2024屆東北師大附中等六校數(shù)學(xué)高一上期末綜合測試試題含解析

2024屆東北師大附中等六校數(shù)學(xué)高一上期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量，，若，則實數(shù)的值為（）A.或 B.C. D.或32．若直線的傾斜角為，且經(jīng)過點，則直線的方程是A. B.C. D.3．如圖是函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象，則其解析式是（）A. B.C. D.4．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.5．若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比是A. B.C. D.6．在直角梯形中，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的圓交于，點在弧上運動（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是A. B.C. D.7．如圖，在菱形ABCD中，下列式子成立的是A. B.C. D.8．已知集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，，，是銳角三角形的三個內(nèi)角，則下列不等式中一定成立的是A. B.C. D.10．已知全集，集合，集合，則集合A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)的圖像恒過定點，則的坐標(biāo)為_____________.12．計算的值為__________13．命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是14．函數(shù)的定義域是______________．15．某地為踐行綠水青山就是金山銀山的理念，大力開展植樹造林．假設(shè)一片森林原來的面積為畝，計劃每年種植一些樹苗，且森林面積的年增長率相同，當(dāng)面積是原來的倍時，所用時間是年（1）求森林面積的年增長率；（2）到今年為止，森林面積為原來的倍，則該地已經(jīng)植樹造林多少年？（3）為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹造林多少年（精確到整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：，）16．函數(shù)定義域是____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，四邊形是矩形，平面，平面，，（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積18．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值及相應(yīng)的的值.19．已知函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于原點對稱，當(dāng)時，.（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.20．已知函數(shù)滿足下列3個條件：①函數(shù)的周期為；②是函數(shù)的對稱軸；③.（1）請任選其中二個條件，并求出此時函數(shù)的解析式；（2）若，求函數(shù)的最值.21．某網(wǎng)上電子商城銷售甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤，甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤保修期均為3年，現(xiàn)從該商城已售出的甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤中各隨機(jī)抽取50個，統(tǒng)計這些固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的數(shù)據(jù)如下：型號甲乙首次出現(xiàn)故障的時間x(年)硬盤數(shù)(個)212123假設(shè)甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障相互獨立.（1）從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機(jī)抽取一個，試估計首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；（2）某人在該商城同時購買了甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤各一個，試估計恰有一個首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年(即)的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】先求的坐標(biāo)，再由向量垂直數(shù)量積為0，利用坐標(biāo)運算即可得解.【題目詳解】由向量，，知.若，則，解得或-3.故選A.【題目點撥】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】直線l的斜率等于tan45°=1，由點斜式求得直線l的方程為y-0=，即故選：B3、B【解題分析】通過函數(shù)的圖象可得到：A=3，，，則，然后再利用點在圖象上求解.，【題目詳解】由函數(shù)的圖象可知：A=3，，，所以，又點在圖象上，所以，即，所以，即，因為，所以所以故選：B【題目點撥】本題主要考查利用三角函數(shù)的圖象求解析式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.4、A【解題分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出的范圍，然后即可得出的大小關(guān)系.【題目詳解】由題意知，，即，，即，，又，即，∴故選：A5、C【解題分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，母線長則，，，選C.6、D【解題分析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F(xiàn)（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α），由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，），λ，μ用參數(shù)α進(jìn)行表示，利用輔助角公式化簡，即可得出結(jié)論【題目詳解】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F(xiàn)（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α），由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，）?cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ?