一元二次方程課件

一元二次方程2021/12/21一元二次方程教學(xué)目標(biāo)：一元二次方程概念解一元二次方程的方法一元二次方程應(yīng)用題

2021/12/22一元二次方程一元二次方程概念

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念．2021/12/23一元二次方程一元二次方程概念只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2021/12/24一元二次方程一元二次方程特點(diǎn)（1）都只含一個(gè)未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號(hào)，是方程．2021/12/25一元二次方程一元二次方程的一般形式．

任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式這種形式叫做一元二次方程的一般形式．一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．2021/12/26一元二次方程例1．將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號(hào)、移項(xiàng)等．解：去括號(hào)，得：

40-16x-10x+4x2=18

移項(xiàng)，得：4x2-26x+22=0

其中二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)系數(shù)為-26，常數(shù)項(xiàng)為22．2021/12/27一元二次方程例2．（學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)二至三位同學(xué)上臺(tái)演練）將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng)．

分析：通過完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：去括號(hào)，得：

x2+2x+1+x2-4=1

移項(xiàng)，合并得：2x2+2x-4=0

其中：二次項(xiàng)2x2，二次項(xiàng)系數(shù)2；一次項(xiàng)2x，一次項(xiàng)系數(shù)2；常數(shù)項(xiàng)-4．2021/12/28一元二次方程應(yīng)用拓展

求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17≠0即可．證明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．2021/12/29一元二次方程本節(jié)課要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式和二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的概念及其它們的運(yùn)用．2021/12/210一元二次方程第二課時(shí)1．一元二次方程根的概念；2．根據(jù)題意判定一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根及其利用它們解決一些具體題目．2021/12/211一元二次方程一元二次方程的根．為了與以前所學(xué)的一元一次方程等只有一個(gè)解的區(qū)別，我們稱：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．2021/12/212一元二次方程直接開平方法形如的方程可以用直接開平方法解，兩邊直接開平方得或者，注意：若b<0，方程無解2021/12/213一元二次方程例題：將方程左邊配成完全平方式，得到的方程是（）A、B、

C、D、2021/12/214一元二次方程因式分解法一般步驟如下： ①將方程右邊得各項(xiàng)移到方程左邊，使方程右邊為0；②將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式相乘的形式；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，他們的解就是原方程的解。例題：解方程2021/12/215一元二次方程配方法用配方法解一元二次方程的一般步驟①二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；②移項(xiàng)：使方程左邊為二次項(xiàng)與一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；③配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一般的平方，把方程化為的形式；④用直接開平方法解變形后的方程。注意：當(dāng)時(shí)，方程無解2021/12/216一元二次方程例題：將方程配方后，原方程變形為（）A．B．

C．D．2021/12/217一元二次方程公式法一元二次方程的求根公式： （）一般步驟：①將方程化為一般形式②確定方程的各系數(shù)a，b，c，計(jì)算的值；③當(dāng)，將a，b，c以及的值代入求根公式，得出方程的根2021/12/218一元二次方程注意:①當(dāng)時(shí)，方程無解；②公式法是解一元二次方程的萬能方法；③利用的值，可以不解方程就能判斷方程根的情況；2021/12/219一元二次方程一元二次方程的根的判別式一元二次方程的根的判別式△＝當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．2021/12/220一元二次方程韋達(dá)定理（根與系數(shù)關(guān)系）（1）我們將一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之后，設(shè)它的兩個(gè)根是和，則和與方程的系數(shù)a，b，c之間有如下關(guān)系：+＝；＝可以由公式法解一元二次方程的兩個(gè)根證明。*實(shí)根與虛根。（2）如果方程x2+px+q=0的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1+x2=-P，

x1x2=q

（3）以x1，x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．2021/12/221一元二次方程一元二次方程的應(yīng)用列一元二次方程解應(yīng)用題，其步驟和二元一次方程組解應(yīng)用題類似①“審”，弄清楚已知量，未知量以及他們之間的等量關(guān)系；②“設(shè)”指設(shè)元，即設(shè)未知數(shù)，可分為直接設(shè)元和間接設(shè)元；③“列”指列方程，找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個(gè)關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，即方程。④“解”就是求出說列方程的解；⑤“答”就是書寫答案，檢驗(yàn)得出的方程解，舍去不符合實(shí)際意義的方程。2021/12/222一元二次方程2021/12/223一元二次方程1、下列式子哪些是方程？2＋3＝5

