建筑制圖、工程制圖 投影的相關(guān)知識(shí)

模塊一投影圖投影的基本知識(shí)§1.1投影及其特點(diǎn)§1.2投影圖的形成及其特性§1.1投影及其特性一、影與投影二、投影的形成三、投影的分類四、各種投影法在工程中的應(yīng)用五、平行投影的特性一、影與投影二、投影的分類投影中心投影斜投影正投影平行投影中心投影平行投影正投影:投影線垂直于投影面斜投影：投影線傾斜于投影面SS∞S∞三、投影的分類1.中心投影法2.平行投影法

投影面物體投射線投射中心bcdea投影優(yōu)點(diǎn)：直觀性強(qiáng)、形象逼真——建筑方案設(shè)計(jì)圖、效果圖缺點(diǎn)：繪制繁瑣、不能反映形狀真實(shí)大小和形狀——不能作為施工圖特點(diǎn)：物體離投影中心越近，投影圖越大，反之越小2.平行投影法(1)斜投影法(2)正投影法

特點(diǎn)：由于投射線互相平行，所以投影的大小與投影中心距離投影面遠(yuǎn)近無關(guān)。

(1)斜投影法

Ho

90S投射方向abdceS∞斜投影法特點(diǎn)：有一定的立體感，作圖簡單，但不能準(zhǔn)確反映物體的形狀、尺寸，視覺上失真，只能作為工程的輔助圖紙(2)正投影法SS∞badce四、正投影的特性1.

顯實(shí)性2.積聚性3.類似性4.平行性5.定比性1．顯實(shí)性acbbadc2．相仿性cabbcad3．積聚性(a)a(c)(b)d(a)c(b)(b)EFMemf4．平行性acbdacbfed5．定比性(1)直線上兩線段長度之比等于兩線段投影的長度之比。(2)相互平行的兩直線在同一投影面上的平行投影保持平行．這種特性稱為平行性。兩平行線段的長度之比，等于它們的平行投影的長度之比，。

cabCAB(b)acbdABCD(a)土建工程中常用的幾種投影圖土建工程中常用的投影圖是:正投影圖、軸測圖、透視圖1、正投影圖2、軸測圖特點(diǎn):能反映形體的真實(shí)形狀和大小,

度量性好,作圖簡便,為工程制圖

中經(jīng)常采用的一種.特點(diǎn):具有一定的立體感和直觀性,常

作為工程上的輔助性圖.3、透視圖特點(diǎn)：圖形逼真，具有良好的立體感。常作為設(shè)計(jì)方案和展覽用的直觀圖。4、標(biāo)高投影圖102030102030H特點(diǎn)：是在一個(gè)水平投影面上標(biāo)有高度數(shù)字的正投影圖。常用來繪制地形圖和道路、水利工程等方面的平面布置圖樣。投影圖的形成及其特性問題的提出兩面投影圖三面投影圖多面投影圖一、問題的提出(b)水平投影圖CBAA,b,cH物體的一個(gè)投影不能確定其空間形狀二、兩面正投影圖兩面投影的必要性四棱臺(tái)的兩面投影圖1.兩面投影的必要性CHAABA2.四棱臺(tái)的兩面投影圖展開兩面投影的特點(diǎn)：兩面投影雖然能反映出空間物體的長度、寬度和高度，但是卻不能完全確定空間物體的形狀。三面正投影圖三面投影的必要性三面正投影圖的形成三個(gè)投影面的展開三面正投影圖的分析三面正投影圖的作圖方法1.三面投影的必要性2.三面正投影圖的形成磚的三個(gè)不同方向的正投影3.三個(gè)投影面的展開(1)三個(gè)投影面的展開(2)三面正投影的放置和標(biāo)注(3)三面正投影中投影面邊界的處理(1)三個(gè)投影面的展開

為了把空間三個(gè)投影面上所得到的投影畫在一個(gè)平面上，需將三個(gè)相互垂直的投影面展開攤平為一個(gè)平面。令V面保持不動(dòng)，H面繞OX軸向下翻轉(zhuǎn)90°，W面繞OZ軸向右翻轉(zhuǎn)90°，則它們就和V面在同一個(gè)平面上了。(2)三面正投影的放置和標(biāo)注

展開后的三面正投影，H面投影在V面投影的正下方；W面投影在V面投影的正右方。按照這種位置畫投影圖時(shí)，在圖紙上可以不標(biāo)注投影面（邊框）、投影軸和投影圖的名稱。(3)三面正投影中投影面邊界的處理T形梁

