上海市徐匯中學2024屆數(shù)學高一上期末考試試題含解析

上海市徐匯中學2024屆數(shù)學高一上期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調遞增的函數(shù)是（）A. B.C. D.2．已知弧長為的弧所對的圓心角為，則該弧所在的扇形面積為（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（）A.， B.，C.， D.，4．命題“，”的否定為（）A.， B.，C， D.，5．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍．實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構成比例．得到如下餅圖：則下面結論中不正確的是A.新農(nóng)村建設后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半6．點A，B，C，D在同一個球的球面上，，，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個球的表面積為A. B.C. D.7．已知扇形周長為，圓心角為，則扇形面積為（）A. B.C. D.8．下列區(qū)間中，函數(shù)單調遞增的區(qū)間是（）A. B.C. D.9．數(shù)向左平移個單位，再向上平移1個單位后與的圖象重合，則A.為奇函數(shù) B.的最大值為1C.的一個對稱中心為 D.的一條對稱軸為10．圓與圓有（）條公切線A.0 B.2C.3 D.4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設函數(shù)，若其定義域內不存在實數(shù)，使得，則的取值范圍是______12．函數(shù)的值域為_____________13．已知冪函數(shù)（為常數(shù)）的圖像經(jīng)過點，則__________14．設角的頂點與坐標原點重合，始變與軸的非負半軸重合，若角的終邊上一點的坐標為，則的值為__________15．聲強級L（單位：dB）由公式給出，其中I為聲強（單位：W/m2）.聲強級為60dB的聲強是聲強級為30dB的聲強的______倍.16．已知，，則的最大值為______；若，，且，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（1）若，成立，求實數(shù)的取值范圍;（2）證明：有且只有一個零點，且18．計算：（1）94（2）lg5+lg2?19．給出以下三個條件：①點和為函數(shù)圖象的兩個相鄰的對稱中心，且；②；③直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸從這三個條件中任選兩個條件將下面題目補充完整，并根據(jù)要求解題已知函數(shù)．滿足條件________與________（1）求函數(shù)的解析式；（2）把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得到的函數(shù)圖象上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉肀叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象．當時，函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍20．已知集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范圍.21．某校食堂需定期購買大米已知該食堂每天需用大米噸，每噸大米的價格為6000元，大米的保管費用單位：元與購買天數(shù)單位：天的關系為，每次購買大米需支付其他固定費用900元該食堂多少天購買一次大米，才能使平均每天所支付的總費用最少？若提供糧食的公司規(guī)定：當一次性購買大米不少于21噸時，其價格可享受8折優(yōu)惠即原價的，該食堂是否應考慮接受此優(yōu)惠條件？請說明理由

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】根據(jù)常見函數(shù)的單調性和奇偶性可直接判斷出答案.【題目詳解】是奇函數(shù)，不滿足題意；的定義域為，是非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；是非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞增，滿足題意；故選：D2、B【解題分析】先求得扇形的半徑，由此求得扇形面積.【題目詳解】依題意，扇形的半徑為，所以扇形面積為.故選：B3、D【解題分析】先根據(jù)題意建立不等式組，再求解出，最后給出選項即可.【題目詳解】解：因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，解得，則故選：D.【題目點撥】本題考查利用分段函數(shù)的單調性求參數(shù)范圍，是基礎題4、B【解題分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題可得.【題目詳解】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，可得命題“，”的否定為“，”故選：B.5、A【解題分析】首先設出新農(nóng)村建設前的經(jīng)濟收入為M，根據(jù)題意，得到新農(nóng)村建設后的經(jīng)濟收入為2M，之后從圖中各項收入所占的比例，得到其對應的收入是多少，從而可以比較其大小，并且得到其相應的關系，從而得出正確的選項.【題目詳解】設新農(nóng)村建設前的收入為M，而新農(nóng)村建設后的收入為2M，則新農(nóng)村建設前種植收入為0.6M，而新農(nóng)村建設后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A項不正確；新農(nóng)村建設前其他收入我0.04M，新農(nóng)村建設后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B項正確；新農(nóng)村建設前，養(yǎng)殖收入為0.3M，新農(nóng)村建設后為0.6M，所以增加了一倍，所以C項正確；新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的綜合占經(jīng)濟收入的，所以超過了經(jīng)濟收入的一半，所以D正確；故選A.點睛：該題考查的是有關新農(nóng)村建設前后的經(jīng)濟收入的構成比例的餅形圖，要會從圖中讀出相應的信息即可得結果.6、D【解題分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，結合三角形面積及四面積體積的最值，判斷頂點D的位置；然后利用勾股定理及球中的線段關系即可求得球的半徑，進而求得球的面積【題目詳解】根據(jù)題意，畫出示意圖如下圖所示因為，所以三角形ABC為直角三角形，面積為，其所在圓面的小圓圓心在斜邊AC的中點處，設該小圓的圓心為Q因為三角形ABC的面積是定值，所以當四面體ABCD體積取得最大值時，高取得最大值即當DQ⊥平面ABC時體積最大所以所以設球心為O，球的半徑為R，則即解方程得所以球的表面積為所以選D【題目點撥】本題考查了空間幾何體的外接球面積的求法，主要根據(jù)題意，正確畫出圖形并判斷點的位置，屬于難題7、B【解題分析】周長為則，代入扇形弧長公式解得，代入扇形面積公式即可得解.