控制工程基礎(chǔ)第二章

本章要求內(nèi)容提要控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本概念 時(shí)域模型—運(yùn)動(dòng)微分方程 拉氏變換與拉氏反變換 復(fù)域模型—傳遞函數(shù) 方塊圖和信號(hào)流圖的建立步驟與方法

重

點(diǎn)傳遞函數(shù)概念的建立/典型環(huán)節(jié)和控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)

難

點(diǎn)物理系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)模型的基本概念1、數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是控制工程的基本方法。數(shù)學(xué)模型的表示方法：2、建立數(shù)學(xué)模型的方法解析法—對(duì)系統(tǒng)各部分的物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律、運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析來建立數(shù)學(xué)模型。實(shí)驗(yàn)法—人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。理論分析可以大致確定數(shù)學(xué)模型的階次、參數(shù)與結(jié)構(gòu)，而試驗(yàn)的方法可以最終確定數(shù)學(xué)模型的形式。從理論上建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，常稱為理論建模，本章重點(diǎn)研究。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)應(yīng)對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。

微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)。1、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟1）分析系統(tǒng)工作原理，確定系統(tǒng)及各元件的輸入、輸出量；2）從輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，根據(jù)各變量所遵循的物理學(xué)定律寫出各元、部件的微分方程；3）消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程；4）變換成標(biāo)準(zhǔn)形式：左出、右入，降冪排列。工程中的控制系統(tǒng)：機(jī)械的，電氣的，液壓的，氣動(dòng)的，熱力的，化學(xué)的，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律都可以用微分方程加以描述。時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。二、控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程2、控制系統(tǒng)微分方程的列寫機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡(jiǎn)化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個(gè)要素：質(zhì)量mfm(t)參考點(diǎn)x

(t)v

(t)彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)機(jī)械平移系統(tǒng)mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機(jī)械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型fC(t)靜止（平衡）工作點(diǎn)作為零點(diǎn)，以消除重力的影響式中，m、C、K通常均為常數(shù)，故機(jī)械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式注意：同一系統(tǒng)簡(jiǎn)化程度的不同，可以有不同的數(shù)學(xué)模型。彈簧－阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)KC彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為一階常系數(shù)微分方程。當(dāng)質(zhì)量m很小可不計(jì)時(shí)，系統(tǒng)由并聯(lián)的彈簧和阻尼器組成。機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)Kθi(t)θo(t)00TK(t)TC(t)C粘性液體齒輪JJ—旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；K—扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；C—粘性阻尼系數(shù)柔性軸例2-2：齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)分析。圖中M—電動(dòng)機(jī)；L—負(fù)載；Tm—電機(jī)輸出扭矩；TL—負(fù)載扭矩；z1、z2、z3、z4—各齒輪齒數(shù)；J1、J2、J3—各軸及軸上齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ1、θ2、θ3—各軸及軸上齒輪的轉(zhuǎn)角。

令：等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

等效阻尼系數(shù)

等效輸出轉(zhuǎn)矩則：

電氣系統(tǒng)電阻電氣系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)電容Ci(t)u(t)電感Li(t)u(t)

R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。若L=0，則系統(tǒng)簡(jiǎn)化為：有源電網(wǎng)絡(luò)+?CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：例：列寫下圖所示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程解：1)明確系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為f(t)，輸出為x(t)2)列寫微分方程，受力分析3)整理可得：小結(jié)物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進(jìn)行具有普遍意義的分析研究（信息方法）。從動(dòng)態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M的基礎(chǔ)。通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨(dú)立儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等）的個(gè)數(shù)；因?yàn)橄到y(tǒng)每增加一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。二、線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)，則為線性時(shí)變系統(tǒng)。線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)滿足疊加原理，即：可加性：齊次性：或：液體系統(tǒng)節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)設(shè)液體不可壓縮，通過節(jié)流閥的液流是湍流。A：箱體截面積；α：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時(shí)，α為常數(shù)。根據(jù)流體力學(xué)定律：物質(zhì)守恒定律流量公式上式為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。若微分方程中的函數(shù)xi(t)、xo(t)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，則該微分方程稱為線性微分方程。線性系統(tǒng)微分方程的一般形式：式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)常數(shù)，m≤n。三、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化1、線性化問題的提出線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性微分方程進(jìn)行處理。非線性現(xiàn)象：機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由于間隙的存在導(dǎo)致的非線性傳輸特性；具有鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。將非線性微分方程在一定的條件下轉(zhuǎn)化為線性微分方程的方法，稱非線性微分方程的線性化。

