基于馬爾可夫網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)論的電梯交通流建模與優(yōu)化

基于馬爾可夫網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)論的電梯交通流建模與優(yōu)化

隨著社會(huì)的發(fā)展和高層建筑的增多，人們對(duì)簡(jiǎn)單的自動(dòng)駕駛并不滿意，但要求電梯系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)最高的服務(wù)、節(jié)能等指標(biāo)。這就要求建筑設(shè)計(jì)中合理配置電梯，使電梯服務(wù)系統(tǒng)達(dá)到最佳的性能優(yōu)于另一方面。優(yōu)化電梯配置的關(guān)鍵是合理有效地分析電梯服務(wù)系統(tǒng)的交通流。因此，正確的建模和分析電梯交通具有極其重要的現(xiàn)實(shí)意義?，F(xiàn)實(shí)中電梯交通中乘客的到達(dá)和乘客的運(yùn)送都是復(fù)雜的隨機(jī)過(guò)程,因此電梯服務(wù)系統(tǒng)是一個(gè)極為典型的隨機(jī)系統(tǒng).而傳統(tǒng)的電梯交通分析只是利用概率論對(duì)電梯交通作粗略的運(yùn)算,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的電梯配置顯然不能滿足要求.針對(duì)傳統(tǒng)電梯交通分析的這種不足,筆者提出利用馬爾可夫網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)論的方法來(lái)對(duì)電梯服務(wù)系統(tǒng)的交通進(jìn)行分析建模,進(jìn)而較精確地求出系統(tǒng)的平均等待隊(duì)長(zhǎng)、等待時(shí)間的概率分布和電梯的平均占用數(shù)等交通參數(shù),為電梯的有效配置和調(diào)度提供了有利的依據(jù).1電梯排排系統(tǒng)的建模對(duì)于100層左右的超高建筑,一般在第30和60層設(shè)置兩個(gè)空中大廳,從而將大樓分為低層區(qū)、中層區(qū)和高層區(qū)3部分.為減少乘客的候梯時(shí)間和乘梯時(shí)間,需要在大廳和兩個(gè)空中大廳之間設(shè)置快速直達(dá)電梯.一個(gè)電梯服務(wù)系統(tǒng)若能有效地應(yīng)付上行高峰期的交通需求,那么,該電梯系統(tǒng)也就可以滿足其他交通模式的需求,如下行高峰及隨機(jī)層間交通需求.因此筆者主要針對(duì)上高峰交通進(jìn)行建模,下高峰及層間交通的建模和求解與上高峰類似.在上高峰情況下,可將整個(gè)電梯服務(wù)系統(tǒng)中的乘客分為3類,即從大廳進(jìn)入電梯服務(wù)系統(tǒng),其目的樓層分別是1～29層、30～59或60～100層.對(duì)于上高峰交通,利用馬爾可夫理論和排隊(duì)理論,并采用Jackson開(kāi)網(wǎng)絡(luò)將電梯服務(wù)系統(tǒng)建模為圖1所示的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò).圖中1代表建筑物大廳的電梯排隊(duì)系統(tǒng);2和3分別代表設(shè)在建筑物第30層和第60層的空中大廳的電梯排隊(duì)系統(tǒng).建立模型的過(guò)程中需要作4項(xiàng)假設(shè).1乘客到達(dá)間隔服務(wù)參數(shù)圖1所示的電梯排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)中,各服務(wù)站的乘客到達(dá)過(guò)程為泊松過(guò)程,即到達(dá)時(shí)間間隔為相互獨(dú)立的負(fù)指數(shù)分布.設(shè)第i臺(tái)服務(wù)站的乘客到達(dá)率為λi,第j個(gè)乘客的到達(dá)時(shí)刻為τj,則第i臺(tái)服務(wù)站的乘客到達(dá)間隔服從參數(shù)為λi的負(fù)指數(shù)分布,即A(t)=Ρ{(τj+1-τj)＜t}={1-e1-λitt≥00t＜0(1)2電梯服務(wù)時(shí)間電梯服務(wù)時(shí)間為相互獨(dú)立的負(fù)指數(shù)分布.電梯服務(wù)時(shí)間是指電梯從門廳出發(fā)再返回門廳所需的時(shí)間tRTT.