2021年福建中考數(shù)學模擬卷終極版【含答案】

2021年福建中考數(shù)學模擬卷終極版

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

1.已知關于x的一元二次方程x2+x+m2-4=0的一個根是0,

則m的值是（）

A.0B.1C.2D.2或-2

2.用配方法解方程x2-8x+3=0,下列變形正確的是（）

A.（x+4）2=13B.（x-4）2=19

C.（x-4）2=13D.（x+4）2=19

3.如圖，AB是。O的直徑，弦CD_LAB,垂足為M,下列

結論不一定成立的是（）

A.CM=DMB.OM-MB

C.BC=BDD.ZACD=NADC

4.下列一元二次方程有實數(shù)根的是（）

A.x2-2x-2=0B.X2+2X+2=0

C.x2-2x+2=0D.X2+2=0

5.已知關于x的一元二次方程（k-2）X2+2X-1=0有兩個

不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為（）

A.k>lB.k>-1Hk^OC.k>l且kw2D.k<l

6.觀察如下圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照次規(guī)律,

第n的圖形中共有210個小棋子，則n等于（）

??

?????????

①②③??④??

A.20B.21C.15D.16

7.若點（-1,4）,（3,4）是拋物線y=ax2+bx+c上的兩點,

則此拋物線的對稱軸是（）

A.直線x二-"B.直線x=lC.直線x=3D.直線x=2

a

8.如圖，OC過原點O,且與兩坐標軸分別交于點A、B,

點A的坐標為（0,4）,點M是第三象限內施上一點，

ZBMO=120°,則。O的半徑為（）

9.如圖，AB為。O直徑，C為。O上一點，NACB的平方

線交。。于點D,若AB=10,AC=6,則CD的長為（）

A.7B.7V2C.8D.8亞

10.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則a的取值

范圍為()

A.-l<a<0B.-l<a<-^C.OVaV^D.^<a<-|

二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)

11.拋物線y=C(x+3)2+1的頂點坐標是.

12.已知abwO,Ha2-3ab-4b2=0,則號的值為.

13.已知關于x的方程a(x+m)2+c=0(a,m,c均為常數(shù),

a#0)的根是xi=-3,X2=2,則方程a(x+m-1)2+c=0的根

是____________

14.如圖，AB,AC是。O,D是CA延長線上的一點，AD=AB,

ZBDC=25°,則NBOO

15.已知△ABC的三個頂點都在。O上，AB=AC,OO的

半徑等于10cm,圓心O到BC的距離為6cm,則AB的長等

于

16.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a#0）的圖象如圖所示，圖

象與x軸交于A（xp0）B（X2，0）兩點，點M（xo，yo）

是圖象上另一點，且x（）>l.現(xiàn)有以下結論：①abc>0；②b

<2a；③a+b+c>0；④a（x（）-xi）（XQ-X2）<0.

其中正確的結論是___________.（只填寫正確結論的序號）

三、解答題（本大題共9小題，共86分）

17.（8分）解方程：

（1）X2+2X-15=0

（2）3x（x-2）（2-x）

18.（8分）已知拋物線的頂點是（4,2）,且在x軸上截得

的線段長為8,求此拋物線的解析式.

19.（8分）定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a/O）滿

足a+b+c=O,那么我們稱這個方程為“鳳凰〃方程.已知

x2+mx+n=0是"鳳凰”方程,且有兩個相等的實數(shù)根,求m2+n2

的值.

20.（8分）為響應黨中央提出的“足球進校園〃號召，我市在

今年秋季確定了3所學校為我市秋季確定3所學校諛我市足

球基地實驗學校，并在全市開展了中小學足球比賽，比賽采

用單循環(huán)制，即組內每兩隊之間進行一場比賽，若初中組共

進行45場比賽，問初中共有多少個隊參加比賽？

21.(8分)如圖，在。0中，AB=AC,NACB=60。.

(1)求證：ZAOB=ZBOC=ZAOC；

(2)若D是源的中點，求證：四邊形OADB是菱形.

22.(10分)已知關于x的一元二次方程x?-(2m+l)x+m

(m+1)=0.

(1)求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根;

(2)若^ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數(shù)

根，且BC=8,當△ABC為等腰三角形時，求m的值.

23.(10分)如圖，O為正方形ABCD對角線上一點，以點

。為圓心，OA長為半徑的。。與BC相切于點E.

(1)求證：CD是。O的切線；

(2)若正方形ABCD的邊長為10,求。O的半徑.

R￡

24.（12分）某商品的進價為每件40元，售價為每件50元,

每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則

每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）.設每件商品

的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關系式并直接寫出自變量x的取值范

圍；

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利

潤？最大的月利潤是多少元？

（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200

元？根據(jù)以上結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個

月的利潤不低于2200元？

25.（14分）如圖，已知拋物線y=ax?+bx+3與x軸交于A、

B兩點，過點A的直線1與拋物線交于點C,其中A點的坐

標是（1,0）,C點坐標是（4,3）.