非線性微分方程能進(jìn)行線性化的一個(gè)基本假設(shè)是變量偏離其預(yù)期工作點(diǎn)的偏差甚小，這種線性化通常稱為小偏差線性化。2、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化泰勒級(jí)數(shù)展開法函數(shù)y=f(x)在其平衡點(diǎn)（x0,y0）附近的泰勒級(jí)數(shù)展開式為：略去含有高于一次的增量Δx=x-x0的項(xiàng)，則：或：y-y0=Δy=KΔx，其中：上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程。對(duì)多變量系統(tǒng)，如：y=f(x1,x2)，同樣可采用泰勒級(jí)數(shù)展開獲得線性化的增量方程。增量方程：靜態(tài)方程：其中：滑動(dòng)線性化——切線法0xy=f(x)y0x0αΔxΔy’Δy非線性關(guān)系線性化A線性化增量方程為：Δy≈

Δy'=Δx?tgα切線法是泰勒級(jí)數(shù)法的特例。3、系統(tǒng)線性化微分方程的建立步驟確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點(diǎn)；列出各組成元件在工作點(diǎn)附近的增量方程；消除中間變量，得到以增量表示的線性化微分方程。實(shí)例：液位系統(tǒng)的線性化節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)解：靜態(tài)方程非線性項(xiàng)的泰勒展開為：則：將方程式的瞬時(shí)值用它的額定值和微小增量之和來表示：注意到：減去穩(wěn)態(tài)方程得到：實(shí)際使用中，常略去增量符號(hào)而寫成：此時(shí)，上式中H(t)和qi(t)均為平衡工作點(diǎn)的增量。4、線性化處理的注意事項(xiàng)線性化方程的系數(shù)與平衡工作點(diǎn)的選擇有關(guān)；線性化是有條件的，必須注意線性化方程適用的工作范圍；某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點(diǎn)，不能通過泰勒展開進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對(duì)系統(tǒng)影響很小時(shí)才能忽略不計(jì)，否則只能作為非線性問題處理。inout0近似特性曲線真實(shí)特性飽和非線性inout0死區(qū)非線性inout0繼電器非線性inout0間隙非線性四、拉普拉斯變換及其應(yīng)用Laplace（拉普拉斯）變換是描述和分析連續(xù)、線性、時(shí)不變系統(tǒng)的重要工具！拉氏變換可理解為廣義單邊傅立葉變換。傅氏變換建立了時(shí)域和頻域間的聯(lián)系，而拉氏變換建立了時(shí)域和復(fù)頻域間的聯(lián)系。通過拉氏變換將時(shí)域的微分方程變換為復(fù)數(shù)域的代數(shù)方程，這不僅運(yùn)算方便，使系統(tǒng)大為簡(jiǎn)化，而且在經(jīng)典控制論范疇，直接在頻域中研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合和校正，具有廣泛的實(shí)際意義。1、復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算（一）復(fù)數(shù)的概念定義虛數(shù)即定義復(fù)數(shù)其中，σ、ω均為實(shí)數(shù)，σ—復(fù)數(shù)s的實(shí)部；ω—復(fù)數(shù)s的虛部。復(fù)數(shù)s為復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)。復(fù)數(shù)s也可看作復(fù)平面上的一個(gè)矢量。（二）復(fù)數(shù)的表示方法直角坐標(biāo)表示法：向量表示: 模：

輻角：（逆時(shí)針為正）三角表示：指數(shù)表示：例：已知：試寫出s1、s2的三角函數(shù)表示形式和指數(shù)表示形式。解：(a)(b)（三）復(fù)數(shù)運(yùn)算法則（1）復(fù)數(shù)的加減法（2）復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)表示法復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法（3）復(fù)數(shù)的除法復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)表示法復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法例：已知：計(jì)算：解：(a)s=s1+s2

=(3+7?j)+(5–12?

j) =(3+5)+j?(7–12) =8–5?

