yè)軟件:FEKO（MLFMA）IE3DAnsoftDesigner等

10/7/2023基于MoM法的商業(yè)軟件:10/6/202324本課程主要內(nèi)容：

?FDTD(FDM)FDM:差分格式、差分方程組的求解；FDTD：差分格式及解的穩(wěn)定性、吸收邊界條件(開(kāi)域問(wèn)題)、激勵(lì)源的設(shè)置等。ADI-FDTD：基本原理、吸收邊界條件等

?MoM

MoM的基本原理、其在靜電問(wèn)題、二維/三維散射問(wèn)題、天線(xiàn)/天線(xiàn)陣中的應(yīng)用。

10/7/2023本課程