（1）求拋物線的解析式；

(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點D,使^BCD

的周長最??？若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明

理由；

(3)若點E是(1)中拋物線上的一個動點，且位于直線

AC的下方，試求4ACE的最大面積及E點的坐標.

答案

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

1.已知關于x的一元二次方程x2+x+m2-4=0的一個根是0,

則m的值是()

A.0B.1C.2D.2或-2

【考點】一元二次方程的解.

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能

夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.即把0代入方程求解

可得m的值.

解：把x=0代入方程程x2+x+m2-4=0得到m2-4=0,

解得：m=±2,

故選D.

【點評】本題考查的是一元二次方程解的定義.能使方程成

立的未知數(shù)的值，就是方程的解，同時，考查了一元二次方

程的概念.

2.用配方法解方程x2-8x+3=0,下列變形正確的是()

A.(x+4)2=13B.(x-4)2=19C.(x-4)2=13

D.(x+4)2=19

【考點】解一元二次方程-配方法.

【專題】計算題.

【分析】先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上16,

然后把方程左邊寫成完全平方形式即可.

解:x2-8x=-3,

x2-8x+16=13,

（x-4）2=13.

故選C.

【點評】本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次

方程配成（x+m）2=!!的形式，再利用直接開平方法求解，

這種解一元二次方程的方法叫配方法.

3.如圖，AB是。0的直徑，弦CDLAB,垂足為M,下列

結論不一定成立的是（）

A.CM=DMB.0M=MBC.BC=BD

D.ZACD=ZADC

【考點】垂徑定理.

【分析】先根據(jù)垂徑定理得CM二DM,BC=BD,AC=AD,得出

BC=BD,再根據(jù)圓周角定理得到NACD=NADC,而0M與

BM的關系不能判斷.

解：:AB是。0的直徑，弦CD_LAB,

???CM二DM,BC=BD,AC=AD,

BC=BD,ZACD=ZADC.

故選：B.

【點評】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關系

定理，圓周角定理；熟練掌握垂徑定理，由垂徑定理得出相

等的弧是解決問題的關鍵.

4.下列一元二次方程有實數(shù)根的是（）

A.x2-2x-2=0B.X2+2X+2=0C.X2-2x+2=0

D.X2+2=0

【考點】根的判別式.

【分析】根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式4的關系：（1）

△>00方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0o方程有兩

個相等的實數(shù)根；（3）△<0=方程沒有實數(shù)根判斷即可.

解：A、.「△=（-2）2-4xlx（-2）>0,

「?原方程有兩個不相等實數(shù)根；

B、?/△=22-4xlx2<0,

原方程無實數(shù)根；

C、?「△=（-2）2-4xlx2<0,

「?原方程無實數(shù)根；

D、4xlx2<0,

原方程無實數(shù)根；

故選A.

【點評】此題考查了根的判別式與方程解的關系，一元二次

方程ax2+bx+c=0（a，0）,當b2-4ac>0時，方程有兩個不

相等的實數(shù)根；當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根;

當b?-4acV0時,方程無解.

5.已知關于x的一元二次方程（k-2）X2+2X-1=0有兩個

不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為（）

A.k>lB.k>-l且kwOC.k>l且k=2D.k<l

【考點】根的判別式；一元二次方程的定義.

【分析】根據(jù)關于x的一元二次方程（k-2）X2+2X-1-0有

兩個不相等的實數(shù)根，可得出判別式大于0,再求得k的取

值范圍.

解：:關于x的一元二次方程（k-2）X2+2X-1=0有兩個不

相等的實數(shù)根，

△=4+4（k-2）>0,

解得k>-1,

k-2/0,

/.kw2,

k的取值范圍k>-1且k#2,

故選C.

【點評】本題考查了根的判別式，總結：一元二次方程根的

情況與判別式△的關系：

（1）A>0=方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）△=0=方程有兩個相等的實數(shù)根；

（3）△<0=方程沒有實數(shù)根.

6.觀察如下圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照次規(guī)律,

第n的圖形中共有210個小棋子，則n等于（）

??

?????????

?????????■

①②③④

A.20B.21C.15D.16

【考點】規(guī)律型：圖形的變化類.

【分析】由題意可知：排列組成的圖形都是三角形，第一個

圖形中有1個小棋子，第二個圖形中有1+2=3個小棋子，第

三個圖形中有1+2+3=6個小棋子，…由此得出第n個圖形共

有l(wèi)+2+3+4+...+n^n（n+1）,由此聯(lián)立方程求得n的數(shù)值即

可.