第i臺(tái)服務(wù)站的電梯服務(wù)率為μi,則第i臺(tái)服務(wù)站的電梯服務(wù)時(shí)間tRTT服從參數(shù)μi的負(fù)指數(shù)分布,即Ρ{tRΤΤ＜t}={1-e-μitt≥00t＜0(2)μi與tRTT的關(guān)系為μi=1/ERTT=1/TRTT(3)式中TRTT為電梯往返1次運(yùn)行時(shí)間的期望值.3假設(shè)3排隊(duì)規(guī)則為先到先服務(wù)的等待制.4ci個(gè)收費(fèi)站的服務(wù)及網(wǎng)絡(luò)排他性nm每個(gè)服務(wù)站的電梯排隊(duì)系統(tǒng)中只有1個(gè)等待隊(duì)列.該網(wǎng)絡(luò)模型包括M(M=3)個(gè)服務(wù)站,其中第i個(gè)服務(wù)站包括Li(i=1,2,3)個(gè)獨(dú)立同分布服務(wù)臺(tái),每個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布,服務(wù)率為μi(i=1,2,3),第i個(gè)服務(wù)站的外部輸入是參數(shù)為μi(i=1,2,3)的泊松流,各服務(wù)站的外部輸入與其服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立.在第i個(gè)服務(wù)站接受服務(wù)后的顧客立即以概率pij沿路徑轉(zhuǎn)移到第j個(gè)服務(wù)站排隊(duì)等候服務(wù),而以概率qi=1-Μ∑j=1pij離開(kāi)系統(tǒng).網(wǎng)絡(luò)隊(duì)列的狀態(tài)可用1個(gè)M階的向量n=(n1,n2,…,nM)表示,其中ni表示在服務(wù)站i的隊(duì)長(zhǎng),而且Μ∑i=1ni=∞;n表示電梯排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在某一時(shí)刻各服務(wù)站隊(duì)長(zhǎng)的行向量.服務(wù)站i的總達(dá)到率Λi(外部到達(dá)率λi及從其他服務(wù)站到達(dá)服務(wù)站i的全部到達(dá)率之和)滿足方程(4),即Λi=λi+Μ∑j=1j≠ipjiΛj(4)根據(jù)上述分析,對(duì)于圖1所示的電梯網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)系統(tǒng),在上高峰交通情況下,任一服務(wù)站的電梯服務(wù)系統(tǒng)可描述為,輸入的到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布M,服務(wù)時(shí)間也服從負(fù)指數(shù)分布M,Li臺(tái)電梯,先到先服務(wù)的等待制.因此,高層建筑電梯服務(wù)系統(tǒng)可以建模為由M/M/Li(i=1,2,3)3個(gè)隊(duì)列組成的Jackson開(kāi)網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)模型,其中3個(gè)隊(duì)列是相互獨(dú)立的.2電梯排隊(duì)模型的求解在建立了圖1所示的電梯隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)模型后,為了利用該模型進(jìn)行有效的電梯配置,就需要對(duì)該模型進(jìn)行分析求解.經(jīng)證明該模型具有乘積型解,即網(wǎng)絡(luò)的平穩(wěn)分布等于各服務(wù)站平穩(wěn)分布的乘積.因此,當(dāng)該網(wǎng)絡(luò)中服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布時(shí),每個(gè)服務(wù)站的電梯排隊(duì)系統(tǒng)可看作是1個(gè)單獨(dú)存在的M/M/Li(i=1,2,3)隊(duì)列.這樣就可以將對(duì)整個(gè)電梯網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)模型的求解轉(zhuǎn)化為求解各服務(wù)站之間乘客轉(zhuǎn)移矩陣P和求解單個(gè)服務(wù)站電梯排隊(duì)系統(tǒng).2.1下高峰期乘客轉(zhuǎn)移矩陣該網(wǎng)絡(luò)模型中,乘客在各服務(wù)站之間相互轉(zhuǎn)移的轉(zhuǎn)移矩陣可表示為Ρ=[p11p12p13p21p22p23p31p32p33〗(5)在上高峰情況下,乘客從辦公大樓的門廳進(jìn)入前往各服務(wù)站.