2021屆高考數(shù)學(xué)考前30天沖刺模擬卷八

考前30天沖刺高考模擬考試卷（8）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合4={刈丫=川6-工2},8={x|/g（x-2）,,l},貝）

A.（2,3]B.[-4,4]C.[2,4）D.(2,4]

2.（5分）復(fù)數(shù)z=昌的共枕復(fù)數(shù)的虛部為（）

.1.1.?1

A.—iBD.—/C.—

222

3.（5分）采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PA〃），是通過(guò)對(duì)企業(yè)采購(gòu)經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)匯總、編制而

成的指數(shù)，它涵蓋了企業(yè)采購(gòu)、生產(chǎn)、流通等各個(gè)環(huán)節(jié)包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國(guó)際

上通用的監(jiān)測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的先行性指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)、預(yù)警作用.如圖為國(guó)家統(tǒng)

計(jì)局所做的我國(guó)2019年12月及2020年1~12月份的采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）的折線圖，若PMI

指數(shù)為50%,則說(shuō)明與上月比較無(wú)變化，根據(jù)此圖，下列結(jié)論正確的（）

制造業(yè)PM/指數(shù)（經(jīng)季節(jié)調(diào)整）

A.2020年1至12月的產(chǎn)團(tuán)指數(shù)的最大值出現(xiàn)在2020年3月份

B.2020年1至12月的PA〃指數(shù)的中位數(shù)為51.0%

C.2020年1至3月的PA〃指數(shù)的平均數(shù)為49.9%

D.2020年1月至3月的月PA〃指數(shù)相對(duì)10月至12月，波動(dòng)性更大

4.（5分）函數(shù)/（x）=（」一+―—）cosx的圖象可能是（）

x-lX+1

5.（5分）已知8$2&=夜$皿0-馬80（乃+?）,sinawO,則tan（乙+a）的值為（）

43

A.-2-V3B.2+6C.2+6或6D.2—百或6

6.（5分）已知實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，則點(diǎn)P（2,-l）到直線6+勿+。=0的最大距離是

A.—B.1C.V2D.2

2

22

7.（5分）如圖，已知尸1,K分別為雙曲線C:==1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)耳的

ab

直線與雙曲線。的左支交于A、8兩點(diǎn)，連接A",BF2,在AABg中，AB=BF2,

8.（5分）已知函數(shù)/（%）=*-2——+1,（%。0）,函數(shù)g（x）=Hnr,若4f（x）..2g（x）,對(duì)

kx

Vx￡（0,+oo）恒成立，則實(shí)數(shù)人的取值范圍為（）

A.[1,+00）B.[e,+oo）C.[-,+oo）D.[―,+oo）

ee

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中。有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的對(duì)2分，有選錯(cuò)的得0分。

1"-〃)2

9.（5分）已知X?Nd，/）,f(x)=-j=r-e21XGR,貝I」（)

72兀o

A.曲線y=/（x）與x軸圍成的幾何圖形的面積小于1

B.函數(shù)/（x）圖象關(guān)于直線x=〃對(duì)稱

C.P(X>〃-b)=2P(〃<X<〃+cr)+P(X..〃+cr)

D.函數(shù)尸(x)=P(X>x)在R上單調(diào)遞增

10.(5分)己知2"=3,=6,則下列選項(xiàng)一定正確的是()

A.ab>4B.3-1)2+(6-1)2<2

C.log2a+log2h>2D.a+b>4

11.（5分）正方體ABC。-44GA的棱長(zhǎng)為2,E,F,G分別為3C,C￡,Bg的中

A.直線。Q與直線/IF垂直

B.直線AQ與平面的平行

C.平面田截正方體所得的截面面積為？

2

D.點(diǎn)A和點(diǎn)。到平面詆的距離相等

12.（5分）在AABC中，若8=生，角3的平分線比＞交AC于O,且BD=2,則下列說(shuō)法

3

正確的是（）

A.若BD=BC,則AABC的面積是士速

2

B.若BD=BC,AABC的外接圓半徑是2及

C.若BD=BC,yiij—=

DC2

D.AB+BC的最小值是巡

3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

523

13.（5分）二項(xiàng)展開(kāi)式（2-x）=aQ+axx+a2x+a3x+a^x+a5^,則%=__；

%+%+%=

14.（5分）某農(nóng)業(yè)局為支持該縣扶貧工作，決定派出5男3女共8名農(nóng)技人員分成兩組分

配到2個(gè)貧困村進(jìn)行扶貧，若每組至少3人，且每組都有男農(nóng)技人員，則不同分配方案

有一種（用數(shù)字作答）.

