第四講-機器人的位姿描述課件

第3章機器人運動學(xué)3.1機器人的位姿描述3.2齊次變換及運算3.3機器人運動學(xué)方程3.4機器人微分運動1第3章機器人運動學(xué)3.1機器人的位姿描述1機器人的任務(wù)2機器人的任務(wù)2第3章機器人運動學(xué)運動學(xué)研究的問題：

手在空間的位姿及運動與各個關(guān)節(jié)的位姿及運動之間的關(guān)系。其中：正問題：已知關(guān)節(jié)運動，求手的運動。逆問題：已知手的運動，求關(guān)節(jié)運動。3第3章機器人運動學(xué)運動學(xué)研究的問題：33.1機器人的位姿描述

對于機器人來說，我們最關(guān)心它的末端執(zhí)行器相對于基座的位置和姿態(tài)，簡稱為位姿。問：我們?nèi)绾斡靡唤M關(guān)節(jié)參數(shù)來描述機器人的末端執(zhí)行器相對于基座的位姿？

43.1機器人的位姿描述對于機器人來說，我們最一、機器人位姿的表示1、位置的表示坐標(biāo)系建立后，任意點p在空間的位置可以用一個3×1的位置矢量來描述；例如，點p在{A}坐標(biāo)系中表示為：

ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)ｚｙｘｏ3.1機器人的位姿描述{A}其中px，py，pz為P點的坐標(biāo)分量。5一、機器人位姿的表示ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)ｚｙｘｏ3.1機器人的位置矢量不同于一般矢量，它的大小與坐標(biāo)原點的選擇有關(guān)。6位置矢量不同于一般矢量，它的大小與坐標(biāo)原點的選擇有關(guān)。62、姿態(tài)（或稱方向）的表示我們知道：兩個剛體的相對姿態(tài)可以用附著與它們上的坐標(biāo)系的相對姿態(tài)來描述。3.1機器人的位姿描述72、姿態(tài)（或稱方向）的表示3.1機器人的位姿描述7剛體的姿態(tài)可以用附著于剛體上的坐標(biāo)系（用{B}表示）來表示；因此，剛體相對于坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)等價于{B}相對于{A}的姿態(tài)。坐標(biāo)系{B}相對于{A}的姿態(tài)表示可以用坐標(biāo)系{B}的三個基矢量xB、yB和zB在{A}中的表示給出，即[AxB

AxB

AxB]

（這里前上標(biāo)A說明：{B}的三個基矢量在A坐標(biāo)系中表示），它是一個3×3矩陣，它的每一列為{B}的基矢量在{A}中的分量表示。3.1機器人的位姿描述8剛體的姿態(tài)可以用附著于剛體上的坐標(biāo)系（用{B}表示）來表即：3.1機器人的位姿描述úúú?ùêêê?é=),cos(),cos(),cos()A,cos()A,cos(),cos()A,cos(),cos(),cos(BBBBBBBBBzzAyzAxzAzyyyxyAzxyxAxxARAB

基矢量都是單位矢量，因此，上式又可以寫成：9即：3.1機器人的位姿描述úúú?ùêêê?é=),cos3.1機器人的位姿描述

稱為坐標(biāo)系{B}相對{A}的旋轉(zhuǎn)矩陣。旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)：1、列向量兩兩正交，行向量兩兩正交。2、列向量和行向量都是單位向量。3、每一列是{B}的基矢量在{A}中的分量表示，同樣，每一行是{A}的基矢量在{B}中的分量表示。4、旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣，其行列式等于1。5、它的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣，即：

103.1機器人的位姿描述稱為坐標(biāo)系{B}相對{A}3、位姿的統(tǒng)一表示定義一組四向量矩陣[RP]，如圖。其中，表示{j}相對{i}的姿態(tài)，表示{j}的原點相對{i}的位移。我們可以將{j}坐標(biāo)系相對{i}坐標(biāo)系描述為：ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjp3.1機器人的位姿描述3×4113、位姿的統(tǒng)一表示ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjp3.13.2.1、不同直角坐標(biāo)系之間的關(guān)系