此時(shí)p2i和p3i(i=1,2,3)均為零.故上高峰情況下,各服務(wù)站之間乘客轉(zhuǎn)移矩陣為Ρ=[p11p12p13000000〗(6)2.2第i個(gè)電梯服務(wù)強(qiáng)度對(duì)于電梯排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)中的單個(gè)服務(wù)站,由式(1)得到負(fù)指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為a(t)=dA(t)dt={λie-λitt≥00t＜0(λi＞0)(7)令ρi=λiμi?式中:ρi為第i個(gè)服務(wù)站中單部電梯服務(wù)強(qiáng)度;ρiLi為第i個(gè)服務(wù)站排隊(duì)系統(tǒng)的電梯服務(wù)強(qiáng)度,表示系統(tǒng)輸入與系統(tǒng)服務(wù)能力的相對(duì)關(guān)系.根據(jù)文獻(xiàn)可知,當(dāng)ρiLi<1.0時(shí),M/M/Li(i=1,2,3)系統(tǒng)為1個(gè)正常返態(tài)的Markov過(guò)程,系統(tǒng)存在平穩(wěn)解.由此,可求出系統(tǒng)各參數(shù),這些參數(shù)將用于最終的電梯配置中.各參數(shù)的求解方法將分別予以闡述.2.2.1系統(tǒng)的平穩(wěn)分布該系統(tǒng)中λij=λi(λij代表第i個(gè)服務(wù)站中第j個(gè)服務(wù)臺(tái)的外部輸入),所以由生滅過(guò)程結(jié)論求得該排隊(duì)系統(tǒng)的平穩(wěn)分布為pni=∏j=0ni-1λlj∏j=0niμijp0=1λi(λiμi)nip0={1ni!(λiμi)nip00≤ni＜Li1Li!Lini-Li(λiμi)nip0ni≥Li(9)由正常化方程∑ni=0∞pni=1,可得1=[∑ni=0Li-11ni!(λiμi)ni+∑ni=Li∞1Li!Lini-Li(λiμi)ni〗p0=[∑ni=0Li-11ni!(λiμi)ni+1Li!(λiμi)Li∑ni=Li∞(λiLiμi)ni-Li〗p0(10)令k=ni-Li,并將式(8)代入式(10),可得p0=[∑ni=0Li-1ρinini!+ρiLiLi！∑k=0∞ρiLik〗-1=[∑ni=0Li-1ρinini!+ρiLiLi!(1-ρiLi)〗-1(11)則當(dāng)ρiLi<1時(shí),系統(tǒng)的平穩(wěn)分布為pni={ρinini!p00≤ni＜LiLiLiρiLiniLi!p0=pLiρiLini-Lini≥Li(12)2.2.2系統(tǒng)平均等待船長(zhǎng)niq對(duì)于M/M/Li(i=1,2,3)排隊(duì)系統(tǒng),當(dāng)ni<Li時(shí),Niq=0,求Niq只需用到ni≥Li時(shí)的pni,故有2.2.3系統(tǒng)客車的平均載荷為l2.2.4基于nis的接受服務(wù)計(jì)算Νi=Νiq+Lˉi=Νiq+λiμi=E[Νiq]+E[Νis]=pLiρiLi1(1-ρiLi)2+LiρiLi(15)式中Nis為接受服務(wù)的乘客數(shù).2.2.5基本參數(shù)為i+tli1-i輸出流系統(tǒng)假設(shè)Tiq代表統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)下任一時(shí)刻到達(dá)系統(tǒng)的乘客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待時(shí)間.對(duì)于M/M/Li(i=1,2,3)排隊(duì)系統(tǒng),由于到達(dá)的乘客可以全部進(jìn)入系統(tǒng)接受服務(wù),因此有效到達(dá)率等于乘客到達(dá)率λi.在平衡狀態(tài)下,任意時(shí)刻新到乘客看到系統(tǒng)中有ni個(gè)乘客的概率為pni,得Wiq(0)=Ρ{Τiq=0}=Ρ{Νi≤Li-1}=∑ni=0Li-1pni=1-∑k=Li∞pni=1-pLi1-ρiLi(16)Wiq(t)=Ρ{Τiq≤t}=Ρ{Τiq=0}+Ρ{0＜Τiq≤t}=Wiq(0)+∑ni=Li∞pniΡ{0＜Τiq≤t|Νi=ni}(17)當(dāng)系統(tǒng)中乘客數(shù)Ni=ni≥Li時(shí),所有服務(wù)臺(tái)均忙,因而輸出過(guò)程是Li個(gè)參數(shù)為μi的泊松過(guò)程的迭加,即此時(shí)系統(tǒng)的乘客輸出流是參數(shù)為L(zhǎng)iμi的泊松過(guò)程.