分離常數(shù)參數(shù)法

方法四分離(常數(shù))參數(shù)法練高考一、X, _、【2016高考北京文數(shù)】函數(shù)f(x)=—-(X>2)的最大值為 .X—1【答案】21 一一，，…【解析】f(x)=1+——<1+1=2，即最大值為2.X一1tanBcostanBcosA【2016高考山東理數(shù)】在^ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2(tanA+tanB)= +cosB(I)證明：a+b=2c；(II)求cosC的最小值.【答案】(I)見解析；(II)1【解析】由題意知2——+—-=——-—+——-—-i^COSCOS-DyCOSj1!COS-DCOSCOS.D化簡得2(siuJcos5+sin5cosji)=sinJ+sinB；艮=sin+sinB.因為4+E+C=近所以，siu(/+月)=sin(^—C)=sinC.從而sin^+51115=25111(7.由正弦定理得“+Ad?(n(n)由(i)知c=a+b

~2~所以cosC=2ab(a+b)2a2+b2——z- 所以cosC=2ab2ab當且僅當a=b時，等號成立.故cosC的最小值為1.【2016高考天津理數(shù)】已知｛?！故歉黜椌鶠檎龜?shù)的等差數(shù)列，公差為d,對任意的neN*,b〃是九和氣門的等差中項.設(shè)七=b\—b：neN*，求證：｛cj是等差數(shù)列；設(shè)。廣d,T=tn(-1)nb2,neN*，求證：咒T<-d_.k=1 k=1k【答案】(I)詳見解析(II)詳見解析【解析】⑴證明：由題意得玲=時蚓有=入虬4因此。阱1_=2京(療阱衛(wèi)一。阱1)=翌'，所以｛&｝是等差數(shù)列■⑴)證明：孔=(*+A罰+(*+昉)+(7打+盅)=2t/(0j+療耳 F')=2d——(昭? =2c12fi^fi+1)所以#￥=冰名^訐去(￡—雨)=訐(1—不)〈訐.【2016高考江蘇卷】已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a。1,b。1).設(shè)a=2,b=2.求方程f(x)=2的根；若對任意xeR，不等式f(2x)>mf(x)—6恒成立，求實數(shù)m的最大值；若0<a<1,b>1，函數(shù)g(x)=f(x)—2有且只有1個零點，求ab的值?！敬鸢浮?1)①0②4(2)1【解析】(1)因為a=2,b=-，所以f(x)=2x+2-x.

