九年級(jí)相似三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與例題講解

...wd......wd......wd...知識(shí)點(diǎn)一：放縮與相似圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運(yùn)動(dòng)。把形狀一樣的兩個(gè)圖形說成是相似的圖形，或者就說是相似性。注意：=1\*GB2⑴相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀一樣，與它們的位置、顏色、大小無關(guān)。=2\*GB2⑵相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。=3\*GB2⑶我們可以這樣理解相似形：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的．=4\*GB2⑷假設(shè)兩個(gè)圖形形狀與大小都一樣，這時(shí)是相似圖形的一種特例——全等形．相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長度成比例。注意：當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，他們的對(duì)應(yīng)邊的長度的比值是1.知識(shí)點(diǎn)二：比例線段有關(guān)概念及性質(zhì)〔1〕有關(guān)概念1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：b＝m：n〔或〕2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。說明：求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長度。3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如4、比例外項(xiàng)：在比例〔或a：b＝c：d〕中a、d叫做比例外項(xiàng)。5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例〔或a：b＝c：d〕中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。6、第四比例項(xiàng)：在比例〔或a：b＝c：d〕中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為〔或a:b＝b:c時(shí)，我們把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。8.比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即〔或a：b=c：d〕，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。〔注意：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位〕〔2〕比例性質(zhì)1.根本性質(zhì):〔兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)積〕2.反比性質(zhì)：(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)3.更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：4.合比性質(zhì)：〔分子加〔減〕分母,分母不變〕．注意：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：．5.等比性質(zhì)：〔分子分母分別相加，比值不變.〕如果，那么．注意：(1)此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法〞，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法．(2)應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零．(3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．知識(shí)點(diǎn)三：黃金分割定義：在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC〔AC＞BC〕，如果，即AC2=AB×BC，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比。其中≈0.618。2〕黃金分割的幾何作圖：：線段AB.求作：點(diǎn)C使C是線段AB的黃金分割點(diǎn).作法：①過點(diǎn)B作BD⊥AB，使；②連結(jié)AD，在DA上截取DE=DB；③在AB上截取AC=AE，則點(diǎn)C就是所求作的線段AB的黃金分割點(diǎn).黃金分割的比值為：

.〔只要求記住〕3〕矩形中，如果寬與長的比是黃金比，這個(gè)矩形叫做黃金矩形。知識(shí)點(diǎn)四：平行線分線段成比例定理(一)平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比.例.l1∥l2∥l3,ADl1BEl2CFl3可得2.推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.是“A〞字型是“A〞字型是“8〞字型經(jīng)?？?，關(guān)鍵在于找由DE∥BC可得：.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,條件是平行.3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.(即利用比例式證平行線)4.定理:平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.5.平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線,如果在一條直線上截得的線段相等，難么在另一條直線上截得的線段也相等?！锶切我贿叺钠叫芯€性質(zhì)定理定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對(duì)應(yīng)成比例。幾何語言∵△ABE中BD∥CE∴簡記：歸納：和推廣：類似地還可以得到和★三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.★三角形一邊的平行線的判定定理三角形一邊平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長線〔這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)〕所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.★平行線分線段成比例定理1．平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.用符號(hào)語言表示：AD∥BE∥CF,.2．平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等.用符號(hào)語言表示：.重心定義：三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的重心.重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍.知識(shí)點(diǎn)三：相似三角形相似三角形1〕定義：如果兩個(gè)三角形中，三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形叫做相似三角形。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個(gè)全等三角形一定相似。兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。兩個(gè)等邊三角形一定相似。兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形不一定相似。補(bǔ)充：對(duì)于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似〔如正四邊形、正五邊形等等〕；性質(zhì)：兩個(gè)相似三角形中，對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例。相似比：兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比。如△ABC與△DEF相似，記作△ABC∽△DEF。相似比為k。4〕判定：①定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。②三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似．直角三角形相似判定定理:eq\o\ac(○,1).斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。eq\o\ac(○,2).直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似。補(bǔ)充一：直角三角形中的相似問題：斜邊的高分直角三角形所成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似.射影定理：CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·BA〔在直角三角形的計(jì)算和證明中有廣泛的應(yīng)用〕.補(bǔ)充二：三角形相似的判定定理推論推論一：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似。推論二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)局部成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。相似三角形的性質(zhì)①相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例.②相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、周長的比都等于相似比(對(duì)應(yīng)邊的比).③相似三角形對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比的平方.相似的應(yīng)用：位似1〕定義：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。需注意：①位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。②兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)。③兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。④位似比就是相似比。2〕性質(zhì)：①位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)。②位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離等于位似比〔相似比〕。③每對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線，不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行。一、如何證明三角形相似例1、如圖：點(diǎn)G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交BC、BD于點(diǎn)E、F，則△AGD∽∽。例2、△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線，求證：△ABC∽△BCD例3：，如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)連結(jié)ED、AD，以BC為邊在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求證：△DBE∽△ABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié)AE、AF、AC，問圖中是否存在非全等的相似三角形請(qǐng)證明你的結(jié)論。二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例6：：如圖，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，DM⊥BC于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)D。求證：〔1〕MA2=MDME；〔2〕例7：如圖△ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例8：：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且。求證：∠AEF=∠FBD例9、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線，求證：SQ∥AB，RP∥BC例10、A、C、E和B、F、D分別是∠O的兩邊上的點(diǎn)，且AB∥ED，BC∥FE，求證：AF∥CD例11、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)G∥AC交AB于G，求證：FC=FG例12、Rt△ABC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF一、選擇題1．〔2009年濱州〕如以下圖，給出以下條件：①；②；③；④．其中單獨(dú)能夠判定的個(gè)數(shù)為〔〕A．1 B．2 C．3 D．42.〔2009年上海市)如圖，，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A． B． C． D．3.(2009成都)△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為(A)1：2(B)1：4(C)2：1(D)4：14.(2009年安順)如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，DE是它的中位線，則下面四個(gè)結(jié)論：〔1〕DE=1，〔2〕△CDE∽△CAB，〔3〕△CDE的面積與△CAB的面積之比為1：4.其中正確的有：A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)5.〔2009重慶綦江〕假設(shè)△ABC∽△DEF,△ABC與△DEF的相似比為１∶2，則△ABC與△DEF的周長比為〔〕A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶6.〔2009年杭州市〕如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值〔〕A．只有1個(gè)B．可以有2個(gè)C．有2個(gè)以上但有限D(zhuǎn)．有無數(shù)個(gè)7.2009年寧波市〕如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，M、N分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，連接OM、ON、MN，則以下表達(dá)正確的選項(xiàng)是〔〕A．△AOM和△AON都是等邊三角形B．四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形C．四邊形AMON與四邊形ABCD是位似圖形D．四邊形MBCO和四邊形NDCO都是等腰梯形DDBCANMO8.〔2009年江蘇省〕如圖，在方格紙中，將圖①中的三角形甲平移到圖②中所示的位置，與三角形乙拼成一個(gè)矩形，那么，下面的平移方法中，正確的選項(xiàng)是〔〕A．先向下平移3格，再向右平移1格B．先向下平移2格，再向右平移1格C．先向下平移2格，再向右平移2格D．先向下平移3格，再向右平移2格9.(2009年義烏)在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比。這本書的長為20cm，則它的寬約為A．12.36cmB.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm10.〔2009年婁底〕小明在一次軍事夏令營活動(dòng)中，進(jìn)展打靶訓(xùn)練，