由于當(dāng)Ni=ni≥Li時(shí),恰有Li個(gè)乘客正在接受服務(wù),故有ni-Li個(gè)乘客正排隊(duì)等待服務(wù),新到乘客必需等到ni-Li+1個(gè)乘客服務(wù)完成后才能進(jìn)入服務(wù).由于該條件等待時(shí)間是ni-Li+1階參數(shù)為L(zhǎng)iμi的愛(ài)爾朗分布的隨機(jī)變量,所以,當(dāng)t>0時(shí),有Wiq(t)=Ρ{Τiq≤t}=Wiq(0)+∑ni=Li∞pni?Ρ{0＜Τiq≤t|Νi=ni}=Wiq(0)+∑ni=Li∞LiLiρiLiniLi!p0?∫0+tLiμi(Liμix)ni-Li(ni-Li)!e-Liμixdx=Wiq(0)+pLi∫0+te-(1-ρiLi)Liμixd(Liμix)=1-pLi1-ρiLie-(1-ρiLi)Liμit(18)由式(11)和式(12)求出系統(tǒng)的平穩(wěn)分布后,即可利用式(13)～(18)求得電梯系統(tǒng)的平均等待隊(duì)長(zhǎng)、乘客期望值、等待時(shí)間的概率分布和電梯的平均占用數(shù).這些交通參數(shù)正是進(jìn)行有效的電梯配置所必需的.3基于電梯網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)模型的電梯配置效果進(jìn)行電梯配置時(shí),首先根據(jù)式(4)和式(5)獲得上高峰情況下乘客的總到達(dá)率Λi和乘客轉(zhuǎn)移概率矩陣P.在此基礎(chǔ)上對(duì)各服務(wù)站進(jìn)行電梯配置計(jì)算,主要是確定各服務(wù)站中轎廂數(shù)和轎廂承載能力,具體過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn).由于該配置過(guò)程中一些初始值為估計(jì)值,不一定合適,需要根據(jù)式(11)～(18)計(jì)算電梯交通參數(shù),并進(jìn)一步計(jì)算電梯服務(wù)系統(tǒng)的性能指標(biāo).如果性能指標(biāo)不滿足要求,就要重新設(shè)置初始值,重復(fù)一次電梯配置計(jì)算,直到性能指標(biāo)滿足要求.下面通過(guò)1個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明基于電梯網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)模型的電梯配置方法(方案1)與傳統(tǒng)電梯配置方法(方案2)相比的優(yōu)越性.某16層大樓(門廳以上)的電梯系統(tǒng),層間距離為3.3m,額定速度為2.5m/s,門開(kāi)閉時(shí)間3.4s,單層行駛時(shí)間4.3s.每層人數(shù)相同,5min上行高峰期內(nèi)要求呼梯110次.乘客轉(zhuǎn)移時(shí)間1.2s.乘客平均候梯時(shí)間不超過(guò)24s.5min下行高峰期內(nèi)要求呼梯150次.在平衡層間運(yùn)行工作情況下,每小時(shí)內(nèi)有大樓總?cè)藬?shù)660人的1/3使用電梯.求解該電梯服務(wù)系統(tǒng)交通的馬爾可夫網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)模型,可以得出電梯配置所需的各項(xiàng)交通參數(shù)(下行高峰交通、平衡層間交通的建模與分析類似于上行高峰交通),然后利用這些參數(shù)進(jìn)行電梯配置,最后分析配置結(jié)果,并與傳統(tǒng)方法進(jìn)行比較,如表1所示.從表1可知,方案1和方案2的上行高峰平均候梯時(shí)間相差不多,且都滿足要求(候梯時(shí)間一般不超過(guò)30s).但方案2的平均轎廂載荷是880/0,已沒(méi)有余量來(lái)滿足增加上行高峰輸送的需求,而方案1的平均轎廂載荷是720/0,還可適當(dāng)增加上行高峰的輸送.此外,方案1的下行高峰和平衡層間平均候梯時(shí)間要明顯短于方案2.可見(jiàn),基于電梯交通的馬爾可