15.（5分）已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)P在拋物線C上，PQ垂直/于

點(diǎn)Q,與y軸交于點(diǎn)T,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且［07|=2,貝.

16.（5分）已知4勺為不共線的單位向量，設(shè)b=et+ke^（keR）,若對(duì)任意向量

4

a,B均有|1-同…且成立，向量不高夾角的最大值是____.

4

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（10分）已知數(shù)列見(jiàn)的前”項(xiàng)和為S“，點(diǎn)（〃，在函數(shù)f（x）=3x2-2x的圖象

上，

（1）求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)2=—:----求數(shù)列a的前〃項(xiàng)和7；.

a”.a,z

18.（12分）在&WC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知人=6，

<7cosC+ccosA=2/?cosB.

（I）求角8的大?。?/p>

（II）求asinC的最大值.

19.（12分）在四棱錐中，四邊形438為平行四邊形，為等腰直角三角

形，PA=PB,AD=近，AB=2,PDA,AB,PC=45.

（I）求證：BD工AD；

（2）求直線皮）與面必。所成角的正弦值.

H

20.（12分）乒乓球是中國(guó)國(guó)球，它是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目.某中學(xué)為了鼓勵(lì)學(xué)生

多參加體育鍛煉，定期舉辦乒乓球競(jìng)賽，該競(jìng)賽全程采取“一局定輸贏”的比賽規(guī)則，首先

每個(gè)班級(jí)需要對(duì)本班報(bào)名學(xué)生進(jìn)行選拔，選取3名學(xué)生參加校內(nèi)終極賽與其他班級(jí)學(xué)生進(jìn)行

同臺(tái)競(jìng)技.

（I）若高三（1）班共有6名男生和4名女生報(bào)名，且報(bào)名參賽的選手實(shí)力相當(dāng)，求高三

（1）班選拔的校內(nèi)終極賽參賽選手均為男生的概率.

（II）若高三（1）班選拔的選手甲、乙、丙分別與高三（2）班選拔的選手A,B,C對(duì)

抗，甲、乙、丙獲勝的概率分別為：，p,1-p,且甲、乙丙三人之間獲勝與否互不影響,

記J為在這次對(duì)抗中高三（1）班3名選手獲勝的人數(shù)，尸6=0）=*.

（i）求p；

（ii）求隨機(jī)變量J的分布列與數(shù)學(xué)期望E&）.

21.（12分）已知橢圓E:=1（a＞。＞0）的焦距為2啦，點(diǎn)尸（0,2）關(guān)于直線丁=元的對(duì)

稱點(diǎn)在橢圓E上.

（1）求橢圓E的方程；

（2）如圖，橢圓￡的上、下頂點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)P的直線/與橢圓E相交于兩個(gè)不同

的點(diǎn)C,D.

①求ACOD面積的最大值；

②當(dāng)4）與BC相交于點(diǎn)Q時(shí)，試問(wèn)：點(diǎn)。的縱坐標(biāo)是否是定值？若是，求出該定值；若不

是，說(shuō)明理由.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=2x-Hnx+4a,(aeR).

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性;

(2)令g*)=/(x)-sinx,若存在不，x2e(0,+oo),且王工超時(shí)，g(X)=g(%2)，證明:

x{x2<a~.

考前30天沖刺高考模擬考試卷(8)答案

1.解：VA={X|16-X2S)}={XMA?4},fi={x|0<x-2W0)={x|2<x12},

AQB=(2,4].

故選：D.

2,解：2=旦旦2"=一,

1+r31-i(l-i)(l+i)22

.?.復(fù)數(shù)2=上烏的共輔復(fù)數(shù)的虛部為,，

故選：D.

3.解：根據(jù)折線圖可得，2020年1~12月的PMZ指數(shù)的最大值出現(xiàn)在2020年11月，故A

錯(cuò)誤；

根據(jù)中位數(shù)的定義，將2020年1~12月的指數(shù)按從小到大的順序排列后，可知排在第

五和第六位的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為中位數(shù)，即可得中位數(shù)為也出^=50.95%,故3錯(cuò)

2

誤；

根據(jù)平均數(shù)的定義，可求得2020年1~3月的PM1指數(shù)的平均數(shù)為

根據(jù)圖中折線可得，2020年1月至3月的孫〃指數(shù)相對(duì)10月至12月，波動(dòng)性更大，故D

正確.

故選：D.