【題目詳解】由題意知，代入方程解得，所以故選：B【題目點撥】本題考查扇形的弧長、面積公式，屬于基礎題.8、A【解題分析】解不等式，利用賦值法可得出結論.【題目詳解】因為函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，對于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個單調遞增區(qū)間為，則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個單調遞增區(qū)間為，且，，CD選項均不滿足條件.故選：A.【題目點撥】方法點睛：求較為復雜的三角函數(shù)的單調區(qū)間時，首先化簡成形式，再求的單調區(qū)間，只需把看作一個整體代入的相應單調區(qū)間內即可，注意要先把化為正數(shù)9、D【解題分析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律得到的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象，得出結論【題目詳解】向左平移個單位，再向上平移1個單位后，可得的圖象，在根據(jù)所得圖象和的圖象重合，故，顯然，是非奇非偶函數(shù)，且它的最大值為2，故排除A、B；當時，，故不是對稱點；當時，為最大值，故一條對稱軸為，故D正確，故選D．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題．利用y=sinx的對稱中心為求解，令，求得x.10、B【解題分析】由題意可知圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為半徑為∵兩圓的圓心距∴∴兩圓相交，則共有2條公切線故選B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】按的取值范圍分類討論.【題目詳解】當時，定義域，，滿足要求；當時，定義域，取，，時，，不滿足要求；當時，定義域，，，滿足要求；當時，定義域，取，，時，，不滿足要求；綜上：故答案為：【題目點撥】關鍵點睛：由參數(shù)變化引起的分類討論，可根據(jù)題設按參數(shù)在不同區(qū)間，對應函數(shù)的變化，找到參數(shù)的取值范圍.12、【解題分析】利用二倍角余弦公式可得令，結合二次函數(shù)的圖象與性質得到結果.【題目詳解】由題意得：令，則∵在上單調遞減，∴的值域為：故答案為：【題目點撥】本題給出含有三角函數(shù)式的“類二次”函數(shù)，求函數(shù)的值域．著重考查了三角函數(shù)的最值和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域等知識，屬于中檔題13、3【解題分析】設，依題意有，故.14、【解題分析】15、1000【解題分析】根據(jù)已知公式，應用指對數(shù)的關系及運算性質求60dB、30dB對應的聲強，即可得結果.【題目詳解】由題設，，可得，，可得，∴聲強級為60dB的聲強是聲強級為30dB的聲強的倍.故答案為：1000.16、①.14②.10【解題分析】根據(jù)數(shù)量積的運算性質，計算的平方即可求出最大值，兩邊平方，可得，計算的平方即可求解.【題目詳解】，當且僅當同向時等號成立，所以，即的最大值為14，由兩邊平方可得：，所以，所以，即.故答案為：14；10【題目點撥】本題主要考查了數(shù)量積的運算性質，數(shù)量積的定義，考查了運算能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析.【解題分析】（1）把已知條件轉化成大于在上的最小值即可解決；（2）先求導函數(shù)，判斷出函數(shù)的單調區(qū)間，圖像走勢，再判斷函數(shù)零點，隱零點問題重在轉化.【小問1詳解】由得，則在上單調遞增，在上最小值為若，成立，則必有由，得故實數(shù)的取值范圍為【小問2詳解】在上單調遞增，且恒成立，最小正周期，在上最小值為由此可知在恒為正值，沒有零點.下面看在上的零點情況.，，則即在單調遞增，，故上有唯一零點.綜上可知，在上有且只有一個零點.令，則，令，則即在上單調遞減，故有18、（1）12【解題分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則逐一進行化簡；（2）根據(jù)對數(shù)冪的運算法則進行化簡；【題目詳解】解：（1）原式=3（2）原式=lg【題目點撥】指數(shù)冪運算的一般原則（1）有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算；（2）先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)；（3）底數(shù)是負數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)；（4）若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質來解答.19、（1）條件選擇見解析，；（2）.【解題分析】（1）選①②，根據(jù)條件可求得函數(shù)的最小正周期，可求得的值，由②結合的取值范圍，可求得的值，即可得出函數(shù)的解析式；選①③，根據(jù)條件可求得函數(shù)的最小正周期，可求得的值，由③結合的取值范圍，可求得的值，即可得出函數(shù)的解析式；選②③，分別由②、③可得出關于的表達式，兩式作差可得出關于的等式，結合的取值范圍可求得的值，再由②結合的取值范圍，可求得的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2）利用三角函數(shù)圖象變換求得，由，得，分析可知函數(shù)，的值域為，由此可得出關于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：設函數(shù)的最小正周期為，若選擇①②，由①知，由②知，即，則，解得，又因為，所以，所以若選擇①③，由①知，，由③知，解得又因為，所以，所以若選擇②③，由②知，即，所以，由③知兩式相減得，所以，因為，所以當時，，又因為，所以，所以【小問2詳解】解：將向右平移個單位后得再把得到的函數(shù)圖像上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)，由，得因為的值域為，所以，的值域為所以，即．所以實數(shù)的取值范圍為20、（1）；（2）.【解題分析】（1）先由得，再由并集的概念，即可得出結果；（2）根據(jù)，分別討論，兩種情況，即可得出結果.【題目詳解】（1）若，則，又，所以；（2）因為，若，則，即；若，只需，解得，綜上，取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查求集合的并集，考查由集合的包含關系求參數(shù)，屬于常考題型.21、（1）10天購買一次大米；（2）見解析.【解題分析】根據(jù)條件建立函數(shù)關系，