3x＋2

5x＋3＝18x－2y＝5沒有未知數(shù)不是等式含有未知數(shù)的等式叫方程含有未知數(shù)的等式叫方程不是等式方程的本質(zhì)特征是什么？2021/12/224一元二次方程2、我們學(xué)過哪些方程？一元一次方程、二元一次方程、分式方程。3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和“次”是什么意思？只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1次的整式方程叫一元一次方程。一元一次2021/12/225一元二次方程問題1、綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？2021/12/226一元二次方程問題1、綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？x（x＋10）2021/12/227一元二次方程問題1、綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？解：設(shè)長方形綠地的寬為x米，則長為（x＋10）米，可得方程：設(shè)未知數(shù)長×寬＝面積相等關(guān)系x（x＋10）=9002021/12/228一元二次方程去年底：5今年底：5＋5x＝5（1＋x）明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x＝5（1＋x）（1＋x）＝5（1＋x）2問題2、學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊(cè)，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7．2萬冊(cè)。求這兩年的年平均增長率。解：設(shè)這兩年的年平均增長率為x,根據(jù)題意得方程：5（1＋x）2＝7.2注意：每年都是在上一年的基礎(chǔ)上增長！2021/12/229一元二次方程整理得：x2＋10x－900＝0（1）5x2＋10x－2.2＝0（2）特征（1）都是整式方程（2）只含有一個(gè)未知數(shù)（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是22021/12/230一元二次方程概括：

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑篴x2+bx+c=0（a≠0)特征：方程的左邊按x的降冪排列，右邊＝02021/12/231一元二次方程練習(xí)：下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。不是是不是不是2021/12/232一元二次方程討論：為什么二次項(xiàng)系數(shù)a不能為0？假如a=0會(huì)出現(xiàn)什么情況？b、c能不能為0？ax2+bx+c=0（a≠0)2021/12/233一元二次方程ax2+bx+c=0二次項(xiàng)一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)a≠0一元二次方程的項(xiàng)和各項(xiàng)系數(shù)

2021/12/234一元二次方程練習(xí)

1、指出下列一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：方程二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)21－330－51－302021/12/235一元二次方程2、將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：3x2－1x－2=02x2－7x＋3=01x2－5x＋0=02x2－5x－11=0友情提示：某一項(xiàng)的系數(shù)包括它前面的符號(hào)。2021/12/236一元二次方程拓展練習(xí)：1、關(guān)于x的方程ax2—2bx＋a＝2x2,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？解：移項(xiàng)：ax2—2bx＋a－2x2

＝0合并同類項(xiàng)：（a－2）x2—2bx＋a＝0所以，當(dāng)a≠2時(shí)是一元二次方程；當(dāng)a＝2，b≠0時(shí)是一元一次方程；2021/12/237一元二次方程2、已知關(guān)于x的一元二次方程

(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根為2，求m。什么叫方程的根？能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的根。解：把x＝2代入原方程得：

(m－1)×22＋3×2－5m＋4＝0解這個(gè)方程得：m＝62021/12/238一元二次方程3、已知關(guān)于x的方程

是一元二次方程，求m的值。分析：因?yàn)榉匠淌且辉畏匠蹋饰粗獢?shù)x的最高次數(shù)∣m∣+1＝2，解之得，m=1或m=－1，又因二次項(xiàng)系數(shù)m＋1≠0，即m≠－1，所以m=1。溫馨提示：注意陷井二次項(xiàng)系數(shù)a≠0！2021/12/239一元二次方程若x=1是關(guān)于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，則6m+2n=______．

