常用概率分布上課用

表1某地居民3年兩種疾病死亡率（1/10萬(wàn)）年份甲乙19691000100197010010197110110/8/20231第五章常用概率分布流行病學(xué)與衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)教研室10/8/20232第五章常用概率分布正態(tài)分布Poisson分布二項(xiàng)分布案例討論電腦實(shí)驗(yàn)10/8/20233第三節(jié)正態(tài)分布normaldistribution正態(tài)分布的概念和特征

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

正態(tài)分布的應(yīng)用10/8/20234一、正態(tài)分布概念和特征（一）正態(tài)分布的概念（二）正態(tài)分布的特征10/8/20235表1-1120名正常成年男子紅細(xì)胞計(jì)數(shù)值(1012/L)

5.125.134.584.314.094.414.334.584.245.454.324.844.915.145.254.894.794.905.094.645.145.464.664.204.213.735.175.795.464.494.855.284.784.324.945.214.685.094.684.915.135.263.844.174.563.526.004.054.924.874.284.465.035.695.254.565.534.584.864.974.704.284.375.334.784.755.395.274.896.184.135.224.444.134.434.025.865.125.363.864.685.485.314.534.834.113.294.184.134.063.424.684.525.193.705.514.644.924.934.903.925.044.704.543.954.404.313.774.164.585.353.715.274.525.214.374.804.753.865.69最大值=6.18,最小值=3.29,極差=2.89算術(shù)均數(shù)=4.72，標(biāo)準(zhǔn)差=0.57

10/8/20236連續(xù)型定量變量的頻數(shù)分布10/8/20237120名正常成年男性血清鐵含量(umol/L)的頻數(shù)分布

n=1000,i=1cmn趨近無(wú)窮大時(shí)10/8/20238（一）正態(tài)分布的概念身高的頻數(shù)分布圖頻數(shù)曲線頻率曲線概率分布n較大10/8/20239若指標(biāo)或變量X的頻數(shù)或頻率分布曲線對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布曲線，則稱該指標(biāo)服從正態(tài)分布。（一）正態(tài)分布的概念10/8/202310（二）正態(tài)分布的特征正態(tài)分布曲線正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)正態(tài)分布曲線下橫軸上面積有一定規(guī)律10/8/2023111.正態(tài)分布曲線

正態(tài)曲線（normalcurve):高峰位于中央，兩側(cè)逐漸下降并完全對(duì)稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交的鐘型曲線。該曲線的函數(shù)表達(dá)式f(X)稱為正態(tài)分布密度函數(shù)：P7010/8/2023122.正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)

均數(shù)μ位置參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差σ形狀（變異度）參數(shù)有了μ和σ就可把正態(tài)分布曲線確定下來(lái)。X變量值服從正態(tài)分布常表示為：X～N（μ，σ2）

10/8/202313正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)對(duì)曲線的影響μ=-2μ=0μ=2σ=1時(shí)，μ變化時(shí)曲線變化的情況10/8/202314正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)對(duì)曲線的影響

σ=1.5σ=1μ=0σ=2μ=0時(shí)，σ變化時(shí)曲線變化的情況10/8/2023153.正態(tài)分布曲線下橫軸上面積有一定規(guī)律正態(tài)分布橫軸上曲線下面積等于1正態(tài)分布曲線下面積的分布規(guī)律10/8/20231610/8/202317二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(standardnormaldistribution)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)化變換標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下的面積表正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與對(duì)數(shù)正態(tài)分布的關(guān)系。10/8/202318

正態(tài)曲線函數(shù)表達(dá)式：10/8/2023191.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換X～N(μ，σ2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換（或Ｚ變換）Z～N（0，1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布或Z分布10/8/2023202.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布特征同正態(tài)分布，它是正態(tài)分布的特例。每一條正態(tài)分布曲線經(jīng)Ｚ變換都可轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。正態(tài)分布取值與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布取值具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；曲線下的面積也具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

例如：X～N(μ，σ2）,X1→Z1,X2→Z2

，正態(tài)分布曲線下區(qū)間（X1，X2）面積等于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下區(qū)間（Z1,Z2