j (b)直角坐標(biāo)解法：指數(shù)解法：補(bǔ)充作業(yè)復(fù)數(shù)運(yùn)算已知：s1=3+5?j，s2=4-3?j，s3=-2-7?j；求：(1)s1、s2、s3的指數(shù)表示法1、拉氏變換設(shè)函數(shù)f(t)滿足①t<0時(shí)f(t)=0②t>0時(shí)，f(t)分段連續(xù)且存在一正實(shí)常數(shù)σ，使得：則函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換存在，并定義為：式中：s=σ+jω（σ，ω均為實(shí)數(shù)）；稱為拉普拉斯積分；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號(hào)。上式表明，拉氏變換是這樣一種變換：即在一定條件下，它能把一實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)變換為一個(gè)在復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù)。拉氏變換是將給定的函數(shù)通過廣義積分轉(zhuǎn)換成一個(gè)新的函數(shù)，是一種積分變換，一般的在科學(xué)技術(shù)中遇到的函數(shù)，它的拉氏變換總是存在的，故以后不再對(duì)其存在性進(jìn)行討論。2、幾種典型函數(shù)的拉氏變換單位階躍函數(shù)1(t)10tf(t)單位階躍函數(shù)指數(shù)函數(shù)（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)1正弦函數(shù)與余弦函數(shù)正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sinωtf(t)=cosωt-1由歐拉公式，有：從而：同理：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)δ(t)0tf(t)單位脈沖函數(shù)ε1ε由洛必達(dá)法則：所以：?jiǎn)挝凰俣群瘮?shù)（斜坡函數(shù)）10tf(t)單位速度函數(shù)1

單位加速度函數(shù)（拋物線函數(shù)）

單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換得到。3、拉氏變換積分下限的說明在某些情況下，函數(shù)f(t)在t＝0處有一個(gè)脈沖函數(shù)。這時(shí)必須明確拉氏變換的積分下限是0－還是0+，并相應(yīng)記為：序號(hào)12345671314常用拉氏變換表4、拉氏變換的主要定理

疊加定理

齊次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a為常數(shù)；疊加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]

a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。

微分定理

證明：由于即：所以：同樣有：當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)刻的值均為零時(shí)（零初始條件）：當(dāng)f(t)在t=0處具有間斷點(diǎn)時(shí)，df(t)/dt在t=0處將包含一個(gè)脈沖函數(shù)。故若f(0+)≠

f(0－)，則：

積分定理

當(dāng)初始條件為零時(shí)：若f(0+)≠

f(0－)，則：證明：同樣：當(dāng)初始條件為零時(shí)：

延遲定理

設(shè)當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0，則對(duì)任意τ≥0，有：函數(shù)f(t-τ)0tf(t)τf(t)f(t-τ)

位移定理

例：

初值定理

證明：初值定理建立了函數(shù)f(t)在t=0+處的初值與函數(shù)sF(s)在s趨于無窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。

終值定理

若sF(s)的所有極點(diǎn)位于左半s平面，即：存在。則：證明：又由于：即：終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時(shí)的初值相同。相似定理

若

且a為大于零的常數(shù)，LL關(guān)于卷積的說明：卷積h(t)是時(shí)間函數(shù)f(τ)與時(shí)間倒置函數(shù)g(t-τ)

相乘后求積分得出的值。⑴卷積的數(shù)學(xué)定義符號(hào)表示性質(zhì)：⑵卷積定理若則

卷積定理

5、拉氏反變換L－1為拉氏反變換的符號(hào)。

利用拉氏反變換定義式求解——不常用

查拉氏變換表求解——對(duì)簡(jiǎn)單的象函數(shù)適用

部分分式法——象函數(shù)為有理分式函數(shù)時(shí)適用√拉氏反變換的求法部分分式法如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)在控制理論中，通常：為了應(yīng)用上述方法，將F(s)寫成下面的形式：式中，p1，p2，…，pn為方程A(s)=0的根的值，稱為F(s)的極點(diǎn)；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此時(shí)，即可將F(s)展開成部分分式。

F(s)只含有不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)式中，Ai為常數(shù)，稱為s=-pi極點(diǎn)處的留數(shù)。1)取極限法假設(shè)求Ai

，將上式兩邊乘上(s+pi)，則有令S趨近于-Pi，即S+Pi→0即2)取導(dǎo)數(shù)法3)系數(shù)對(duì)比法把展開與B(s)比較。例：求的原函數(shù)。解：即：例求所示象函數(shù)的原函數(shù)f(t)解：其中：p1＝0、p2＝2、p3＝5同理：A2=0.5、A3＝-0.6其反變換為：分解成如下形式，