①方程f(x)=2，即2x+2-x=2，亦即(2x)2—2X2x+1=0,所以(2x-1)2=0，于是2x=1,解得x=0.②由條件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.因為f(2x)>mf(x)一6對于xgA恒成立，且f(x)>0,(f(x))2+4所以m<—————對于xgA恒成立.f(x)而(而(f(x))"4=f(x)―而 f(x) J f(x)>十(x)?亮=…f^=4,所以m<4，故實數(shù)m的最大值為4.(2)因為函數(shù)g⑴=f⑴-2只有1個零點，而g(0)=f(0)—2=a0+b0-2=0，所以0是函數(shù)g(x)的唯一零點.因為g'(x)=axIna+bxInb，又由0<a<1,b>1知Ina<0,lnb>0，lna、所以g'(x)=0有唯一解x=log(-).0bInba令h(x)=g'(x)，則h'(x)=(axIna+bxInb)'=ax(Ina)2+bx(Inb)，從而對任意xGA，h■(x)>0，所以g'(x)=h(x)是(-8,+8)上的單調(diào)增函數(shù)，于是當xG(-8,x0)，g'(x)<g'(x0)=0；當x已氣,+8)時，g'(x)>g'(x0)=0.因而函數(shù)g(x)在(-8,x0)上是單調(diào)減函數(shù)，在(x0,+8)上是單調(diào)增函數(shù).下證x=0.0TOC\o"1-5"\h\zx 「 x若x<0，則x<^0<0，于是g(^0)<g(0)=0，0 02 2x又g(log2)=ay2+bi%2-2>ay2-2=0，且函數(shù)g(x)在以^和log2為端點的閉區(qū)間上的圖象不a 2 axx間斷，所以在~2和log2之間存在g(x)的零點，記為x1.因為0<a<1，所以log2<0，又~2<0，所以x1<0與“0是函數(shù)g(x)的唯一零點”矛盾.若x0〉0，同理可得，在X0和log.2之間存在g(x)的非0的零點，矛盾.因此，X0=0.Ina,于是一 =1，故lna+lnb=0，所以ab=1.Inb5.【2016高考新課標3理數(shù)】設(shè)函數(shù)f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1)，其中a〉0，記If(x)l的最大值為A.求f'(x)；求A；證明If'(X)l<2A.Ic… ，12-3a,0<a<—5…、- 、…、 , … a2+6a+11 , 【答案】(I)f'(x)=-2asin2x-(a-1)sinx；(II)A=\—— ，了vav1；(m)見解析.8a53a-2,a>1【解析】f'(x)=-2asin2x一(a一1)sinx.當論1時,|f0t)|=gsitL2x+〈由—1Xb§x+1)|<2(^—1)=3/7-2=/(0}TOC\o"1-5"\h\z因此，A=3a-2. 4分當。<白<1日寸，將/'(工)變形為工+(々一1)3$工一1.令= +S—3—1,則/是|或圳在［―L1］上的最大值，或—0=4君①=勿一2』且當『=守時，氛「廁得根小值，概小值為歡乎)=一竺也—1=Sa 8口解得*一：(舍去)，八!.當0va<5時，g(t)在(一1,1)內(nèi)無極值點，Ig(-1)1=a，lg(1)l=2-3a，Ig(-1)lvlg(1)l，所以A=2-3a.1 1—a當2vav1時，由g(-1)—g(1)=2(1—a)〉0，知g(-1)>g(1)>g(^—).5 4a.J-a (1-a)(1+7a) 1—a、、a2+6a+1又lg( )l-1g(T)l= ——>0，所以A=lg(—)l=—-——.4a 8a 4a 8a

2-3a,0<a<-5TOC\o"1-5"\h\za2+6a+11 .綜上， ,<a<1.綜上，8a 53a一2,a>1(III)由(1)得If'(x)1=1-2asin2x-(a-1)sinxl<2a+1a-11.當0<a<5時，If'(x)l<1+a<2-4a<2(2-3a)=2A.1 , .a1 3,當一<a<1時，A=—+—+—>1，所以If'(x)l<1+a<2A.5 88a4當a>1時，If'(x)l<3a-1<6a-4=2A，所以If'(x)l<2A.練模擬 - 一./兀兀、 1.【2018屆河北省邯鄲市高三1月檢測】已知關(guān)于x的不等式mcosx>2-x—x2【解析】m—x2【解析】m> 最大值，因為當xg數(shù)m的取值范圍為()A.B,+8)A.B,+8)B.(3,+8)C.[2,+8)D.(2,+8)【答案】C八兀)/0"八兀)/0"時(2)COS2x2—x2 -2xcosx+(2一x2)sinx )'=cosxX 一一 ?一 ，令y=xcosx—sinx,y=cosx—xsinxX 一一 ?一 ，令y=xcosx—sinx,yTOC\o"1-5"\h\z,2—x2 2—x2 2—x2 2—0因此( )'v0,由因為 為偶函數(shù)，所以 最大值為一-=2,m>2,選C.cosx cosx cosx cos0一、 r _八兀2.設(shè)函數(shù)f(x)=xcosx+x，xgR.若當0<。<時，不等式f(msin9)+f(1—m)>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(cosxZ1 1八A.G-,1] B.G-,1) C.[1,+8) D.(-8,1]【答案】D【解析】易得f(x)是奇函數(shù)，fXx)=3x2+1>0nf(x)在r上是增函數(shù)，又