）的面積。10/8/2023213.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下的面積表附表1：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積表Φ(Z)列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下-∞到Z(Z≤0)的左側(cè)累計(jì)面積。橫標(biāo)目是Z值的整數(shù)和個(gè)位小數(shù)，縱標(biāo)目是Z值的十位上的小數(shù)，表格內(nèi)的數(shù)據(jù)表示的是（-∞，Z）的面積。因?yàn)閆分布是對(duì)稱的，所以只列出了一半的面積。

10/8/202322例題Φ(-1.23)=0.1093Φ(1.23)=1-0.1093=0.8907Φ(-2.09)=?Φ(2.58)=?P(-1.96<Z<

1.96)=?P(-2.58<Z<

2.58)=?若X～N(2，22）時(shí)，P(1<X<

4)=？10/8/202323附表1（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積表）應(yīng)用總結(jié)當(dāng)Z～N（0，1）時(shí)：可得Φ(Z):-∞到Z（Z≤0)的面積?？傻忙?-Z)=1-Φ(Z)（Z≤0)對(duì)于任意兩值（Z1

，Z2）范圍內(nèi)的面積

P(Z1<Z<

Z2)=Φ(Z2)-Φ(Z1

)當(dāng)X～N(μ，σ2）時(shí)對(duì)于服從正態(tài)分布任意兩值（X1

，X2）范圍內(nèi)的面積

P(X1<X<

X2)=P(Z1<Z<

Z2)10/8/202324

某市1982年110名7歲男童的身高資料，已知其身高的均數(shù)為119.95cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.72cm，試估計(jì)該地7歲男童身高在110cm以下者占該地7歲男童總數(shù)的百分比。例題（3）即該地7歲男童身高在110cm以下者，估計(jì)約占1.74%（1）計(jì)算身高為110cm所對(duì)應(yīng)的Z值：（2）查附表1，即得Z<-2.11所占百分比為1.74%10/8/2023254.正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布的關(guān)系

正態(tài)分布X～N(μ,σ2）

正態(tài)分布lnX～N(μ,σ2）

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z～N(0，1）變量變換X→lnX

偏態(tài)分布（對(duì)數(shù)正態(tài)分布）10/8/202326抗體滴度頻數(shù)分布抗體滴度XlgX例數(shù)80.9032161.2045321.5056641.806101282.10742562.40825122.7091合計(jì)-3010/8/202327正態(tài)分布μ=-2μ=0μ=2

σ=1.5σ=1μ=0σ=210/8/20232810/8/202329三、正態(tài)分布的應(yīng)用估計(jì)頻數(shù)確定醫(yī)學(xué)參考值范圍質(zhì)量控制圖正態(tài)分布是許多統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)10/8/202330確定醫(yī)學(xué)參考值范圍(medicalreferenceranges)醫(yī)學(xué)參考值范圍概念

確定醫(yī)學(xué)參考值范圍的原則

確定醫(yī)學(xué)參考值范圍的方法10/8/20233110/8/2023321.醫(yī)學(xué)參考值范圍概念參考值范圍：醫(yī)學(xué)上絕大多數(shù)正常人某項(xiàng)指標(biāo)值的變動(dòng)范圍（?？捎糜谂R床診斷，例如紅細(xì)胞計(jì)數(shù)、血壓參考值）正常人：是指排除了所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)影響因素的同質(zhì)人群。絕大多數(shù)一般指的為80％、90％、95％或99%。10/8/20233310/8/2023342.確定醫(yī)學(xué)參考值范圍的原則樣本量（例數(shù)）應(yīng)大于100.統(tǒng)一測(cè)定方法以控制系統(tǒng)誤差。判斷是否需要分組（如性別、年齡）確定。根據(jù)專業(yè)知識(shí)決定單側(cè)還是雙側(cè)。10/8/20233510/8/202336

單側(cè)下限－過(guò)低異常單側(cè)上限－過(guò)高異常雙側(cè)－過(guò)高、過(guò)低均異常單側(cè)下限異常正常單側(cè)上限異常正常異常正常雙側(cè)下限雙側(cè)上限異常例如：肺活量例如：血鉛含量例如：白細(xì)胞計(jì)數(shù)10/8/202337

正態(tài)分布法

百分位數(shù)法

3.確定醫(yī)學(xué)參考值范圍的方法10/8/202338(1)正態(tài)分布法適用條件：變量值服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布參考值范圍%雙側(cè)單側(cè)下限上限90959910/8/202339分析：資料近似服從正態(tài)分布，選用正態(tài)分布法；紅細(xì)胞數(shù)過(guò)多過(guò)少均為異常,需確定雙測(cè)參考值范圍。正態(tài)分布法雙側(cè)95％參考值范圍的公式為：