令復(fù)數(shù)相等有：①取極限法可求得

F(s)含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)有兩種解法舉例：解：解得：此外，解得：注意：極點(diǎn)的實(shí)部為指數(shù)函數(shù)的冪，決定衰減的快慢；極點(diǎn)的虛部在正弦、余弦函數(shù)中，決定振蕩的頻率。②取導(dǎo)數(shù)法設(shè)共軛復(fù)數(shù)根p1＝α+jω、p2＝α-

jω例求所示象函數(shù)的原函數(shù)解：p1＝－1+j2、p2＝－1－j2

F(s)含有重極點(diǎn)設(shè)F(s)存在r重極點(diǎn)-p0，其余極點(diǎn)均不同，則：式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。……注意到：所以：例求所示象函數(shù)的原函數(shù)解：B(s)＝0有p1＝－1的三重根、p2＝0的二重根，所以F(s)可以展開為：從而：例：求的原函數(shù)。解：于是：

用MATLAB展開部分分式設(shè)：在MATLAB中，多項(xiàng)式通過系數(shù)行向量表示，系數(shù)按降序排列。如要輸入多項(xiàng)式：x4-12x3+25x+126>>p=[1-12025126]p=1-12025126用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項(xiàng)式，即：num=[b0

b1…bm]den=[a0

a1…an]MATLAB提供函數(shù)residue用于實(shí)現(xiàn)部分分式展開，其句法為：[r,p,k]=residue(num,den)其中，r,p分別為展開后的留數(shù)及極點(diǎn)構(gòu)成的列向量、k為余項(xiàng)多項(xiàng)式行向量。若無重極點(diǎn)，MATLAB展開后的一般形式為：若存在q重極點(diǎn)p(j)，展開式將包括下列各項(xiàng)：例：求的部分分式展開。>>num=[111395226];>>den=[110355024];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=1.00002.5000-3.00000.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1展開式為：例：求的部分分式展開。>>num=[1001056];>>den=[15972];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=-4.000020.0000-20.000010.0000p=-2.0000-1.0000-1.0000-1.0000k=1-5展開式為：函數(shù)residue也可用于將部分分式合并，其句法為：[num,den]=residue(r,p,k)>>r=[1234]';p=[-1-2-3-4]';k=0;>>[num,den]=residue(r,p,k)num=107015096den=110355024例：6、應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程求解步驟將微分方程通過拉氏變換變?yōu)閟的代數(shù)方程；解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式；應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程例設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若xi

(t)

=1(t)，初始條件分別為x'o(0)、xo(0)，試求xo(t)。解：對(duì)微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換(微分定理）：即：對(duì)方程右邊進(jìn)行拉氏變換：從而：所以：查拉氏變換表得：當(dāng)初始條件為零時(shí)：零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時(shí)，由于初始條件已自動(dòng)地包含在微分方程的拉氏變換式中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)的值就可得到微分方程的全解。如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡(jiǎn)單地用sn代替dn/dtn得到。由上述實(shí)例可見：系統(tǒng)響應(yīng)可分為兩部分：零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)五、傳遞函數(shù)1、傳遞函數(shù)的概念和定義傳遞函數(shù)在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。零初始條件：

t<0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t<0時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0；傳遞函數(shù)求解示例質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：幾點(diǎn)結(jié)論傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s)決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的固有動(dòng)態(tài)特性。傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的輸入－輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。傳遞函數(shù)的一般形式考慮線性定常系統(tǒng)當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：令：則：N(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。2、特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn)

特征方程式中，K稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。當(dāng)s=0時(shí)：G(0)=bm/an=K從微分方程的角度看，此時(shí)相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。因此K反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時(shí)，輸出與輸入的比值。

零點(diǎn)和極點(diǎn)

將G(s)寫成下面的形式：N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj

(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的收斂性，即穩(wěn)定性式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；影響瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

