近世代數(shù)練習(xí)題(附答案)

《近世代數(shù)》練習(xí)題（附答案）一.選擇題1.設(shè)是實(shí)數(shù)集,則對(duì)任意的,代數(shù)運(yùn)算(C)(A)適合結(jié)合律但不適合交換律(B)適合交換律但不適合結(jié)合律(C)不適合結(jié)合律和交換律(D)適合結(jié)合律和交換律2.在群中,,的階為12,則的階為(B)(A)12(B)3(C)4(D)63．在7次對(duì)稱群中和,則等于（A）(A)(B)(C)(D)4．在一個(gè)無零因子環(huán)中,,對(duì)加法來說,有(C)(A)的階的階(B)的階的階(C)的階的階(D)的階的階5．設(shè)為整環(huán)中素元,則下列正確的是(D)(A)為零元(B)為單位(C)有真因子(D)僅有平凡因子6.假定是與間的一一映射,,則和分別為(D)(A),(B)無意義,(C)無意義,無意義(D),無意義7.在群中,,則方程和分別有唯一解為(B)(A),(B),(C),(D),8.設(shè)是正整數(shù)集,則對(duì)任意的,下面“o”是代數(shù)運(yùn)算的是(B)(A)(B)(C)(D)9.設(shè)是實(shí)數(shù)集,代數(shù)運(yùn)算是普通加法，下列映射是的自同構(gòu)的是(D)(A)(B)(C)(D)10.在偶數(shù)階群中階等于2的元數(shù)為(A)(A)奇數(shù)(B)偶數(shù)(C)1(D)不可確定11．在5次對(duì)稱群中元和的乘積是（D）(A)(B)(C)(D)12．若群的階為48,的真子群的階不可能為(C)(A)12(B)16(C)18(D)2413．群中元的階為24中，那么的循環(huán)子群的階為(C)(A)3(B)4(C)8(D)914.在一個(gè)環(huán)里如果有一個(gè)消去律成立，那么下面不正確的是(B)(A)另一個(gè)消去律也成立(B)中非零元都有逆元(C)是無零因子環(huán)(D)中非零元對(duì)加法的階都一樣15．假定是一個(gè)域，則一元多項(xiàng)式環(huán)一定是(A)(A)歐式環(huán)(B)除環(huán)(C)域(D)無法確定16．設(shè)為唯一分解環(huán)中單位,是中任意元，則下列正確的是(B)(A)也是單位(B)互為相伴元(C)都是的真因子(D)有唯一分解17．一個(gè)30個(gè)元的域的特征可能是(A)(A)5(B)6(C)10(D)1518．假定域與同態(tài),則是（C）(A)域(B)整環(huán)(C)環(huán)(D)除環(huán)19．若是一個(gè)唯一分解環(huán),且和(其中都為素元),則下列說法正確的是(D)(A)與互為相伴元(B)與互為相伴元和與互為相伴元(C)與互為相伴元(D)與互為相伴元或與互為相伴元20．假定和是整環(huán)的兩個(gè)主理想,若,則(A)(A)是的相伴元(B)與互素(C)是的真因子(D)21．{所有整數(shù)},令:,當(dāng)是偶數(shù);,當(dāng)是奇數(shù).則為(B)(A)單射變換(B)滿射變換(C)一一變換(D)不是變換22．若,且的階為有限整數(shù),則下列說法正確的是(A)(A)與模的剩余類加群同構(gòu)(B)的階可能無限(C)元中沒有相同元(D)與整數(shù)加群同構(gòu)23．若是一個(gè)特征為有限整數(shù)的無零因子環(huán)，且，則（D）(A)(B)，其中為素?cái)?shù)(C)存在中元的階為無限整數(shù)(D)對(duì)乘法成立兩個(gè)消去律24.設(shè)是有理數(shù)集,則對(duì)任意的,下列“o”是代數(shù)運(yùn)算的是(C)(A)(B)(C)(D)25.在群中,,則方程的唯一解為(D)(A)(B)(C)(D)26．在6次對(duì)稱群中的階是（A）(A)5(B)24(C)12(D)627．