由于投影面是我們設(shè)想的，并無固定的大小邊界范圍，而投影圖與投影面的大小無關(guān)，所以作圖時(shí)也可以不畫出投影面的邊界。4.三面正投影圖的分析(1)三面正投影的度量關(guān)系(2)三面正投影的投影關(guān)系(3)三面正投影的方位關(guān)系

簡單形體的表達(dá)(1)三面正投影的度量關(guān)系高高寬長長寬(2)三面正投影的投影關(guān)系

四坡屋面房屋的三面正投影

把三個(gè)投影圖聯(lián)系起來看，就可以得出這三個(gè)投影之間的相互關(guān)系，即V面投影和H面投影“長相等”、V面投影和W面投影“高相等”、H面投影和W面投影“寬相等”。為便于作圖和記憶，概括為“長對正、高平齊、寬相等”。H-V長對正V-W高平齊H-W寬相等

三面正投影圖的作圖方法45°XX(3)三面正投影的方位關(guān)系

V面投影圖反映形體的上、下和左、右的情況，不反映前、后情況；H面投影圖反映形體的前、后和左、右的情況，不反映上、下情況；W面投影圖反映形體的上、下和前、后情況，不反映左、右情況。上前左(b)右左左右前前上下下上后后后前左右(a)下上(4)簡單形體的表達(dá)

有些簡單形體只需用兩個(gè)甚至一個(gè)投影圖就能表達(dá)清楚。如圖中的圓管可用兩個(gè)正投影表達(dá)；圓柱只需用一個(gè)正投影圖標(biāo)明直徑符號(hào)和尺寸就能表達(dá)清楚。1.2.1點(diǎn)的三面投影

1、點(diǎn)三面投影的形成

2、點(diǎn)的投影規(guī)律(特性)1.2.2點(diǎn)的空間坐標(biāo)1.2.3特殊位置的點(diǎn)1.2.4兩點(diǎn)的相對位置

1、兩點(diǎn)的相對位置

2、重影點(diǎn)及可見性判別1.2點(diǎn)、線、面的投影1.2.1點(diǎn)的投影1、點(diǎn)三面投影的形成A點(diǎn)的水平投影—

a

A點(diǎn)的正面投影—

a

A點(diǎn)的側(cè)面投影—

a

Ha

aa

VWXOZYWYHHVXZYWOa

aa

A2、點(diǎn)的投影規(guī)律(特性)分析：a

az=aay=xa

ax=a

ay=za

az=aax=y

a

a

ox（長對正）

a

a

oz（高平齊）

a

az=aax（寬相等）HVXZYWOayaxazxyza

aa

Ha

aa

VWXOZYWYHaxayazayA見書P22中的①和②[例題1.1]

已知點(diǎn)B的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)B的水平投影。XZYWYHOb

b

b1.2.2點(diǎn)的空間坐標(biāo)1、點(diǎn)的空間位置可用直角坐標(biāo)表示：X坐標(biāo)=A點(diǎn)到W面的距離Aa

Y坐標(biāo)=A點(diǎn)到V面的距離Aa

Z坐標(biāo)=A點(diǎn)到H面的距離Aa

2、書寫形式為A(X，Y，Z)。

HVXZYWOayaxazxyza

aa

A

1.2.3特殊位置的點(diǎn)

——位于投影面、投影軸以及原點(diǎn)上的點(diǎn)。

1.2.4兩點(diǎn)的相對位置X坐標(biāo)確定左右：大者在左；Y坐標(biāo)確定前后：大者在前；Z坐標(biāo)確定上下：大者在上。1、兩點(diǎn)的相對位置

2、重影點(diǎn)及可見性判別cd

(c

)dCDa(b)a

b

AB重影點(diǎn)

----若兩點(diǎn)位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合，這兩點(diǎn)稱為該投影面的重影點(diǎn)。1.2.5

點(diǎn)直觀圖的畫法

為了便于建立空間概念，加深對投影原理的理解，常常需要畫出具有立體感的直觀圖。根據(jù)點(diǎn)的投影，畫其直觀圖的方法步驟見例1.2?！纠?.2】已知A(28，0，20)、B(24，12，12)、C(24，24，12)、D(0，0，28)四點(diǎn)，試畫出其直觀圖與投影圖。

(a)直觀圖(b)投影圖1各種位置直線的三面投影2直線上點(diǎn)的投影3一般位置直線的實(shí)長及其與投影面的夾角4兩直線的相互位置關(guān)系

直線的投影直線的投影——直線上任意兩點(diǎn)同面投影的連線。直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點(diǎn)。HabDCc(d)AB直線的投影各種位置直線的三面投影1、投影面平行線