4.解：?.,函數(shù)/(x)=(--+----)cosx,

x-1X+1

/(—X)=(-----H------),cos(—X)=—(----H----),cosX=—f(x)，

-x-1-x+1x+\x-\

.??函數(shù)/(?=(—L+—!—)cosx為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B,

x-\x+\

當(dāng)了=?!時(shí)，/(-)=(―!—+-cos-=--xcos-<0,排除A,D,

221i—1232

22

故選：C.

5.解：

,/cos2a=\11sin(cif-—)cos(4+a)=&x(^-sina-cosa)(—cosa)=cosi23a—sinacosa，

422

/.2cos2a-l=cos2ar-sincrcoscr,可得：sin2a=sincrcosa,

,.?sinawO，

/.tana=l,

7T

tan—+tana

①、

tan(y+a)=3=-2-x/3.

1i-tan-九tana

3

故選：A.

6.解：由。，b,c成等差數(shù)列，得a+c=2/?,所以c=2b-a;

則點(diǎn)尸(2,-1)到直線ax+by+c=0的距離是

_\2a-b+c\_\2a-b+2b—a\_\a+b\

\]a2+/?2J/+J、J-2+/

2

由(a+〃)2?2(/+/),即a+從J(q+b)2,

2

所以x/7壽…-%|a+0|.當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào),

y/2

所以4,.盧._=&,

正|布|

即點(diǎn)P(2,-l)到直線依+6y+c=0的最大距離是0.

故選：C.

7.解：設(shè)|Ag|="z,由雙曲線的定義可得|4耳|=%-勿，

由IABR8底|,可得2a=18^1-1841=2”，即有加=4a,

因?yàn)锳AB行為等腰三角形，

31

2

所以cosZABF2=cos(萬(wàn)-2ZFtAF2)=-cos2ZFtAF2=1-2cosZFtAF2=—,

解得cosN^Ag=-,

IA4『+1A瑪F-1耳瑪『(2a)2+(4a)2-(2c)

在△KA鳥(niǎo)中，cosZfJA^=

2|Af；HA居|2x2。x4。

化為c=￡2〃，即有e=￡=辿.

2a2

故選：D.

8.解：(x)..2g(x)9對(duì)Vx￡(0,+oo)恒成立，

即ke"-+k..2xlnx，化為：kxe^+kx..x2lnx2+Inx2,

x

令〃Q)=tint+lnt,tG(0,+oo),

...hr(t)=\+lnt+-=?(/),

t

“")=4_[=?,可得f=l時(shí)，函數(shù)”⑺取得極小值即最小值，u(I)=2>0,

trr

⑺>0恒成立，

/.函數(shù)以。在tG(0,+O0)上單調(diào)遞增，

而〃(*)..〃(/),

kx..2lnx,即k...---,

令v(x)=,XG(0,4-co),

..."(力=2(1一"),可得x=e時(shí)，函數(shù)v(x)取得極大值即最大值.

x

e

故選：D.

9.解：A.曲線y=/(x)與x軸圍成的幾何圖形的面積等于1,因此A不正確;

B.函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=〃對(duì)稱，可得B正確；

?/P(/J>X>〃一CT)=P(〃<X<〃+CT)

.,.P(X>〃-b)=2P(〃<X<"+cr)+P(X..〃+b),因此C正確;

D.函數(shù)/(x)=P(X>x)在R上單調(diào)遞減，可得。不正確.

故選：BC.

10.解:由2“=3"=6,a—log26,b=log36,

11cllc111

?-—=1°§62?-=log3,—+-=1,

ab6ab

A:vl=—+—2./—,：,ab.A,,:a*b,ah>4,「.A正確，

abVab

C：,/log2a+log2b=log2(?Z?)>log24=2,/.C正確，

D：,/a+b=(a+b)(—+—)=—+—+2..2\[\+2=4,,:a于b，

abba

.\a+b>4,O正確，

「11..1

B:—I—=1,h=------=1H--------9b-1=------,

aha-\a-\a-\

(a-I)2+s-1)2=3-1)2+-------r..271=2,

(a-1)-

當(dāng)且僅當(dāng)3-1)2=—^,即a=2時(shí)取等號(hào)，

(a-1)'

X6/=log,6,(a-I)2+(￡>-l)2>2,r.8錯(cuò)誤，

故選：ACD.

