matlab-最小二乘法數(shù)據(jù)擬合

./定義：最小二乘法〔又稱最小平方法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù),并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合。其他一些優(yōu)化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達(dá)。最小二乘法原理：

在我們研究兩個(gè)變量〔x,y之間的相互關(guān)系時(shí),通常可以得到一系列成對的數(shù)據(jù)〔x1,y1.x2,y2...xm,ym；將這些數(shù)據(jù)描繪在x-y直角坐標(biāo)系中,若發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)在一條直線附近,可以令這條直線方程如〔式1-1。Yj=a0+a1X〔式1-1>其中：a0、a1是任意實(shí)數(shù)1.多項(xiàng)式曲線擬合:polyfit

1.1常見擬合曲線：直線：

y=a0X+a1

多項(xiàng)式：一般次數(shù)不易過高23

雙曲線：

y=a0/x+a1指數(shù)曲線：y=a*e^b

1.2matlab中函數(shù)

P=polyfit<x,y,n>

[PSmu]=polyfit<x,y,n>polyval〔P,t：返回n次多項(xiàng)式在t處的值

注：其中xy已知數(shù)據(jù)點(diǎn)向量分別表示橫縱坐標(biāo),n為擬合多項(xiàng)

式的次數(shù),結(jié)果返回：P-返回n次擬合多項(xiàng)式系數(shù)從高到低

依次存放于向量P中,S-包含三個(gè)值其中normr是殘差平方

和,mu-包含兩個(gè)值mean〔x均值,std〔x標(biāo)準(zhǔn)差。1.3舉例

1.已知觀測數(shù)據(jù)為：

X：0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

Y：-0.447

1.987

3.28

6.16

7.08

7.34

7.66

9.56

9.48

9.3

11.2用三次多項(xiàng)式曲線擬合這些數(shù)據(jù)點(diǎn)：x=0:0.1:1

y=[-

0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2]

plot<x,y,'k.','markersize',25>

holdon

axis<[01.3-216]>

p3=polyfit<x,y,3>

t=0:0.1:1.2:

S3=polyval<P3,t>;

plot<t,S3,'r'>;2.擬合為指數(shù)曲線注：在對已測數(shù)據(jù)不太明確滿足什么關(guān)系時(shí),需要假設(shè)為多種曲

線擬合然后比較各自的residal〔均方誤差越小者為優(yōu),

多項(xiàng)式擬合不是擬合次數(shù)越高越好,而是殘差越小越好。2.非線性曲線擬合：lsqcurvefitX=lsqcurvefit<fun,X0,xdata,ydata>[X,resnorm]=lsqcurvefit<fun,X0,xdata,ydata>注：其中xdataydata為給定數(shù)據(jù)橫縱坐標(biāo),按照函數(shù)文件fun

給定的函數(shù)以X0為初值做最小乘二擬合,返回函數(shù)fun中的

系數(shù)向量X和殘差的平方和resnorm。2.1例如

已知觀測數(shù)據(jù)：

求三個(gè)參數(shù)abc的值是的曲線f<x>=a*e^x+b*X^2+c*X^已知數(shù)據(jù)點(diǎn)在最小二乘意義上充分接近首先編寫擬合函數(shù)文件funfunctionf=fun<X,xdata>f=X<1>*exp<xdata>+X<2>*xdata.^2+X<3>*xdata.^3保存文件fun.m編寫函數(shù)調(diào)用擬合函數(shù)文件xdata=0:0.1:1;ydata=[3.13.273.814.55.18613.17];X0=[000];[X,resnorm]=lsqcurvefit<fun,X0,xdata,ydata>運(yùn)行顯示：X=

3.0022

4.0304

0.9404resnorm=

0.0912綜上：最小乘二意義上的最佳擬合函數(shù)為

f<x>=3.0022x+4.0304x^2+0.9404x^3殘差平方和：0.0912注：在針對只有一些已測數(shù)據(jù)而不太清楚最小乘二擬合函數(shù)時(shí),

采取先打印出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,然后觀察散點(diǎn)圖大概