1、平移設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}具有相同的姿態(tài)，但它倆的坐標(biāo)原點不重合，若用3×1矩陣iPjorg表示坐標(biāo)系{j}的原點相對坐標(biāo)系{i}的位置，則同一點P在兩個坐標(biāo)系中的表示的關(guān)系為：3.2齊次變換及運算P123.2.1、不同直角坐標(biāo)系之間的關(guān)系3.2齊次變換及運算P2、旋轉(zhuǎn)設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}的原點重合，但它倆的姿態(tài)不同。設(shè)有一向量P，它在{j}坐標(biāo)系中的表示為jP，它在{i}中如何表示？考慮分量：即：3.2齊次變換及運算ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjp132、旋轉(zhuǎn)3.2齊次變換及運算ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏ3、另一種解釋對同一個數(shù)學(xué)表達式可以給出多種不同的解釋，前面介紹的是同一個向量在不同的坐標(biāo)系的表示之間的關(guān)系。上述數(shù)學(xué)關(guān)系也可以在同一個坐標(biāo)系中解釋為向量的“向前”移動或旋轉(zhuǎn)，或則，坐標(biāo)系“向后”的移動或旋轉(zhuǎn)。3.2齊次變換及運算143、另一種解釋3.2齊次變換及運算144、常用的旋轉(zhuǎn)變換、繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}的原點合，坐標(biāo)系{j}的坐標(biāo)軸方向相對于坐標(biāo)系{i}繞的z軸旋轉(zhuǎn)一個θ角。θ角的正負(fù)一般按右手法則確定，即由z軸的矢端看，逆時鐘為正。3.2齊次變換及運算ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjθθ154、常用的旋轉(zhuǎn)變換3.2齊次變換及運算ｚiｙiｘiｏiｚj3.2齊次變換及運算06十月2023令:163.2齊次變換及運算01八月2023令:16、繞x軸旋轉(zhuǎn)α角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

3.2齊次變換及運算ｙiｚiｘiｏiｚjｙjｘjｏjαα17、繞x軸旋轉(zhuǎn)α角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：3.2齊次變換及運算ｙi③繞y軸旋轉(zhuǎn)β角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

3.2齊次變換及運算ｘiｙiｚiｏiｚjｙjｘjｏjββ18③繞y軸旋轉(zhuǎn)β角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：3.2齊次變換及運算ｘi復(fù)合轉(zhuǎn)動:3.2齊次變換及運算19復(fù)合轉(zhuǎn)動:3.2齊次變換及運算19繞任意軸的轉(zhuǎn)動設(shè)繞k軸轉(zhuǎn)動θ角，則旋轉(zhuǎn)矩陣為：其中：3.2齊次變換及運算20繞任意軸的轉(zhuǎn)動3.2齊次變換及運算20若給定一旋轉(zhuǎn)矩陣:則可計算出：3.2齊次變換及運算21若給定一旋轉(zhuǎn)矩陣:3.2齊次變換及運算213.2齊次變換及運算5、聯(lián)合（平移+旋轉(zhuǎn)）設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}坐標(biāo)原點不重合并具有不同的姿態(tài)。則空間任一矢量在坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}之間有以下關(guān)系：

設(shè){I’}是方向與{i}平行的中間坐標(biāo)系，則：223.2齊次變換及運算5、聯(lián)合（平移+旋轉(zhuǎn)）設(shè){

若坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}之間是先旋轉(zhuǎn)變換，后平移變換，則上述關(guān)系是應(yīng)如何變化？3.2齊次變換及運算233.2齊次變換及運算23例：已知坐標(biāo)系{B}沿坐標(biāo)系{A}的x軸移動12個單位，并沿坐標(biāo)系{A}的y軸移動6個單位，繞坐標(biāo)系{A}的z軸旋轉(zhuǎn)30°，求平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣。假設(shè)某點在坐標(biāo)系{B}中的矢量為，求該點在坐標(biāo)系{A}中的表示。3.2齊次變換及運算24例：已知坐標(biāo)系{B}沿坐標(biāo)系{A}的x軸移動12個單位，并沿解：由題意可得平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣分別為：

和則：

3.2齊次變換及運算06十月202325解：由題意可得平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣分別為：3.2齊3.2齊次變換及運算3.2.2、齊次坐標(biāo)變換