零、極點(diǎn)分布圖

將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。圖中，零點(diǎn)用“O”表示，極點(diǎn)用“×”表示。G(s)=s+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點(diǎn)分布圖012312-1-2-3-1-2σjω3、傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；傳遞函數(shù)是s的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各項(xiàng)系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)；傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時(shí)刻之前，系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡工作點(diǎn)處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律；傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。4、脈沖響應(yīng)函數(shù)初始條件為0時(shí)，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應(yīng)的拉氏變換為：即：g(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)包含關(guān)于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的相同信息。5、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。典型環(huán)節(jié)示例比例環(huán)節(jié)輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關(guān)系。其運(yùn)動(dòng)方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)—分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K—比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動(dòng)副R2R1ui(t)uo(t)運(yùn)算放大器慣性環(huán)節(jié)凡運(yùn)動(dòng)方程為一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為：T—時(shí)間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)式中，K—環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；如：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)KC微分環(huán)節(jié)輸出量正比于輸入量的微分。運(yùn)動(dòng)方程為：傳遞函數(shù)為：式中，τ—微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)不獨(dú)立存在，而是和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。RCui(t)uo(t)i(t)無源微分網(wǎng)絡(luò)無源微分網(wǎng)絡(luò)顯然，無源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當(dāng)|Ts|<<1時(shí)，才近似為微分環(huán)節(jié)。除了上述純微分環(huán)節(jié)外，還有一類一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)，從而給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢(shì)的預(yù)告。因此，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。積分環(huán)節(jié)輸出量正比于輸入量對(duì)時(shí)間的積分。運(yùn)動(dòng)方程為：傳遞函數(shù)為：式中，T—積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：輸出量取決于輸入量對(duì)時(shí)間的積累過程。且具有記憶功能；具有明顯的滯后作用。積分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。如當(dāng)輸入量為常值A(chǔ)時(shí)，由于：輸出量須經(jīng)過時(shí)間T才能達(dá)到輸入量在t=0時(shí)的值A(chǔ)。如：有源積分網(wǎng)絡(luò)+?CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a液壓缸Aqi(t)xo(t)振蕩環(huán)節(jié)含有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，且所存儲(chǔ)的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)方程為：傳遞函數(shù)：式中，T—振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)

ξ—阻尼比，對(duì)于振蕩環(huán)節(jié)，0<ξ<1

K—比例系數(shù)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標(biāo)準(zhǔn)形式為（K=1）：ωn稱為無阻尼固有頻率。如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)傳遞函數(shù)：式中，當(dāng)時(shí)，為振蕩環(huán)節(jié)。二階微分環(huán)節(jié)式中，τ—時(shí)間常數(shù)

ξ—阻尼比，對(duì)于二階微分環(huán)節(jié)，0<ξ<1

K—比例系數(shù)運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：延遲環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時(shí)刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時(shí)間才接近所要求的輸出值；運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：式中，τ為純延遲時(shí)間。延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0~τ時(shí)間內(nèi),沒有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：小結(jié)環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件。一個(gè)環(huán)節(jié)往往由幾個(gè)元件的運(yùn)動(dòng)特性共同組成；同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。六、傳遞函數(shù)的方框圖（重點(diǎn)）輸入比較環(huán)節(jié)控制器執(zhí)行環(huán)節(jié)檢測(cè)環(huán)節(jié)-Error控制信號(hào)輸出測(cè)量輸出被控對(duì)象E(s)G1(s)C(s)G1(s)E(s)C(s)結(jié)構(gòu)方框圖傳遞函數(shù)方框圖傳遞函數(shù)方框圖的基本概念如果根據(jù)信號(hào)的流向，把每個(gè)環(huán)節(jié)的方框圖連接起來，就構(gòu)成了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖：Xi(s)G1(s)G2(s)H(s)-E(s)Xo(s)B(s)G3(s)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖說明：傳遞函數(shù)方框圖（以后簡(jiǎn)稱方框圖）是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式，形象直觀地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，是圖解化的復(fù)域數(shù)學(xué)模型。方框圖的結(jié)構(gòu)要素信號(hào)線帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。X(s),x(t)信號(hào)線信號(hào)引出點(diǎn)（線）表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置和傳遞方向。

同一信號(hào)線上引出的信號(hào)，其性質(zhì)、大小完全一樣。

引出線X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)函數(shù)方框(環(huán)節(jié))G(s)X1(s)X2(s)函數(shù)方框函數(shù)方框具有運(yùn)算功能，即：X2(s)=G(s)X1(s)傳遞函數(shù)的圖解表示。求和點(diǎn)（比較點(diǎn)、綜合點(diǎn)）信號(hào)之間代數(shù)加減運(yùn)算的圖解。用符號(hào)“?”及相應(yīng)的信號(hào)箭頭表示，每個(gè)箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號(hào)或減去此信號(hào)。相鄰求和點(diǎn)可以互換、合并、分解，即滿足代數(shù)運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律。?X1(s)X2(s)X1(s)±X2(s)±??ABA-BCA-B+C??A+C-BBCA