解：???第一個圖形中有1個小棋子，

第二個圖形中有1+2=3個小棋子，

第三個圖形中有1+2+3=6個小棋子，

第n個圖形共有1+2+3+4+...+n=-^n（n+1）,

.?《n(n+1)=210,

解得：n=20.

故選：A.

【點評】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，

得出點的排列規(guī)律，利用規(guī)律解決問題.

7.若點(-1,4),(3,4)是拋物線y=ax2+bx+c上的兩點,

則此拋物線的對稱軸是()

A.直線x=-也B.直線x=lC.直線x=3D.直線x=2

3

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【分析】因為兩點的縱坐標都為4,所以可判此兩點是一對

對稱點，利用公式x=*產(chǎn)求解即可.

解：.?.兩點的縱坐標都為4,

「?此兩點是一對對稱點，

二對稱軸x二之白二二^二1.

故選B.

【點評】本題考查了如何求二次函數(shù)的對稱軸，對于此類題

目可以用公式法也可以將函數(shù)化為頂點式或用公式*二噂

求解.

8.如圖，OC過原點0,且與兩坐標軸分別交于點A、B,

點A的坐標為（0,4）,點M是第三象限內正上一點，

ZBMO=120°,則。0的半徑為（）

【考點】圓內接四邊形的性質；含30度角的直角三角形；

圓周角定理.

【分析】連接OC,由圓周角定理可知AB為OC的直徑，再

根據(jù)NBMO120?？汕蟪鯪BAO的度數(shù),證明△AOC是等邊

三角形，即可得出結果.

解：連接OC,如圖所示：

zAOB=90°,

「?AB為0C的直徑，

?/ZBMO120。，

ZBCO=120°,ZBAO=60。，

?/AC=OC,ZBAO60。，

△AOC是等邊三角形，

「?OC的半徑=OA=4.

故選：A.

Bx

MI

【點評】本題考查了圓周角定理、圓內接四邊形的性質、等

邊三角形的判定與性質；熟練掌握圓內接四邊形的性質，證

明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵.

9.如圖，AB為。0直徑，C為。0上一點，NACB的平方

線交。。于點D,若AB=10,AC=6,則CD的長為（）

A.7B.7V2C.8D.8&

【考點】圓周角定理；全等三角形的判定與性質；勾股定理.

【分析】作DF_LCA,交CA的延長線于點F,作DG_LCB

于點G,連接DA,DB.由CD平分NACB,根據(jù)角平分線

的性質得出DF=DG,由HL證明△AFD2△BGD,

△CDF2△CDG,得出CF=7,又△CDF是等腰直角三角形,

從而求出CD.

解：作DF_LCA,垂足F在CA的延長線上，作DGJLCB于

點G,連接DA,DB.

「CD平分NACB,

ZACD=ZBCD,

/.DF=DG,弧AD二弧BD,

/.DA=DB.

在RtAAFD和RtABGD中,

fBD=AD

IDF=DG，

△AFDM△BGD(HL),

AF=BG.

在aCDF和^CDG中，

"ZACD=ZGCD

?ZCFD=ZDGC,

CD=CD

△CDFM△CDG(AAS),

CF=CG.

/AC=6,AB=10,

BC=VIO2-62=8,

AF=1,

CF=7,

?「△CDF是等腰直角三角形,

CD=7V2.

故選B.

D

【點評】本題主要考查了圓周角的性質，圓心角、弧、弦的

對等關系，全等三角形的判定，角平分線的性質等知識點的

運用.關鍵是正確作出輔助線.

10.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則a的取值

范圍為（）

\>

2%

A.-l<a<0B.-l<a<-^C.OVaV^D.^<a<|

ZLLo

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【分析】根據(jù)開口判斷a的符號，根據(jù)y軸的交點判斷c的

符號，根據(jù)對稱軸b用a表示出的代數(shù)式，進而根據(jù)當x=2

時，得出4a+2b+c=0,用a表示c>-1得出答案即可.

解：拋物線開口向上，a>0

圖象過點（2,4）,4a+2b+c=4

則c=4-4a-2b,

對稱軸x=---1,b=2a,

圖象與y軸的交點-IVcVO,

因此-1<4-4a-4a<0,

實數(shù)a的取值范圍是

Zo

故選：D.

【點評】此題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，對于函數(shù)圖

象的描述能夠理解函數(shù)的解析式的特點，是解決本題的關

鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

11.拋物線y=-2（x+3）2+1的頂點坐標是（-3,1）.

【考點】二次函數(shù)的性質.

【分析】已知拋物線的頂點式，可直接寫出頂點坐標.

解：:拋物線（x+3）2+1,

「?頂點坐標是（-3,1）.

故（-3,1）.