——與一個(gè)投影面平行，而與另兩個(gè)傾斜的直線。（1）水平線——與H面平行，與V、W面傾斜；（2）正平線——與V面平行，與H、W面傾斜；（3）側(cè)平線——與W面平行，與V、H面傾斜。2、投影面垂直線

——與一個(gè)投影面垂直（必與另兩個(gè)平行）的直線。（1）鉛垂線——與H面垂直，與V、W面平行；（2）正垂線——與V面垂直，與H、W面平行；（3）側(cè)垂線——與W面垂直，與V、H面平行。

3、一般位置直線

——與三個(gè)投影面都傾斜的直線。（1）水平線XZYOaa

b

a

bb

Xa

b

a

b

baOzYHYW

AB投影特性：1)ab=AB2)a

b

OX;a

b

OYW3)反映

、

角的真實(shí)大小XZYO（2）正平線aa

b

a

b

b

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：1)a

b

=AB2)ab

OX;a

b

OZ3)反映

、

角的真實(shí)大小XZYO（3）側(cè)平線XZa

b

b

baOYHYWa

aa

b

a

b

b

AB投影特性：1)a

b

=AB

2)a

b

OZ;ab

OYH3)反映

、

角的真實(shí)大小投影特性：直線在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長，并且該投影與投影軸的夾角(α、β、γ)等于直線對其他兩個(gè)投影面的傾角。直線在另外兩個(gè)投影面上的投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，但其投影長度縮短。

平行線空間位置的判別：

一斜兩直線，定是平行線；斜線在哪面，平行哪個(gè)面。OXZYb

a(b)a

a

b

Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1)ab

積聚成一點(diǎn)

2)a

b

OX;a

b

OY

3)a

b

=a

b

=AB（1）鉛垂線AB（2）正垂線OXZYba

b

a

b

a投影特性：1)a

b

積聚成一點(diǎn)

2)ab

OX;a

b

OZ

3)ab=a

b

=ABABzXa

b

b

aOYHYWa

b（3）側(cè)垂線OXZYAB投影特性：1)a

b

積聚成一點(diǎn)

2)ab

OYH;a

b

OZ

3)ab=a

b

=ABba

a

b

ab

ZXa

b

b

aOYHYWa

b投影特性：直線在所垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)。

直線在另外兩個(gè)投影面上的投影同時(shí)平行于一條相應(yīng)的投影軸且均反映實(shí)長。

垂直線空間位置的判別：一點(diǎn)兩直線，定是垂直線；點(diǎn)在哪個(gè)面，垂直哪個(gè)面。

3一般位置線

定義：與三個(gè)投影面均傾斜的直線，稱為一般位置線。

投影圖：一般位置線在H、V、W三個(gè)投影面上的投影如下圖所示。投影特性：直線的三個(gè)投影仍為直線，但不反映實(shí)長；

直線的各個(gè)投影都傾斜于投影軸一般位置線的判別：三個(gè)投影三個(gè)斜，定是一般位置線。

OXZY3、一般位置直線ABbb

a

b

aa

ZXa

b

aOYHYWa

bb

投影特性：1）

ab、

a

b

、a

b

均小于實(shí)長

2）

ab、a

b

、a

b

均傾斜于投影軸

3）不反映

、

、

實(shí)角

直線上的點(diǎn)具有兩個(gè)特性：

1、從屬性若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點(diǎn)，或判斷已知點(diǎn)是否在直線上。

2、定比性屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=a

c

:

c

b

=a

c

:

c

b

利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點(diǎn)或判斷已知點(diǎn)是否在側(cè)平線上。直線上點(diǎn)的投影ABbb

aa

XOcc

Ccb

Xa

abcc

[例題1.3]已知線段AB的投影圖，試將AB分成2：1兩段，求分點(diǎn)C的投影。[例]已知側(cè)平線AB的V、H投影及線上一點(diǎn)K的V面投影k′，試求點(diǎn)K的H投影，如圖所示。[解]圖求作直線上點(diǎn)的投影[例]已知側(cè)平線CD和點(diǎn)E的H、V面投影，試判斷點(diǎn)E是否在直線CD上，如圖所示。[解]圖判斷點(diǎn)是否在直線上

求解一般位置線段的實(shí)長及傾角是求解畫法幾何綜合題時(shí)經(jīng)常遇到的基本問題之一，而用直角三角形法求解實(shí)長、傾角又最為方便簡捷。