代入數(shù)據(jù)得，該地成年男子紅細(xì)胞數(shù)的95％的參考值范圍為（54.52，56.42）×1012L某地調(diào)查正常成年男子144人的紅細(xì)胞數(shù)（近似正態(tài)分布），得均數(shù)＝55.38×1012L，標(biāo)準(zhǔn)差S＝0.44×1012L。試估計(jì)該地成年男子紅細(xì)胞數(shù)的95％的參考值范圍。

例題10/8/202340

(2)百分位數(shù)法

適用條件：變量值服從偏態(tài)分布或分布不明的參考值范圍%雙側(cè)單側(cè)下限上限90P5～P95P10P9095P2.5～P97.5P5P9599P0.5～P99.5P1P9910/8/202341(3)對(duì)數(shù)正態(tài)分布法適用條件：對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料計(jì)算公式：雙側(cè)95%參考值范圍：?jiǎn)蝹?cè)95%參考值范圍：10/8/202342發(fā)汞（Zg/g)男性女性合計(jì)頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)累計(jì)頻率％1～81220208.33～3135668636.05～28326014661.07～23254819481.29～1171821288.711～1241622895.413～33623497.915～10123598.317～10123698.719～21213239100.0合計(jì)120119239--在某市測(cè)得239名正常人的發(fā)汞值，試估計(jì)其95％的參考值范圍10/8/202343幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用DistributionandApplicationofDiscreteData10/8/202344隨機(jī)變量有連續(xù)型和離散型之分，相應(yīng)的概率分布就可分為連續(xù)型分布和離散型分布。有關(guān)連續(xù)型分布如正態(tài)分布已作了介紹。主要介紹在醫(yī)學(xué)中較為常用的離散型分布，即二項(xiàng)分布、Poisson分布。10/8/202345Binomialdistribution:二項(xiàng)分布Poissondistribution:Poisson分布Content10/8/202346①、組合（Combination）:從n個(gè)元素中抽取x個(gè)元素組成一組（不考慮其順序）的組合方式個(gè)數(shù)記為(n!為的階乘,n!=1*2*……*n,0!=1)復(fù)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)概念

10/8/202347

②、牛頓二項(xiàng)展開(kāi)式：10/8/202348第一節(jié)二項(xiàng)分布binomialdistribution二項(xiàng)分布的概念二項(xiàng)分布的適用條件二項(xiàng)分布的特征二項(xiàng)分布的應(yīng)用10/8/202349例1

某種藥物治療某種非傳染性疾病有效率為0.70。今用該藥治療該疾病患者10人，如果療效只有有效和無(wú)效，則出現(xiàn)1、2、5人有效的概率分別是多少？一、二項(xiàng)分布的概念例2某地鉤蟲(chóng)感染率為13%，隨機(jī)抽查當(dāng)?shù)?5人，如果結(jié)果只有感染和未感染，則出現(xiàn)14、15人感染的可能性分別有多大？例3設(shè)某毒理試驗(yàn)采用白鼠共3只，它們有相同的死亡概率0.4。記試驗(yàn)后白鼠死亡的例數(shù)為X，分別求X＝0、1、2和3的概率。10/8/202350Bernoulli試驗(yàn)：只有兩個(gè)互斥結(jié)果A和的隨機(jī)事件。在醫(yī)學(xué)中類似如這種Bernoulli試驗(yàn)的情形較為常見(jiàn),如用某種藥物治療某種疾病，其療效分為有效或無(wú)效；在動(dòng)物的致死性試驗(yàn)中，動(dòng)物的死亡或生存；接觸某種病毒性疾病的傳播媒介后，感染或非感染等。

