正多邊形的有關(guān)計(jì)算

正多邊形的有關(guān)計(jì)算【根底知識(shí)精講】一、定理:正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形.二、正多邊形有關(guān)計(jì)算(1)正n邊形角的計(jì)算公式：①每個(gè)角等于(n為大于或等于3的整數(shù))；②每個(gè)外角＝每個(gè)中心角＝.(2)正n邊形的其他有關(guān)計(jì)算，由于正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形，而每個(gè)直角三角形都集中地反映了這個(gè)正n邊形各元素之間的關(guān)系，所以，可以把正n邊形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，這個(gè)直角三角形的斜邊為外接圓半徑R，一條直角邊是邊心距rn，另一條直角邊是邊長(zhǎng)an的一半(即)；兩個(gè)銳角分別為中心角的一半(即)和一個(gè)角的一半(即)或(即90°-).【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】重點(diǎn)是把正多邊形的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題.難點(diǎn)是通過(guò)作正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.例1.*正多邊形的每個(gè)角比其外角大100°，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù).解：設(shè)此正多邊形的邊數(shù)為n，則各角為，外角為，依題意得：-＝100°.解得n＝9答：這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為9.例2.如圖7-42，：正三角形ABC外接圓的半徑為R，求它的邊長(zhǎng)，邊心距、周長(zhǎng)和面積.解：連結(jié)OB，過(guò)O作OM⊥BC于M∴∠BOM＝＝60°，∴∠OBM＝30°∴OM＝OB＝R，∴γ3＝BM＝＝＝R∴a3＝BC＝2BM＝R∴P3＝3a3＝3R∴S3＝3S△BOC＝3×R·＝R2例3.一個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形的面積相等，求它們邊長(zhǎng)的比.解：如圖7-43，設(shè)O，O′分別是正三角形ABC，正六邊形EFGHIJ的中心，分別作OD⊥BC于D，作O′K⊥GH于K，連OB，O′G，則在Rt△ODB中，∠BOD＝＝60°，BD＝a3，∴r3＝OD＝BD·ctg60°＝a3，∴S3＝6S△ODB＝6×BD·OD＝6××a3×a3＝a32.在Rt△O′KG中，∠GO′K＝＝30°，GK＝a6∴r6＝O′K＝GK·ctg30°＝a6∴S6＝12S△O′GK＝12××GK×O′K＝12××a32×a6＝a62∵S3＝S6，∴a23＝a26∴＝，∴＝，即a3∶a2＝例4.求證：正n邊形的面積Sn等于其周長(zhǎng)Pn與邊心距rn的積的一半.證明：如圖7-44，設(shè)⊙O是正n邊形ABC…的切圓，其中AB與⊙O相切于D，連OA，OD，OB，知OD⊥AB且OD＝rn，∴S△OAB＝·AB·OD＝··rn.∵正n邊形有n個(gè)如同△OAB的等腰三角形，∴Sn＝nS△OAB＝n···rn＝Pnrn.【難題巧解點(diǎn)撥】例1.：如圖7-45，⊙O半徑為R，求⊙O接正八邊形的邊長(zhǎng)a8，邊心距r8和中心角.解：連結(jié)OA、OB，并作OK⊥AB于點(diǎn)K，中心角α＝∠AOB＝＝45°在Rt△AOK中，∠AKO＝90°，OA＝R，∠AOK＝α＝22.5°故AK＝OA×sin∠AOK＝R·sin22.5°，∴AK＝0.3827R∴a8＝AB＝2AK＝0.7654Rr8＝OK＝OA·cos∠AOK＝R·cos22.5°＝0.9239R〔說(shuō)明〕(1)正多邊形的半徑、邊心距和邊長(zhǎng)的一半組成的一個(gè)直角三角形，有關(guān)正多邊形的計(jì)算常常歸結(jié)為解這個(gè)直角三角形.(2)假設(shè)正n邊形的半徑為R，則它的中心角α＝，邊長(zhǎng)an＝2R·sin，邊心距ra＝R·cos.例2.如圖7-46，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，求其切圓的接正方形DEFG的面積.