一般位置線段的實(shí)長及其與投影面的夾角(a)直觀圖(b)利用水平投影求實(shí)長(c)利用正面投影求實(shí)長

[例題1.4]已知線段AB的水平投影ab和點(diǎn)B的正面投影b'(如圖所示)，線段AB與H面的夾角=30°，求出線段AB的正面投影a'b'。

(a)已知條件

(b)作圖方法[例題1.5]已知線段AB的投影(如圖所示)，試定出屬于線段AB的點(diǎn)C的投影，使BC的實(shí)長等于已知長度L。

(a)已知條件

(b)作圖方法兩直線的相對位置

空間兩直線有三種不同的相對位置，即相交、平行和交叉。兩相交直線或兩平行直線都在同一平面上，所以它們都稱為共面線。兩交叉直線不在同一平面上，所以稱為異面線。

兩直線相交時(shí)，如圖所示的AB和CD，它們的交點(diǎn)E既是AB線上的一點(diǎn)，又是CD線上的一點(diǎn)。1兩相交直線

圖兩相交直線的投影[例]給出平面四邊形ABCD的V投影及其兩條邊的H投影，試完成整個(gè)H投影。[解]作圖步聚如圖。圖求四邊形的H投影

根據(jù)平行投影的特性可知，兩平行直線在同一投影面上的投影相互平行。如圖所示。

2兩平行直線

圖兩平行直線的投影[例]給出平行四邊形ABCD的兩邊AB和AC的投影，試完成ABCD的投影。[解]作圖步驟如圖所示。圖作平行四邊形的投影兩交叉直線既不平行，也不相交。雖然兩交叉直線的某一同面投影有時(shí)可能平行，但所有同面投影不可能同時(shí)都相互平行。兩交叉直線的同面投影也可能相交，但這個(gè)交點(diǎn)只不過是兩直線的一對重影點(diǎn)的重合投影。3兩交叉直線

圖兩交叉直線兩直線的夾角，其投影有下列三種情況：當(dāng)兩直線都平行于某投影面時(shí)，其夾角在該投影面上的投影反映實(shí)形。當(dāng)兩直線都不平行于某投影面時(shí)，其夾角在該投影面上的投影一般不反映實(shí)形。直角投影定理：當(dāng)兩直線中有一直線平行于某投影面時(shí)，如果夾角是直角，則它在該投影面上的投影仍然是直角。（也適用于交叉直線）如圖所示，直線AB垂直于BC，其中AB是水平線。

直角投影逆定理：空間兩直線的某一投影為直角，且其中一直線平行于該投影面，則兩直線在空間一定相互垂直。4

兩相互垂直直線

圖兩相互垂直的直線

[例]求點(diǎn)A到水平線BC的距離。

[解]

圖求一點(diǎn)到水平線的距離1平面的表示法2各種位置平面的投影特性3平面上點(diǎn)和直線的投影平面的投影平面的表示法

1、用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面有五種形式：（1）不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)；（2）一直線和直線外一點(diǎn)；（3）平行二直線；（4）相交二直線；（5）任意平面圖形。

2、平面的跡線表示法平面可以理解為是無限廣闊的，這樣的平面必然會(huì)與投影面產(chǎn)生交線。平面與投影面的交線，稱為跡線。

1、用幾何元素表示平面a

ab

c

bcb

a

ac

bcb

a

ac

bca

ab

c

bca

b

c

abcd

d

※平面圖形的投影

——組成該平面圖形的各線段同面投影的集合。

2、平面的跡線表示法

(a)直觀圖

(b)投影圖

各種位置平面的三面投影1、投影面的平行面

——與一個(gè)投影面平行（必與另兩個(gè)垂直)的平面。（1）水平面——與H面平行，與V、W面垂直；（2）正平面——與V面平行，與H、W面垂直；（3）側(cè)平面——與W面平行，與V、H面垂直；2、投影面的垂直面

——與一個(gè)投影面垂直，而與另兩個(gè)傾斜的平面。（1）鉛垂面——與H面垂直，與V、W面傾斜；（2）正垂面——與V面垂直，與H、W面傾斜；（3）側(cè)垂面——與W面垂直，與V、H面傾斜。3、一般位置平面