除環(huán)有理想(C)(A)4個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)無窮個(gè)28．假定是一個(gè)域，則一元多項(xiàng)式環(huán)一定是(B)(A)除環(huán)(B)歐式環(huán)(C)域(D)無法確定29．若是一個(gè)域,不正確的是(B)(A)是交換除環(huán)(B)對(duì)乘法作成群(C)無零因子(D)中不等于零的元都有逆元30．若是主理想環(huán),是中素元,且則(C)主理想不是的最大理想(B)沒有唯一分解(C)若,有或(D)不是域31.設(shè)是實(shí)數(shù)集,則對(duì)任意的,代數(shù)運(yùn)算(C)(A)適合結(jié)合律但不適合交換律(B)適合交換律但不適合結(jié)合律(C)不適合結(jié)合律和交換律(D)適合結(jié)合律和交換律32.設(shè)是有理數(shù)集,則對(duì)任意的,下列“o”是代數(shù)運(yùn)算的是(A)(A)(B)(C)(D)33.在群中,,則方程的唯一解為(D)(A)(B)(C)(D)34．在5次對(duì)稱群中的階是（B）(A)2(B)3(C)4(D)535．除環(huán)有理想(C)(A)4個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)無窮個(gè)36．假定是一個(gè)整環(huán)，則一元多項(xiàng)式環(huán)一定是(A)(A)整環(huán)(B)除環(huán)(C)域(D)無法確定37.在16階循環(huán)群中,循環(huán)子群的階為(D)(A)6(B)3(C)4(D)838．一個(gè)有8個(gè)元的域的特征是(A)(A)2(B)4(C)6(D)839．設(shè)為整環(huán)中素元,則下列正確的是(D)(A)為零元(B)為單位(C)有真因子(D)僅有平凡因子40．若群的階為48,的子群的階為16，則在中的指數(shù)為(C)(A)1(B)2(C)3(D)441.設(shè)是實(shí)數(shù)集,則對(duì)任意的,代數(shù)運(yùn)算(C)(A)適合結(jié)合律但不適合交換律(B)適合交換律但不適合結(jié)合律(C)不適合結(jié)合律和交換律(D)適合結(jié)合律和交換律42.設(shè)是有理數(shù)集,則對(duì)任意的,下列“o”是代數(shù)運(yùn)算的是(C)(A)(B)(C)(D)43.在群中,,則方程的唯一解為(C)(A)(B)(C)(D)44．在5次對(duì)稱群中的階是（B）(A)2(B)3(C)4(D)545．除環(huán)有理想(C)(A)4個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)無窮個(gè)46．假定是一個(gè)整環(huán)，則一元多項(xiàng)式環(huán)一定是(A)(A)整環(huán)(B)除環(huán)(C)域(D)無法確定47.在16階循環(huán)群中,循環(huán)子群的階為(D)(A)6(B)3(C)4(D)848．一個(gè)有8個(gè)元的域的特征是()(A)2(B)4(C)6(D)849．設(shè)為整環(huán)中素元,則下列正確的是(D)(A)為零元(B)為單位(C)有真因子(D)僅有平凡因子50．若群的階為48,的子群的階為16，則在中的指數(shù)為(C)(A)1(B)2(C)3(D)4二．填空題1.設(shè)是集合的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,那么滿足反射律、對(duì)稱律、推移律.2.若為群,,則.3.循環(huán)群的階是50，則它的子群的階是10.4.群的中心是的一個(gè)不變子群.5.次對(duì)稱群的階為.6.假定,那么,.7.假定和同態(tài),和同態(tài),則和也同態(tài).8.在群中,,則方程有唯一解為.9.