11.解：以。為原點(diǎn)，D4為x軸，DC為y軸，OR為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

則A(2,0,0),￡(1,2,0),F(0,2,1),￡>(0,0,0),0.(0,0,2),/2,。，2),

G(2,2,1),

對(duì)于A,取=(0,0,-2),AF=(-2,2,1),

?.?西?麗=-2*0,直線。。與直線"不垂直，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,加=(0,2,-1),AE=(-1,2,0),AF=(-2,2,1),

設(shè)平面AEF的法向量元=(x,y,z),

,fl-AE——x+2y=0?

則n1'，取y=1,得萬(wàn)=(2,1,2)>

萬(wàn)?AF=-2x+2y+z=0

v^G/?=0,AGU平面AEF,

直線AG與平面AEF平行，故8正確；

對(duì)于C,連接AQ,FD,,-：E,尸分別是3C,C￡的中點(diǎn)，

面AEF截正方體所得的截面為梯形AEFR,

：.面AEF截正方體所得的截面面積為:

J4+4+-V4+4I

AD、+EF9

s=xA8=-------怖------xJ(4+l)-(^)2故C正確;

22

對(duì)于。，由3知平面用'的法向量萬(wàn)=(2,1,2),

.?.點(diǎn)A到平面AEF的距離h=W=d

\n\793

點(diǎn)。到平面AE尸的距離"=四型=2=3,

I元IM3

.??點(diǎn)A和點(diǎn)D到平面AEF的距離相等，故。正確.

故選：BCD.

12.解：因?yàn)?。為B的平分線，B=三,

3

JT

所以NA3￡>=NC8D=—,

6

5%

BD=BC=2,則NC=N8DC=—

12

由正弦定理得軍=也=2血，

sinAsinC

所以AB=2及xsin2=2夜x也土&=e+1,

124

SMBC=；AB.BCsinZABC=Jx(l+百)x2x弓/

，A正確;

若BD=BC=2,A=-,由正弦定理得2R=」一=2&,

4sinA

2

所以A4BC的外接圓半徑0,8錯(cuò)誤；

4DARC

若BD=BC=2,由正弦定理得士■=——)BC

d4sinZADBsinZCBD

sm—sin

66

因?yàn)镹ATV?與N」BDC互補(bǔ),

所以sinZA￡)8=sinN8￡)C,_d^=_d^=±Hl.,C正確;

DCBC2

設(shè)ZA=，，則/。=紅一夕，/BDC=%+6,

36

因?yàn)锽D_ABBDBC

sinAsinZADBsinCsinZADB

所以AB+BC=2s皿,晝)+2S，n(<?+6)=?sin0+cos「十.百疝，尸,

sm6><指，2萬(wàn)小sin6>1.V3

sm-U)一sm。n+——cos0n

322

令f=—'―,則fe(-9,0)U(0,+oo),

tan。3

4-.........

c廿2(73+06G,、-46cG464G8G

所以AB+BC=v3+?H-----?=-=—(J3t+1)H----r—H------..2J—x----1-----=----,

1+G3l+y/3t3V3333

4-

當(dāng)且僅當(dāng)立(1+百f)==^,即r=@或-后時(shí)取等號(hào)，

31+后3

所以，=2或，=色(舍)，

36

故AB+8C有最小值時(shí)，為睡，。正確.

3

13.解：對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式（2-無(wú)甘=/+〃/+〃2太2+〃3無(wú)3+a：x+%r5，令x=0，可得%=32.

令x=1,可得/+4+a2+/+%+%=1，

再令工二-1,可得4-q+4-%+4-％=243,

兩式相減除以2,可得4+/+%=上|空=721,

故答案為：32；-121.

解：根據(jù)題意，分2種情況討論:

①一組3人，另一組5人，有(C；-l)?&=110種;

②兩組均為4人,有窄

?A；=70種,

所以共有N=110+70=180種不同的分配方案,

故答案為：180.

15.解：由拋物線方程可得：尸(1,0),準(zhǔn)線方程為:x=

由拋物線定義可得|PQ|=|PF|，

如圖所示，|OT|=2,設(shè)PQ與y軸交于點(diǎn)

因?yàn)镺F=QM,/LOTF=ZQTM,JiZ.TOF=TMQ=90°,

所以aTM。三TOF,所以O(shè)T=MT=2,則|OM|=4,

所以外=4，代入拋物線方程可得A;,=4,

所以|PF|=x「+l=4+l=5,

故答案為：5.