——與三個(gè)投影面都傾斜的平面。VWH（1）水平面投影特性：（一框兩線）

1、水平投影abc反映

ABC實(shí)形

2、a

b

c

、a

b

c

分別積聚為一條線CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

（2）正平面VWH投影特性：（一框兩線）

1、正面投影a

b

c

反映

ABC實(shí)形

2、abc

、a

b

c

分別積聚為一條線c

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA投影特性：（一框兩線）

1、側(cè)面投影a

b

c

反映

ABC實(shí)形

2、abc

、a

b

c

分別積聚為一條線（3）側(cè)平面VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

投影特性：平面在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。

平面在另外兩個(gè)投影面上的投影積聚成直線，且分別平行于相應(yīng)的投影軸。平行面空間位置的判別：

一框兩直線，定是平行面；框在哪個(gè)面，平行哪個(gè)面。

表投影面平行面

名稱水平面正平面?zhèn)绕矫嬷庇^圖投影圖VWHPPH（1）鉛垂面投影特性：（一線兩框）

1、水平投影abc積聚為一條線

2、a

b

c

、a

b

c

為

ABC的類似形

3、abc與OX、OY的夾角反映

、

角的真實(shí)大小

ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

VWHQQV（2）正垂面投影特性：（一線兩框）

1、正面投影a

b

c

積聚為一條線

2、abc、a

b

c

為

ABC的類似形

3、a

b

c

與OX、OZ的夾角反映α、

角的真實(shí)大小

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

BVWHSWS（3）側(cè)垂面投影特性：（一線兩框）

1、側(cè)面投影a

b

c

積聚為一條線

2、abc、a

b

c

為

ABC的類似形

3、a

b

c

與OZ、OY的夾角反映α、β角的真實(shí)大小

Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

投影特性：平面在所垂直的投影面上的投影，積聚成一條傾斜于投影軸的直線，且此直線與投影軸之間的夾角等于空間平面對另外兩個(gè)投影面的傾角。

平面在與它傾斜的兩個(gè)投影面上的投影為縮小了的類似線框。平行面空間位置的判別：

兩框一斜線，定是垂直面；斜線在哪面，垂直哪個(gè)面。

表投影面垂直面

名稱鉛垂面正垂面?zhèn)却姑嬷庇^圖投影圖3一般位置面

定義：與三個(gè)投影面均傾斜的平面，稱為一般位置面。

投影圖：一般位置面的三個(gè)投影都呈傾斜位置，如圖所示。

投影特性：平面的三個(gè)投影既沒有積聚性，也不反映實(shí)形，而是原平面圖形的類似形。

一般位置線的判別：三個(gè)投影三個(gè)框，定是一般位置面。

3、一般位置平面投影特性：（三框）1、abc、a

b

c

、a

b

c

均為

ABC的類似形2、不反映

、

、

的真實(shí)角度

a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB[例]試判斷下圖的立體表面上平面、直線的空間位置。[解]

平面上點(diǎn)和直線的投影1、平面上的點(diǎn)2、平面上的直線3、平面上的投影面平行線1、平面上的點(diǎn)BDF點(diǎn)在平面上的幾何條件是：點(diǎn)在平面內(nèi)的某一直線上。在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，實(shí)質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助線的問題。利用在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，可以解決三類問題：判別已知點(diǎn)、線是否屬于已知平面；完成已知平面上的點(diǎn)和直線的投影；完成多邊形的投影。[例]已知一平行四邊形ABCD和K點(diǎn)的兩面投影，試判斷K點(diǎn)是否在平面上，如圖。[解]

圖點(diǎn)和平面相對位置判斷

[例]已知三角形ABC及其上一點(diǎn)K的正面投影k′，如圖，求作K點(diǎn)的水平投影k。[解]圖作平面上點(diǎn)的投影

2、平面上的直線MNABCD

直線在平面上的幾何條件是：①通過平面上的兩點(diǎn)；②通過平面上的一點(diǎn)且平行于平面上的一條直線。3、平面上的投影面平行線

平面上投影面平行線—既在平面上又平行于投影面的直線。在一個(gè)平面上對V、H、W投影面分別有三組投影面平行線。平面上的投影面平行線既具有投影面平行線的投影性質(zhì)，又與所屬平面保持從屬關(guān)系。

屬于平面的水平線和正平線

在平面上作正平線和水平線VHP平面上的水平線和正平線PVPH在平面上作正平線和水平線dd'e'e[例題1.6]已知三角形ABC的兩面投影，如圖所示，在三角形ABC平面上取一點(diǎn)K，使K點(diǎn)在A點(diǎn)之下15mm，在A點(diǎn)之前13mm，試求K點(diǎn)的兩面投影。

(a)已知條件

(b)作圖方法[例]已知五邊形ABCDE的Ｖ面投影及一邊AB的