設(shè)集合的元數(shù)為3，那么共有子集8個(gè)，的元間的關(guān)系共有512個(gè).10.若為群,方程的唯一解為.11.一個(gè)有限非可換群至少含有______6______個(gè)元素.12.設(shè)是集合的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,那么滿足自反律、對(duì)稱律、推移律.13.若為群,,則.14.5次對(duì)稱群的階為120.15.若是環(huán)與的同態(tài)滿射,則同態(tài)核中元都是中單位元的逆象，且同態(tài)核是的一個(gè)理想.16.設(shè)是有單位元的交換環(huán)的一個(gè)最大理想，那么剩余類環(huán)是一個(gè)域.17.在整數(shù)環(huán)中，理想等于主理想（1）.18.設(shè)為模9的剩余類環(huán)，那么的負(fù)元為，逆元為【2】.19.設(shè)是17階群，則的生成元有16個(gè).20.除環(huán)的最大理想是零理想.21.設(shè)是模7的剩余類環(huán)，在多項(xiàng)式環(huán)中22.設(shè)為模10的剩余類環(huán)，那么的負(fù)元為，逆元為.23.在整數(shù)環(huán)中，主理想當(dāng)且僅當(dāng)是的相伴元.24.設(shè),.那么由決定的的分類為.25.設(shè)是一個(gè)唯一分解環(huán)，那么多項(xiàng)式環(huán)是唯一分解環(huán).26.設(shè)為模9的剩余類環(huán)，那么的負(fù)元為，逆元為.27.設(shè)是一個(gè)唯一分解環(huán)，那么的元的兩個(gè)最大公因子和相差一個(gè)相伴元.28.若群的元的階是15，的階是8,且,則和的階分別是15和120.29.在一個(gè)特征為的無零因子的交換環(huán)中,有為素?cái)?shù),且.30.若群的階為60,的子群的階為15，則在中的指數(shù)為4.31.若是環(huán)與的同態(tài)滿射,則對(duì)，它們的象分別為,則元的象為.32.設(shè)是環(huán)的一個(gè)最大理想，那么包含的的理想僅有和.33.在整數(shù)環(huán)中，理想等于主理想（7）.34.在唯一分解環(huán)中，若素元能整除，則必能整除中一個(gè)元.35.若是由集合的全體一一變換所作成,則是一個(gè)變換群.36.若是有單位元的交換環(huán),則的主理想中的元有形式為.37.是有單位元的交換環(huán),是的子環(huán)上的未定元,則僅當(dāng)時(shí),才有成立.38.是一個(gè)有單位元的環(huán),且，則在中必有一個(gè)元沒有逆元,它是0;必有兩個(gè)元有逆元,它們是1和-1.39．唯一分解環(huán)中的元和的兩個(gè)最大公因子和只能差一個(gè)相伴元.40.設(shè),.那么{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}.41.若群和集合同態(tài),則是群,并且有中元和的象為中元和.42.在無零因子環(huán)中,如果對(duì)有,那么必有或.43.群的元的階是，若是整數(shù)和的最大公因子，則的階是.44.在一個(gè)域中,若有,則.45.設(shè)是環(huán)與的同態(tài)滿射,則的核是環(huán)的一個(gè)理想.46.在整環(huán)中必有一個(gè)元沒有逆元,它是0;必有兩個(gè)元有逆元,它們是1和-1.47.整環(huán)的元是的多項(xiàng)式的根,當(dāng)且僅當(dāng)能被整除.三．判斷題1．設(shè),則能找到到的一一映射.(×)2．無限群中的元的階都無限.(×)3．除環(huán)的最大理想是單位理想.(×)4．整環(huán)中的素元只能有有限個(gè)數(shù)的因子.（×）5．任何歐式環(huán)一定是主理想環(huán)，也一定是唯一分解環(huán).