一、二項(xiàng)分布的概念10/8/202351一、二項(xiàng)分布的概念n次獨(dú)立、重復(fù)的Bernoulli試驗(yàn)需滿足下列條件：每次試驗(yàn)只有兩個(gè)互斥的結(jié)果獨(dú)立：指各次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果之間是無(wú)關(guān)的重復(fù)：每次試驗(yàn)的條件不變10/8/202352二項(xiàng)分布（binomialdistribution）是指在只會(huì)產(chǎn)生兩種可能結(jié)果如“陽(yáng)性”或“陰性”之一的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（常常稱為n重Bernoulli試驗(yàn)）中，當(dāng)每次試驗(yàn)的“陽(yáng)性”概率保持不變時(shí)，出現(xiàn)“陽(yáng)性”的次數(shù)X=0，1，2，…，n的一種概率分布。

一、二項(xiàng)分布的概念10/8/202353一、二項(xiàng)分布的概念如果用隨機(jī)變量Ｘ表示在n次Bernoulli試驗(yàn)中出現(xiàn)“陽(yáng)性”結(jié)果的次數(shù),則Ｘ服從二項(xiàng)分布,記為：Ｘ為離散型隨機(jī)變量，其取值為0、1、….ｋ…、ｎ.10/8/202354例1

某種藥物治療某種非傳染性疾病的有效率為0.70。今用該藥治療該疾病患者10人，則10人中發(fā)生有效的人數(shù)X～B(10，0.70)例2某地鉤蟲(chóng)感染率為13%，隨機(jī)抽查當(dāng)?shù)?5人，如果結(jié)果只有感染和未感染，則15人中發(fā)生感染的人數(shù)X～B(15，0.13)例3設(shè)某毒理試驗(yàn)采用白鼠共3只，它們有相同的死亡概率0.4。記試驗(yàn)后白鼠死亡的例數(shù)為X～B(3，0.4)一、二項(xiàng)分布的概念10/8/202355

在上面的例中，對(duì)這10名非傳染性疾病患者的治療，可看作10次獨(dú)立的重復(fù)試驗(yàn)，其療效分為有效與無(wú)效，且每一名患者治療有效的概率（π=0.70）是恒定的。這樣，10人中發(fā)生有效的人數(shù)X～B(10，0.70)。一、二項(xiàng)分布的概念10/8/202356一、二項(xiàng)分布的概念Ｘ取值為ｋ的概率的計(jì)算公式為：恒有10/8/202357例1某種藥物治療某種非傳染性疾病的有效率為0.70。今用該藥治療該疾病患者10人，試分別計(jì)算這10人中有6人、7人、8人有效的概率。本例n=10，π=0.70，X=6，7，8。0.20012一、二項(xiàng)分布的概念10/8/20235810/8/202359例3設(shè)某毒理試驗(yàn)采用白鼠共3只，它們有相同的死亡概率0.4。記試驗(yàn)后白鼠死亡的例數(shù)為X，分別求X＝0、1、2和3的概率10/8/20236010/8/202361二、二項(xiàng)分布的適用條件每次實(shí)驗(yàn)只會(huì)出現(xiàn)兩種對(duì)立的可能結(jié)果之一；每次實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)某種結(jié)果的概率固定不變，即每次實(shí)驗(yàn)條件不變；每次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立。醫(yī)學(xué)上，服從二項(xiàng)分布的現(xiàn)象：10/8/202362三、二項(xiàng)分布的特征二項(xiàng)分布的圖形：取決于兩個(gè)參數(shù)（ｎ,π)π=0.5時(shí)，π≠0.5時(shí)，中心在ｎπ處10/8/202363對(duì)于二項(xiàng)分布而言，當(dāng)π=0.5時(shí)，分布是對(duì)稱的，見(jiàn)下圖；

三、二項(xiàng)分布的特征10/8/202364當(dāng)0.5時(shí)，分布是偏態(tài)的，但隨著n的增大，分布趨于對(duì)稱。當(dāng)n時(shí)，只要π不太靠近0或1，二項(xiàng)分布則接近正態(tài)分布，見(jiàn)下圖。三、二項(xiàng)分布的特征10/8/20236510/8/202366三、二項(xiàng)分布的特征二項(xiàng)分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差若Ｘ～Ｂ（ｎ，π）Ｘ的總體均數(shù)為：μ=nπＸ的總體方差為σ2=nπ(1-π)Ｘ的總體標(biāo)準(zhǔn)差為10/8/202367三、二項(xiàng)分布的特征若以Ｐ表示陽(yáng)性率，則Ｐ的取值可為0、1/n、2/n、…、k/n、…、n/n,則樣本率Ｐ的總體均數(shù)為

樣本率Ｐ