2021/12/240一元二次方程

已知關(guān)于x的方程（k2－1）x2＋（k＋1）x－2＝0．

（1）當(dāng)k取何值時(shí)，此方程為一元一次方程？并求出它的根；

（2）當(dāng)k取何值時(shí)，此方程為一元二次方程？寫出這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．2021/12/241一元二次方程二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)2021/12/242一元二次方程知識(shí)回顧1、二次函數(shù)的一般形式是怎樣的？y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)2.下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)？①⑤④③②2021/12/243一元二次方程探究新知你會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=x2的圖象嗎?觀察y=x2的表達(dá)式,選擇適當(dāng)x值,并計(jì)算相應(yīng)的y值,完成下表：x…-3-2-1012

3…y=x2……94110492021/12/244一元二次方程xy0-4-3-2-11234108642-2描點(diǎn),連線y=x2?2021/12/245一元二次方程2021/12/246一元二次方程二次函數(shù)y=x2的圖象形如物體拋射時(shí)所經(jīng)過的路線,我們把它叫做拋物線這條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,y軸就是它的對(duì)稱軸.

對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).2021/12/247一元二次方程

議一議(2)圖象與x軸有交點(diǎn)嗎？如果有,交點(diǎn)坐標(biāo)是什么?(4)當(dāng)x<0時(shí),隨著x的值增大,y的值如何變化？當(dāng)x>0呢？(3)當(dāng)x取什么值時(shí),y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的？觀察圖象,回答問題：xyO(1)圖象是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是,它的對(duì)稱軸是什么?請(qǐng)你找出幾對(duì)對(duì)稱點(diǎn)？2021/12/248一元二次方程當(dāng)x<0(在對(duì)稱軸的左側(cè))時(shí),y隨著x的增大而減小.

當(dāng)x>0(在對(duì)稱軸的右側(cè))時(shí),y隨著x的增大而增大.

當(dāng)x=-2時(shí)，y=4當(dāng)x=-1時(shí)，y=1當(dāng)x=1時(shí)，y=1當(dāng)x=2時(shí)，y=4拋物線y=x2在x軸的上方(除頂點(diǎn)外),頂點(diǎn)是它的最低點(diǎn),開口向上,并且向上無限伸展;當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y的值最小,最小值是0.2021/12/249一元二次方程(1)二次函數(shù)y=-x2的圖象是什么形狀？

做一做你能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出猜想嗎？(2)先想一想，然后作出它的圖象．(3)它與二次函數(shù)y=x2的圖象有什么關(guān)系？x

y=-x2

x…-3-2-10123…y=-x2

x

…-9-4-10-1-4-9…在學(xué)中做—在做中學(xué)2021/12/250一元二次方程做一做xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描點(diǎn),連線y=-x2?2021/12/251一元二次方程當(dāng)x<0(在對(duì)稱軸的左側(cè))時(shí),y隨著x的增大而增大.

當(dāng)x>0(在對(duì)稱軸的右側(cè))時(shí),y隨著x的增大而減小.

y

當(dāng)x=-2時(shí),y=-4

當(dāng)x=-1時(shí),y=-1當(dāng)x=1時(shí),y=-1當(dāng)x=2時(shí),y=-4拋物線y=-x2在x軸的下方(除頂點(diǎn)外),頂點(diǎn)是它的最高點(diǎn),開口向下,并且向下無限伸展;當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y的值最大,最大值是0.2021/12/252一元二次方程1.拋物線y=ax2的頂點(diǎn)是原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸.2.當(dāng)a>0時(shí)，拋物線y=ax2在x軸的上方(除頂點(diǎn)外),它的開口向上,并且向上無限伸展；當(dāng)a<0時(shí),拋物線y=ax2在x軸的下方(除頂點(diǎn)外),它的開口向下,并且向下無限伸展.3.當(dāng)a>0時(shí),在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減??；在對(duì)稱軸右側(cè),y