(√)6．為不等于零的實(shí)數(shù)的全體,那么普通除法適合結(jié)合律.(×)7．有限群中存在某個(gè)元的階無限.(×)8．假定域與同態(tài),則也是域.(×)9．整環(huán)中的單位同素元的乘積還是一個(gè)素元.(√)10．除環(huán)除了零理想和單位理想還有其它理想.(×)四．解答題用循環(huán)置換的方法寫出三次對(duì)稱群的全體元.說明集合是的子群,并且寫出的所有左陪集.解:,(2分)因?yàn)槭怯邢藜?由,,,知是封閉的,所以是的子群.(4分)的全體左陪集為(6分):,,.求模6的剩余類環(huán)的所有子環(huán).解：因?yàn)槭Ｓ囝惌h(huán)是循環(huán)加群，所有子環(huán)為主理想：.3.設(shè)是整數(shù)集,規(guī)定中元間的關(guān)系如下:說明是中元間的等價(jià)關(guān)系,并且寫出模6的所有剩余類.解：因?yàn)閷?duì)任意的整數(shù)有（1）反射律：與模6同余;(2分)（2）對(duì)稱律：若與模6同余，那么必有與模6同余;(2分)（3）推移律：若與模6同余，與模6同余，那么必有與模6同余,所以是中元間的等價(jià)關(guān)系.(2分)模6的全體剩余類為(6分):,,,,,.4.求出階是32的循環(huán)群的所有子群.這些子群是否都是不變子群.解:因?yàn)闉檠h(huán)群,所以為交換群,又因?yàn)?2的所有正整數(shù)因子為：1，2，4，8，16,36.(2分)所以循環(huán)群的所有子群為循環(huán)子群：，,，，.(8分)并且這些子群都是不變子群.(10分)5.設(shè)是整數(shù)環(huán)，請(qǐng)把的理想和的元列出來.解:是整數(shù)環(huán)，理想和如下：(2分)(4分)(6分)(10分)6.設(shè)是模8的剩余類環(huán)，在一元多項(xiàng)式環(huán)中把計(jì)算出來，并求的導(dǎo)數(shù).解:是模8的剩余類環(huán)(1)(1分)(3分)(5分)(2)多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)為(2分).7.找出對(duì)稱群的所有子群.解:因?yàn)椋淖尤旱碾A只可能為：1，2，3，6.所以它的所有子群為：1階子群；(1分)2階子群，，；(4分)3階子群；(5分)6階子群。(6分)8.設(shè)是模9的剩余類環(huán)，在一元多項(xiàng)式環(huán)中計(jì)算，并求的導(dǎo)數(shù).解:是模9的剩余類環(huán)(1)(1分)(2分)(3分)(2)多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)為(5分).(6分)9.取對(duì)稱群的元和,計(jì)算，.解:，，,(或)(3分),（或）(6分)10.驗(yàn)證剩余類環(huán)的子集是它的一個(gè)子環(huán)，并指出的單位元是？解:用加法運(yùn)算表和乘法運(yùn)算表驗(yàn)證即可(2分)(2分)可見[4]是S的單位元.(6分)12.求剩余類加群的所有生成元和所有子群.解：因?yàn)槭Ｓ囝惣尤菏茄h(huán)加群，所以它的所有生成元為：；(3分)所有子群為：.(6分)13.設(shè)是整數(shù)環(huán)，則、是的怎樣一個(gè)理想？是的理想嗎？為什么？解：因?yàn)檎麛?shù)環(huán)是主理想環(huán)，所以(2分)(3分)同時(shí)，不是的理想，(4分)因?yàn)槿绻惺堑睦硐耄敲?；；，矛?(6分)14.驗(yàn)證對(duì)稱群的子集是它的一個(gè)子環(huán).解:用乘法表驗(yàn)證即可(6分)15.設(shè)是有理數(shù)域，假如是中不可約多項(xiàng)式的根，試把寫成的多項(xiàng)式.