因式分解的應(yīng)用【競賽專題】

因式分解的應(yīng)用在一定的條件下，把一個代數(shù)式變換成另一個與它恒等的代數(shù)式稱為代數(shù)式的恒等變形，是研究代數(shù)式、方程和函數(shù)的基礎(chǔ)．因式分解是代數(shù)變形的重要工具．在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，因式分解是學(xué)習(xí)分式、一元二次方程等知識的基礎(chǔ)，現(xiàn)階段．因式分解在數(shù)值計算，代數(shù)式的化簡求值，不定方程(組)、代數(shù)等式的證明等方面有廣泛的應(yīng)用．同時，通過因式分解的訓(xùn)練和應(yīng)用，能使我們的觀察能力、運算能力、變形能力、邏輯思維能力、探究能力得以提高．因此，有人說因式分解是學(xué)好代數(shù)的基礎(chǔ)之一．【例1】若，則的值為．思路點撥恰當(dāng)處理兩個等式，分解關(guān)于的二次三項式．在信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天，信息已經(jīng)成為人類生活中最重要的因素．在軍事、政治、商業(yè)、生活等領(lǐng)域中，信息的保密工作顯得格外重要．現(xiàn)代保密技術(shù)的一個基本思想，在編制密碼的工作中，許多密碼方法，就來自于因數(shù)分解、因式分解技術(shù)的應(yīng)用．代數(shù)式求值的常用方法是：(1)代入字母的值求值；(2)通過變形，尋找字母間的關(guān)系，代入關(guān)系求值；(3)整體代入求值．【例2】已知a、b、c是一個三角形的三邊，則的值()A．恒正B．恒負(fù)C．可正可負(fù)D．非負(fù)思路點撥從變形給定的代數(shù)式入手，解題的關(guān)鍵是由式于的特點聯(lián)想到熟悉的結(jié)果，注意幾何定理的約束．【例3】計算下列各題：（1）；（2）思路點撥觀察分子、分母數(shù)字間的特點，用字母表示數(shù)，從一般情形考慮，通過分解變形，尋找復(fù)雜數(shù)值下隱含的規(guī)律．【例4】已知n是正整數(shù)，且n4—16n2+100是質(zhì)數(shù)，求n的值．思路點拔從因數(shù)分解的角度看，質(zhì)數(shù)只能分解成l和本身的乘積(也可從整除的角度看)，故對原式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆纸庾冃危墙獗纠淖钭匀坏乃悸罚纠?】(1)求方程的整數(shù)解；(2)設(shè)x、y為正整數(shù)，且，求的值．思路點拔觀察方程的特點，利用整數(shù)解這個特殊條件，運用因式分解或配方，尋找解題突破口．解題思路的獲得，一般要經(jīng)歷三個步驟：(1)從理解題意中提取有用的信息，如數(shù)式特點、圖形結(jié)構(gòu)特征等；(2)從記憶儲存中提取相關(guān)的信息，如有關(guān)公式、定理、基本模式等；(3)將上述兩組信息進(jìn)行進(jìn)行有效重組，使之成為一個舍乎邏輯的和諧結(jié)構(gòu)．不定方程(組)的基本解法有：(1)枚舉法；(2)配方法；(3)因數(shù)分解、因式分解法；(4)分離系數(shù)法．運用這些方法解不定方程時，都需靈活運用奇數(shù)偶數(shù)、質(zhì)數(shù)合數(shù)、整除等與整數(shù)相關(guān)的知識．學(xué)力訓(xùn)練1．已知x+y＝3，，那么的值為．2．方程的整數(shù)解是．(“希望杯”邀請賽試題)3．已知a、b、c、d為非負(fù)整數(shù)，且ac+bd+ad+bc=1997，則a+b+c+d＝．4．對一切大于2的正整數(shù)n，數(shù)n5一5n3+4n的量大公約數(shù)是．(四川省競賽題)5．已知724－1可被40至50之間的兩個整數(shù)整除，這兩個整數(shù)是()A．41，48B．45，47C．43，48D．4l，476，已知2x2－3xy+y2＝0(xy≠0)，則的值是()A．2，B．2C．D．－2，7．a(chǎn)、b、c是正整數(shù)，a>b，且a2-ac+bc=7，則a—c等于()A．一2B．一1C．0D．2(江蘇省競賽題)8．如果，那么的值等于()A．1999B．2001C．2003D．2005(1)求證：8l7一279—913能被45整除；(2)證明：當(dāng)n為自然數(shù)時，2(2n+1)形式的數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的平方差；（3）計算：10．若a是自然數(shù)，則a4－3a+9是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)?給出你的證明．11．已知a、b、c滿足a+b＝5，c2＝ab+b－9，則c＝．12．已知正數(shù)a、b、c滿足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c，則(a+1)(b+1)(c+1)=．13．整數(shù)a、b滿足6ab＝9a—l0b+303，則a+b=．14．已知，且，則的值等于．15．設(shè)a<b<c<d，如果x=(a＋b)(c＋d)，y=(a+c)(b+d)，z＝(a+d)(b+c)，那么x、y、z的大小關(guān)系為()A．x<y<zB．y<z<xC．z<x<yD．不能確定16．若x+y=－1，則的值等于()A．0B．－1C．1D．317．已知兩個不同的質(zhì)數(shù)p、q滿足下列關(guān)系：，，m是適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，那么的數(shù)值是()A．4004006B．3996005C．3996003D．400400418．設(shè)n為某一自然數(shù)，代入代數(shù)式n3－n計算其值時，四個學(xué)生算出了下列四個結(jié)果．其中正確的結(jié)果是()A．5814B．5841C．8415D．845l(陜西省競賽題)求證：存在無窮多個自然數(shù)k，使得n4+k不是質(zhì)數(shù)．20．某校在向“希望工程”捐救活動中，甲班的m個男生和11個女生的捐款總數(shù)與乙班的9個男生和n個女生的捐款總數(shù)相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款數(shù)相同，且都是整數(shù)，求每人的捐款數(shù)．21．已知b、c是整數(shù)，二次三項式x2+bx＋c既是x4+6x2+25的一個因式，也是x3+4x2+28x+5的一個因式，求x＝1時，x2+bx＋c的值．22．按下面規(guī)則擴充新數(shù)：已有