為什么學(xué)習(xí)齊次坐標(biāo)表示？將坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)用一個矩陣統(tǒng)一表示。263.2齊次變換及運算3.2.2、齊次坐標(biāo)變換261、齊次坐標(biāo)的定義空間中任一點在直角坐標(biāo)系中的三個坐標(biāo)分量用表示，若有四個不同時為零的數(shù)與三個直角坐標(biāo)分量之間存在以下關(guān)系：則稱是空間該點的齊次坐標(biāo)。3.2齊次變換及運算3.2.2、齊次坐標(biāo)變換以后用到齊次坐標(biāo)時，一律默認(rèn)k=1。271、齊次坐標(biāo)的定義3.2齊次變換及運算3.2.2、齊次坐標(biāo)3.2齊次變換及運算2、齊次坐標(biāo)變換為何使用齊次坐標(biāo)？在進行聯(lián)合變換時，變換關(guān)系為：283.2齊次變換及運算2、齊次坐標(biāo)變換28將其寫成統(tǒng)一的矩陣形式則有：

3.2齊次變換及運算式中，稱為齊次坐標(biāo)變換矩陣，它是一個4×4的矩陣。

29將其寫成統(tǒng)一的矩陣形式則有：3.2齊次變換及運算式中，1）、齊次坐標(biāo)變換矩陣的意義若將齊次坐標(biāo)變換矩陣分塊，則有：意義：左上角的3×3矩陣是兩個坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，它描述了姿態(tài)關(guān)系；右上角的3×1矩陣是兩個坐標(biāo)系之間的平移變換矩陣，它描述了位置關(guān)系，所以齊次坐標(biāo)變換矩陣又稱為位姿矩陣。

3.2齊次變換及運算301）、齊次坐標(biāo)變換矩陣的意義3.2齊次變換及運算30聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關(guān)系：任何一個齊次坐標(biāo)變換矩陣均可分解為一個平移變換矩陣與一個旋轉(zhuǎn)變換矩陣的乘積，即：3.2齊次變換及運算注意：1、這里的平移和旋轉(zhuǎn)都是相對{i}坐標(biāo)系的，即絕對變換。

2、矩陣相乘的次序是不可交換的。31聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關(guān)系：3.2齊次變換及運算注意3.2齊次變換及運算

如圖所示的兩坐標(biāo)系的位姿可以有兩種理解：

1、{j}先相對{i}旋轉(zhuǎn)，再相對{i}平移，即絕對變換。

2、{j}先相對{i}平移，再相對平移后的{j}旋轉(zhuǎn)，即相對變換。{i}{j}

可見，同樣的位姿，既可以按照絕對運動來實現(xiàn)，也可以按相對運動來理解，但兩種方法的矩陣表達式是不同的。323.2齊次變換及運算如圖所示的兩坐標(biāo)系的位姿可3.2齊次變換及運算

結(jié)論：左乘和右乘原則：絕對運動變換矩陣左乘，即先做的在右邊，后做的在左邊。相對運動變換矩陣右乘，即先做的在左邊，后做的在右邊。333.2齊次變換及運算結(jié)論：左乘和右乘原則：33.2齊次變換及運算例3（3-2）：已知坐標(biāo)系{B}先繞坐標(biāo)系{A}的z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞坐標(biāo)系{A}的x軸旋轉(zhuǎn)90°，最后沿矢量P=3i-5j+9k平移得到，求：坐標(biāo)系{A}與{B}之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣MAB。解：絕對運動，左乘原則。

MAB=Trans(3,-5,9)Rot(x,90)Rot(z,90)

如果上述運動為相對運動，則應(yīng)用右乘原則。有：

MAB=Rot(z,90)Rot(x,90)Trans(3,-5,9)343.2齊次變換及運算例3（3-2）：已知坐標(biāo)系{B}先繞坐2）、齊次變換的逆變換設(shè)：，等號兩邊同乘得：可知：求齊次變換的逆可按一般矩陣求逆的方法進行，也可按幾何意義求。3.2齊次變換及運算352）、齊次變換的逆變換3.2齊次變換及運算353.2齊次變換及運算

正、逆變換間的幾何意義：順序顛倒，符號取反，如圖所示。363.2齊次變換及運算正、逆變換間的幾何意義：順齊次變換的逆變換若齊次坐標(biāo)變換矩陣為：則：

3.2齊次變換及運算37齊次變換的逆變換3.2齊次變換及運算372）、齊次變換的逆變換設(shè)：則：3.2齊