解:因?yàn)槭侵胁豢杉s多項(xiàng)式的根，所以，(1分)(2分)(3分)(6分)16.用循環(huán)置換的方法寫出5次對(duì)稱群的元和,并計(jì)算，，.解:，(2分)，(4分),(或)(6分),（或）(8分).（或）(10分)17.求出模48的剩余類加群的所有子群.這些子群是否是不變子群?解:因?yàn)闉檠h(huán)群,所以為交換群,又因?yàn)?8的所有正整數(shù)因子為：1，2，3，4，6，8，12，16,24，48.(2分)所以模48的剩余類加群的所有子群為循環(huán)子群：([1]),([2]),([3]),([4]),([6]),([8]),([12]),([16]),([24]),([0]).(8分)并且這些子群都是不變子群.(10分)18.設(shè)是模9的剩余類環(huán)，在一元多項(xiàng)式環(huán)中(1)計(jì)算(2)求(1分)(3分)(5分)(2)多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)為.(2分)五．證明題設(shè)群中元的階為，試證：當(dāng)且僅當(dāng).證明:必要性:設(shè),其中為整數(shù),,(1分)那么有,(3分)由的階為知,即.(5分)充分性:由可設(shè),其中為整數(shù),(6分)那么有,(8分)證明:設(shè)是群的指數(shù)為2的子群,那么一定是不變子群.證明:由題意知的兩個(gè)不同的左陪集為,的兩個(gè)不同的右陪集為.(2分)顯然,(4分)若對(duì)任意的,有;若對(duì)任意的,有,所以是不變子群.(8分)證明:一個(gè)至少有兩個(gè)元而且沒有零因子的有限環(huán)是一個(gè)除環(huán).證明:設(shè)是一個(gè)沒有零因子的有限環(huán)且至少有兩個(gè)元,由除環(huán)定義知僅需證明是一個(gè)乘群。事實(shí)上對(duì)乘法滿足:(2分)(1)對(duì)乘法是封閉的,這是因?yàn)閷?duì)任意,有,所以,;(2)因?yàn)閷?duì)乘法滿足結(jié)合律,所以對(duì)乘法也滿足結(jié)合律;(3)因?yàn)槭且粋€(gè)無零因子環(huán),所以對(duì)乘法成立兩個(gè)消去律,對(duì)乘法也滿足消去律.(8分)由有限群定義知是一個(gè)乘群,所以是一個(gè)除環(huán).4.假定,是集合的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算,并且適合結(jié)合律,對(duì)適合兩個(gè)分配律.證明: 證明:左邊(4分)右邊(4分)所以左邊=右邊.5.證明:一個(gè)循環(huán)置換的階是.證明:設(shè)為一循環(huán)置換,則在中經(jīng)過次置換乘法有:,,…,.所以,同時(shí)可知當(dāng)時(shí)，，即循環(huán)置換的階是.6.假定和是環(huán)的兩個(gè)理想.證明:也是的理想.證明:(1)對(duì)任意的,必有和;再由和是環(huán)的理想知和,所以.(5分)(2)對(duì)任意的,必有且，再由和是環(huán)的理想可知對(duì)任意的,有和，所以.(5分)綜上可知也是的理想.7.證明:由所有復(fù)數(shù)(,是整數(shù))作成的集合對(duì)于普通加法和乘法來說是一個(gè)環(huán).證明:(1)對(duì)加法滿足(6分):①對(duì)加法是閉的,這是因?yàn)閷?duì)中任意的元和總有,并且和還是整數(shù);②有零元,這是因?yàn)閷?duì)中任意的元總有;③對(duì)中任意的元,總有中元使得,因此即為的負(fù)元.(2)對(duì)乘法是閉的,這是因?yàn)閷?duì)中任意的元和總有,并且和還是整數(shù).