解：設(shè)BC切⊙O于M，連OM，OB，則OM⊥BC，在Rt△OMB中，∠BOM＝＝60°BM＝BC＝aOM＝BM·ctg∠BOM＝a·ctg60°＝a連結(jié)OE，作ON⊥EF于N，則OE＝OM＝a在Rt△ONE中，∠EON＝＝45°，OE＝a∴EN＝OE·sin∠EON＝a·＝a∴EF＝2EN＝a∴S正方形DEFG＝EF2＝(a)2＝〔說(shuō)明〕解這類(lèi)問(wèn)題是正確畫(huà)出圖形，構(gòu)造直角三角形，在此題中，由于正三角形切圓O的半徑既是正三角形的邊心距，又是正方形的半徑，所以求出⊙O的半徑是個(gè)突破口.【課本難題解答】例.：半徑為R的圓接正n邊形的邊長(zhǎng)為an，求證：同圓接正2n邊形的面積等于nRan，利用這個(gè)結(jié)果，求半徑為R的圓接正八邊形的面積(用代數(shù)式表示).提示：如圖7-47，連結(jié)OA，OB，OA′AB，則OA′⊥AB，∴四邊形OAA′B的面積等于AB·OA′＝Ran∴半徑為R的圓接正2n邊形的面積等于nRan半徑為R的正八邊形的面積等于4Ra4＝2R2【命題趨勢(shì)分析】正多邊形的有關(guān)計(jì)算是正多邊形和圓的一個(gè)重點(diǎn)命題容，主要在各類(lèi)考試中的填空和選擇題中.【典型熱點(diǎn)考題】例1.正六邊形的半徑為3cm，則這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為cm.(2000年)分析：轉(zhuǎn)化為直角三角形求出正六邊形的邊長(zhǎng)，然后用P6＝6an求出周長(zhǎng).例2.正多邊形的邊心距與邊長(zhǎng)的比為，則此正多邊形為().A.正三角形 B.正方形 C.正六邊形 D.正十二邊形(2000年)分析：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形，由直角邊的比知應(yīng)選(B).例3.同圓的接正三角形與接正方形的邊長(zhǎng)的比是()A. B. C. D.(2000年石景山)分析：分別求出正三角形、正方形的邊長(zhǎng)，知應(yīng)選(A).【同步達(dá)綱練習(xí)】一、填空題1.正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成個(gè)全等的直角三角形.2.正三角形的半徑為R，則邊長(zhǎng)為，邊心距為，面積為.假設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為a，則半徑為.3.正n邊形的一個(gè)外角為30°，則它的邊數(shù)為，它的角和為.4.如果一正n邊形的一個(gè)外角等于一個(gè)角的三分之二，則這個(gè)正n邊形的邊數(shù)n＝.5.正六邊形的邊長(zhǎng)為1，則它的半徑為，面積為.6.同圓的接正三邊形、正四邊形、正六邊形的邊長(zhǎng)之比為.7.正三角形的高∶半徑∶邊心距為.8.邊長(zhǎng)為1的正六邊形的切圓的面積是.二、選擇題1.正方形的外接圓半徑與切圓的半徑之比是()A.∶1 B.2∶1 C.1∶ D.1∶22.兩圓半徑之比為2∶3，小圓的外切正六邊形與大圓的接正六邊形面積之比為()A.2∶3 B.4∶9 C.16∶27D.4∶33.正三角形的外接圓半徑是4cm，以正三角形的一邊為邊作正方形，則此正方形外接圓半徑長(zhǎng)為()A.8cmB.4cm C.2cmD.cm三、計(jì)算題1.一個(gè)正n邊形的外接圓半徑和切圓半徑分別為20cm，10cm，求：這個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)和面積.2.⊙O的半徑為R，求它的接正三角形的切圓的接正方形的周長(zhǎng).【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】1.如圖7-48所示，三個(gè)等圓⊙A、⊙B、⊙C兩兩外切，E點(diǎn)為⊙A、⊙C的切點(diǎn)，ED⊥BC于D，圓的半徑為1，求DE的長(zhǎng).證明：如果延長(zhǎng)正六邊形的各邊，使其兩兩相交，順次連結(jié)各交點(diǎn)，則得一個(gè)新的正六邊形，而它的面積等于原正六邊形面積的三倍.【知識(shí)探究學(xué)習(xí)】如圖7-49，ABCD為正方形，E、F分別在BC、CD上，且ΔAEF為正三角形，四邊形A′B′C′D′為ΔAEF的接正方形，ΔA′E′F′為正方形A′B′C′D′的接正三角形。(1)試猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)求的值.