f(msin0)>f(m-1)nmsin0>m-1nm< —,0<sin0<1n —nm<1,故選D.1-sin0 1-sin03.若函數(shù)f3)=—a-2x與g(x)=4x+a+1的圖象有交點，則a的取值范圍是( )A.a<2-A.a<2-2.巨或a>2+2^2B.a<-1D.a<2-2^2【答案】D令t=2x+1(t>0)，4x+1【解析】由-a-2x=4x令t=2x+1(t>0)，2x+112—2t+2 2入則-a= =t+—-2>2\：2~2,.?.a<2-2^2，故選D.t t4.在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(mgR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為 【答案】(x-1)2+y2=2.【解析】由題意得：半徑等于冬竺=j妃牛=,，1+ <代+業(yè)^<技，當且僅當m=1時取等號，、：m2+1 m2+1 '；m2+1vm2+1所以半徑最大為r=、耳，所求圓為(x-1)2+y2=2.5.【2018屆高三訓練題】已知正實數(shù)x，y滿足等式x+y+8=xy，若對任意滿足條件的x，y，不等式(x+y)2-a(x+y)+1^0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】(一8，虧］8【解析】、正實數(shù)x，y滿足x+y+8=xy(x+y-8)(x+y+4)>0x+y+4>0.Lx+y—8>0???x+y>8(當且僅當x=y=4時，取等號)v對任意滿足條件的正實數(shù)x，y都有不等式

(x+y)2-a(x+y)+1>0???a<(x+y)+-^對任意滿足條件的正實數(shù)x,y恒成立，x+y令t=x+y(t>8)，則f(t)=t+-在(8,+8)上為單調(diào)增函數(shù)，t1一165?f(t)=t+->8+—=—(當且僅當t=8即x=y=4時，取等號)t8 8.<65..a<—8?實數(shù)a的取值范圍是(-8,，^8故答案為(-8,658練原創(chuàng)I-x,x<0,1.已知函數(shù)f(x)=〈 若關(guān)于x的方程f(x)=a(x+1)有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范x,x〉0.圍是( )1 小、A.頃1 小、A.頃+8) B.(0,+8)C.(0,1)1D.(哼分段函數(shù)和過定點的直線在如上圖位置時恰好相切，此時有兩個交點，若直線斜率變大，則只存在一個交點，若直線斜率減小，則會出現(xiàn)三個交點，如下圖所示:

計算切線斜率，假設(shè)直線與y=yfx的切點為(x0,y0)計算切線斜率，假設(shè)直線與y=yfx的切點為(x0,y0)，對函數(shù)求導可得y'=2『，那么可以得到如下三個y=a(x+1)0 0y0講后兩個方程代入到第一個方程中，得到\,：'F=~^(x+1)，即2x0知％一解得X0—1，從而斜率a1 1 _1.—-天，根據(jù)分析可知，若要有三個交點，則斜率ae(0,p2誨0 2 2故選D.2.若曲線C:y=ax2(a>0)與曲線C:y=ex存在公共切線，則a的取值范圍為()2「、「、ne20,e2e20,e2A.—,+3B.—C. ,+3D.—L8JV8」4L什 >V41【答案】C【解析】根據(jù)題意函數(shù)與函數(shù)在(0,+3)上有公共點ex令ax2=ex得：a=—，

x2得：x=2，，x2設(shè)f(x)=竺則f(x)=工2色，由f'(得：x=2，，x2當0<x<2時，f(x)<0，函數(shù)f(x)=竺在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù)，x2當x>2時，f(x)>0，函數(shù)f(x)=竺在區(qū)間(2,+3)上是增函數(shù)，x2.?.當x=2時，函數(shù)f(x)=三在g”)上有最小值f(2)專，.?.。號，故選C.3.已知函數(shù)f(x)=x-m4X+5當1<x<9時，f(x)>1有解，則實數(shù)m的取值范圍為(13A.m13A.m<—3【答案】BB.m<5C.m<4D.m<5【解析】令t=5,則1<t<3時，g(t)=12-mt+5>1有解，即m<t+ 4u=t+-在［1,2］是減函數(shù)，在［2,3］是增函數(shù)，u=t+-e［4,5］，所以只需m 4u=t+-在［1,2］是減函數(shù)，在［2,3］是增函數(shù)，u=t+-e［4,5］，所以只需m<5，故選B.tt4.方程log1（a—2了）=