16.解：設(shè)向量冢、［的夾角為e,1、5的夾角為a,

由汽2=(q+后6y=q+2ke「e?+k?e；

=k'+\+2k-cos0,

且

一

且

切:4得，a2-2a-b+b2=--2x—x\b|.cosa+15°|.,

16416

-/出

小

所p

-2

即151..@|h|cosa,

2

ty.i&i...——>

2

所以廬…3,

4

3

BPJt2+1+2%cos。..二恒成立；

4

所以&*+2kcos.0對(duì)任意kwR恒成立，

4

則△=4cos2e-L,0，

解得一,效上os，L

22

又夕￡[0,乃[,

所以de[乙，—],

33

即冢，最?yuàn)A角的最大值是

故答案為：—.

3

17.解：⑴由題意可知:5“=3/-2〃

當(dāng)幾.2,a“=S,,-S,i=3〃2-2"-3(〃-1)2+2(〃-1)=6〃-5.(4分)

又因?yàn)閝=E=l..(5分)

所以?！?6〃一5.(6分)

33111

(2)%=」—二二——J——=4(—!———^)(8分)

4M1+1(6〃-5)(6〃+1)26/2-56〃+1

所以7；=L(1_，+4_J-+…!----------)=1(1———)=-^.(12分)

〃277136〃-56〃+126/2+16n+\

18.解：(I),/acosC+ccosA=2Z?cosB,

由正弦定理，化簡(jiǎn)可得：sinAcosC+sinCeosA=2sinBcosB,

/.sinB=2sinBcosB,

B〈7T,sin8w0,

可得cosB=—，

2

3

(II)由方=g，cosB=-,由正弦定理'一=0-='=g=2,

2sinAsin8sinCJ3

T

所以a=2sinA,sinC=—c,

2

所以

?sinC=2sinAsinC=2sinAsin(--A)=2sin<4(—cos<4+—sinA)=-sin24-』cos2A+—=sin(2X—

32222262

因?yàn)?＜A(生，所以一巳＜2A-工＜必，可得sin(2A-工)+±,3,

3666622

因此，asinC的最大值為之，當(dāng)且僅當(dāng)2A-二=工，即4=工時(shí)取得.

2623

19.證明：(1)取45的中點(diǎn)O,連接PO與￡＞O,

?.?AAP8為等腰直角三角形，PA=PB,:.POA.AB,

又POp\PD=P,且PO、PDu面POD,J.ABJ_平面POD,

?.?OOu面PO￡),.\AB±OD,

???O為AB的中點(diǎn)，AAD=BD=＞/2,

■.■AB=2,：.Alf+BD2=AB2,則AO_L3￡＞；

解：(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B,8所在直線為x,y軸，

以過(guò)O且垂直與平面的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則8(1,0,0),D(0,1,0),A(-l,0,0),

由已知可得包＞=1,則AP8是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則P(0,(

DB=(\,-1,0),而=(0,--,亭，ZM=(-1,-1,0),

設(shè)平面R4O的一個(gè)法向量為M=(x,y,z),

—.173

由，。P=""3z=0,取z=i,得萬(wàn)=(一后"I),

n-DA=一無(wú)一y=0

設(shè)直線5。與面Q4D所成角為8,

則sin*|cos。,瓦無(wú)四=工=我

In|-IDBIV7xV27

，直線即與面總所成角的正弦值為華.

20.解：(I)設(shè)“高三(1)班選拔的參數(shù)選手均為男生”為事件A,貝iJP(A)=W=1；

CIO6

2111

(II)(i)由題意，P(^=0)=(l--)-(l-^)[l-(l-p)]=--(l-/7)p=—,解得〃=/；

(ii)隨機(jī)變量g的可能取值為0,1,2,3,

所以尸?=())=',

?2111111111

=l)=-x-x-+-x-x-=-x-x-=-,

3223223223

…c、2112111115

P(C=2)=-x—x--p—x—x—p—x—x—=—,

32232232212

2>2111

P(c=3)=—x—x—=—,

3226

故J的分布列為：

0123

p115工

123126

所以g的數(shù)學(xué)期望陽(yáng))=0*+"+2*+3XL9.

21.解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(0,2)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(2,0),

且(2,0)在橢圓石上,所以a=2,

又2c=2>/2,c=V2,

貝西=片一/=4-2=2,

22

所以橢圓E的方程為工+8=1.

42

(2)①設(shè)直線/的方程為y="+2,C(x,y),D(x2,y2),

y=kx+2

點(diǎn)O到直線/的距離為f/消去y整理得：（1+2公房+8丘+4=0,

---1—1

由△＞（）,可得公＞_1,

2

口詼4

且“號(hào)一,‘

°1,24yl2k2-I

S