λ，∴6λ+μ＝6（）2（sinα+cosα）＝2sin（）∵，∴sin（）∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范圍是[2，2]故選D【題目點撥】本題考查平面向量的坐標(biāo)運算，考查學(xué)生的計算能力，正確利用坐標(biāo)系是關(guān)鍵．屬于中檔題7、D【解題分析】解：利用菱形的性質(zhì)可知，第一問中方向不同，錯誤；選項B中顯然不共線，因此錯誤．,因此C不對；只有D正確8、B【解題分析】由陰影部分表示的集合為，然后根據(jù)集合交集的概念即可求解.【題目詳解】因為陰影部分表示的集合為由于.故選：B.9、C【解題分析】因為是銳角的三個內(nèi)角，所以，得，兩邊同取余弦函數(shù)，可得，因為在上單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，所以在上減函數(shù)，由，可得，故選C.點睛：本題考查了比較大小問題，解答中熟練推導(dǎo)抽象函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小是解答的關(guān)鍵，著重考查學(xué)生的推理與運算能力，本題的解答中，根據(jù)銳角三角形，得出與的大小關(guān)系是解答的一個難點.10、A【解題分析】,所以，故選A.考點：集合運算.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】由過定點（0,1），借助于圖像平移即可.【題目詳解】過定點（0,1），而可以看成的圖像右移3個單位，再下移2個點位得到的，所以函數(shù)的圖像恒過定點即A故答案為：【題目點撥】指數(shù)函數(shù)圖像恒過（0,1），對數(shù)函數(shù)圖像恒過（1,0）.12、【解題分析】.13、對任何x∈R，都有x2+2x+5≠0【解題分析】因為命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特稱命題，根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，可得命題的否定為：對任何x∈R，都有x2+2x+5≠0故答案為對任何x∈R，都有x2+2x+5≠014、【解題分析】根據(jù)表達(dá)式有意義列條件，再求解條件得定義域.【題目詳解】由題知，，整理得解得.所以函數(shù)定義域是.故答案為：.15、（1）；（2）5年；（3）17年.【解題分析】（1）設(shè)森林面積的年增長率為，則，解出，即可求解；（2）設(shè)該地已經(jīng)植樹造林年，則，解出的值，即可求解；（3）設(shè)為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹造林年，則，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的公式，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)森林面積的年增長率為，則，解得【小問2詳解】解：設(shè)該地已經(jīng)植樹造林年，則，，解得，故該地已經(jīng)植樹造林5年【小問3詳解】解：設(shè)為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹造林年，則，，，，即取17，故為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹造林17年16、【解題分析】根據(jù)偶次方根式下被開方數(shù)非負(fù)，有因此函數(shù)定義域，注意結(jié)果要寫出解集性質(zhì).考點：函數(shù)定義域三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）1【解題分析】（1）由平面，平面，得到，利用線面平行的判定定理得到平面，平面，然后利用面面平行的判定定理證明；（2）由平面，得到點到平面的距離，然后利用求解【小問1詳解】證明：平面，平面，，又平面，平面，平面，在矩形中，，且平面，平面，平面，又，∴平面平面【小問2詳解】平面，∴點到平面的距離為，∵四邊形矩形，，，，18、（1），（2）時，，時，.【解題分析】（1）將函數(shù)化簡得，可求函數(shù)的最小正周期；（2）由求出，進(jìn)而求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值及相應(yīng)的的值.【小問1詳解】所以.【小問2詳解】因為，所以，所以，所以，當(dāng)時，即，，當(dāng)時，即，.19、（1）（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【解題分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)定義結(jié)合已知可得；(2)先求時的單調(diào)區(qū)間，然后由對稱性可得.【小問1詳解】∵函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于原點對稱.∴.當(dāng)時，，又時，，∴當(dāng)時，.∴【小問2詳解】當(dāng)時，函數(shù)的圖像開口向下，對稱軸為直線，∴函數(shù)f（x）在[0，3]上單調(diào)遞增，在[3，+∞）上單調(diào)遞減.又∵函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于原點對稱，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為.20、（1）答案見解析，；（2）最大值；最小值.【解題分析】(1)由①知，由②知，由③知，結(jié)合即可求出的解析式.(2)由可得，進(jìn)而可求出函數(shù)最值.【題目詳解】解：（1）選①②，則，解得，因為，所以，即；選①③，，由得，因，所以，即；選②③，，由得，因為，所以，即.（2）由題意得，因為，所以.所以當(dāng)即時，有最大值，所以當(dāng)即時，有最小值.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的周期，考查了三角函數(shù)的對稱軸，考查了三角函數(shù)的值域，考查了三角函數(shù)表達(dá)式的求解，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.21、（1）；（2）【解題分析】（1）由頻率表示概率即可求出；（2）先分別求出從甲、乙兩種品牌隨機(jī)抽取一個，首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年的概率，即可求出恰有一個首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年的概率.【題目詳解】解：（1）在圖表中，甲品牌的個樣本中，首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為：，設(shè)從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機(jī)抽取一個，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)為事件，利用頻率估計概率，得，即從該商城銷售的甲品