(2分)再因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)加法滿足結(jié)合律,交換律;復(fù)數(shù)對(duì)乘法滿足結(jié)合律;復(fù)數(shù)的乘法對(duì)加法滿足兩個(gè)分配律,所以對(duì)加法滿足結(jié)合律,交換律;對(duì)乘法滿足結(jié)合律;的乘法對(duì)加法滿足兩個(gè)分配律.所以對(duì)于普通加法和乘法來說是一個(gè)環(huán).(2分)8.若群的每一個(gè)元都適合方程，那么是交換群.證明:任取,可知，，,(2分)所以(4分)(7分)所以是交換群.9.證明:一個(gè)循環(huán)群必是一個(gè)交換群.證明:設(shè)循環(huán)群，任取，則有(2分)(7分)所以循環(huán)群是交換群.(8分)10.假定是環(huán)的兩個(gè)理想，證明也是的一個(gè)理想.證明:任取，，因?yàn)槭黔h(huán)的兩個(gè)理想，(1分)所以(3分)(5分)所以和(7分)故也是的一個(gè)理想.(8分)11.證明：任意整環(huán)中零元0和任意單位都沒有唯一分解.證明:用反證法：設(shè)零元有唯一分解，其中都是素元。因?yàn)檎h(huán)是無零因子環(huán)，所以必有某，這矛盾于是素元.(4分)設(shè)單位有唯一分解，其中都是素元。因?yàn)閱挝挥心嬖?，即有逆元，是一個(gè)單位，這矛盾于是素元.(8分)12.證明：有限群中元的階都有限.證明:設(shè)是一個(gè)有限群，對(duì)任意的，則元(2分)都是中元，且其中一定有相同元.(4分)不妨設(shè)，則有，即.(6分)由且為有限正整數(shù)得的階為有限.13.證明:階為素?cái)?shù)的群一定是循環(huán)群,且群中任意元都可作為群的生成元.證明:設(shè)是一個(gè)階為素?cái)?shù)的有限群,則對(duì)任意的,的循環(huán)子群有個(gè)不同的元,(4分)所以為循環(huán)群,且群中任意元都可作為群的生成元.14.假定是偶數(shù)環(huán)，證明是的一個(gè)理想.證明:是偶數(shù)環(huán),,顯然,所以是的非空子集.(2分)同時(shí)滿足:(1)對(duì)任意,有,其中,則有;(5分)(2)對(duì)任意,,有,其中,則有和.(8分)由理想子環(huán)的定義知是的一個(gè)理想.(9分)15.假定是集合的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算,證明:若適合交換律,則;若適合交換律和結(jié)合律,則.證明:(1)若適合交換律,則;(4分)(2)若適合交換律和結(jié)合律,則(4分).16.證明:和是群的兩個(gè)不變子群,則交集還是群不變子群.證明:(1)對(duì)任意的,必有和;再由和是群的不變子群知和,所以.(4分)(2)對(duì)任意的,必有且，再由和是群的不變子群可知對(duì)任意的,有和，所以.(4分)綜上可知也是群的不變子群。17.證明:交換群中所有有限階的元素做成的一個(gè)子群.證明:設(shè)中所有有限階的元素，因?yàn)閱挝辉碾A為1，所以是的非空子集.(2分)任取,設(shè)的階為，的階為，因?yàn)槭墙粨Q群，所以，.(5分)同時(shí)，，.所以是的子群.(8分)18.設(shè)是循環(huán)群，并且與同態(tài)，證明也是一個(gè)循環(huán)群.證明:設(shè),是到的同態(tài)滿射,且.(2分)任取,必存在某,使得.(4分)同時(shí),因?yàn)?所以.(7分)所以也是一個(gè)循環(huán)群.(8分)19.證明:一個(gè)環(huán)的中心是一個(gè)交換子環(huán).證明:設(shè)是環(huán)的中心,顯然,是環(huán)的非空子集.(1分)任取,則對(duì)任意有,,(4分),(7分)而顯然,所以環(huán)的中心是一個(gè)交換子環(huán).(8分)20.證明：在整環(huán)中,單位和素元的乘積也是一個(gè)素元.證明：顯然單位和素元,所以.