【點評】此題考查二次函數(shù)的性質，掌握頂點式y(tǒng)=a（x-h）

2+k,頂點坐標是（h,k）,對稱軸是*=%是解決問題的關

鍵.

12.已知abwO,_Ea2-3ab-4b2=0,貝睫的值為-1或4.

【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【專題】計算題.

【分析】把a2-3ab-4b2=0看作關于a的一元二次方程，利

用因式分解法解得a=4b或a=-b,然后利用分式的性質計算

第勺值.

b

解：（a-4b）（a+b）=0,

a-4b=0或a+b=0,

所以a=4b或a=-b,

當a=4b時，（=4；

當a=-b時，-1,

b

所以的勺值為-1或4.

故答案為-1或4.

【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方

程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式

的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能

得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降

次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數(shù)

學轉化思想）.

13.已知關于x的方程a（x+m）2+c=0（a,m,c均為常數(shù),

a#0）的根是xi=-3,X2=2,則方程a（x+m-1）2+c=0的根

是xi=-2,x?=3.

【考點】解一元二次方程-直接開平方法.

【分析】把后面一個方程中的x-1看作整體，相當于前面

一個方程中的x,從而可得x-1=-3或x-1=2,再求解即

可.

2

解：關于x的方程a(x+m)+c=0的解是xi=-3,x2=2

(a,m,c均為常數(shù)，awO),

」?方程a(x+m-1)2+c=0變形為a[(x-1)+m]2+c=0,即

此方程中x-l=-3或x-1=2,

解得x=-2或x=3.

故方程a(x+m-1)2+c=0的解為xi=-2,X2=3.

故答案是：xj=-2,X2=3.

【點評】此題主要考查了方程解的定義.注意由兩個方程的

特點進行簡便計算.

14.如圖，AB,AC是(DO,D是CA延長線上的一點，AD=AB,

【考點】圓周角定理.

【分析】由AD=AB,ZBDC=25°,可求得NABD的度數(shù)，

然后由三角形外角的性質，求得NBAC的度數(shù)，又由圓周角

定理，求得答案.

解：「AD=AB,ZBDC=25°,

/.ZABD=NBDC=25°,

...ZBAC=NABD+ZBDC=50°,

ZBOC=2ZBAC=100°.

故100°.

【點評】此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質.注

意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半.

15.已知△ABC的三個頂點都在。0上，AB=AC,的

半徑等于10cm,圓心O到BC的距離為6cm,則AB的長等

于8、石或4娓.

【考點】垂徑定理；等腰三角形的性質；勾股定理.

【專題】分類討論.

【分析】此題分情況考慮：當三角形的外心在三角形的內部

時，根據(jù)勾股定理求得BD的長，再根據(jù)勾股定理求得AB

的長；當三角形的外心在三角形的外部時，根據(jù)勾股定理求

得BD的長，再根據(jù)勾股定理求得AB的長.

解：如圖1,當△ABC是銳角三角形時，連接AO并延長到

BC于點D,

/AB=AC,O為外心，

AD±BC,

在RtABOD中，

/OB=10,OD=6,

「?BD=A/OB2-OD2=7102-62=8.

在RtAABD中，根據(jù)勾股定理，得AB=VAD2+BD2=V16W=8V5

(cm)；

如圖2,當△ABC是鈍角或直角三角形時，連接A0交BC

于點D,

在RtABOD中，

/OB=10,OD=6,

BD=A/OB2-OD2=7102-62=8,

AD=10-6=4,

在RtAABD中，根據(jù)勾股定理，得AB=VBD2+AD2=V8W=475

(cm).

故8遍或4娓.

【點評】本題考查的是垂徑定理，在解答此題時要注意進行

分類討論，不要漏解.

16.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0)的圖象如圖所示,圖

象與x軸交于A(xi，0)B(X2，0)兩點，點M(xo，yo)

是圖象上另一點，且xo>l.現(xiàn)有以下結論：?abc>0；@b

<2a；③a+b+c>0；④a(XQ-xi)(XQ-X2)<0.

其中正確的結論是①、④.(只填寫正確結論的序號)

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【專題】推理填空題；數(shù)形結合.

【分析】由拋物線的開口方向可確定a的符號，由拋物線的

對稱軸相對于y軸的位置可得a與b之間的符號關系，由拋

物線與y軸的交點位置可確定c的符號；根據(jù)拋物線的對稱

軸與x=-1的大小關系可推出2a-b的符號；由于x=l時

y=a+b+c,因而結合圖象，可根據(jù)x=l時y的符號來確定a+b+c

的符號，根據(jù)a、xo-xi>x()-X2的符號可確定a(xo-xi)

(Xo-X2)的符號.

解：由拋物線的開口向下可得aVO,

由拋物線的對稱軸在y軸的左邊可得x=-麥V0,則a與b

同號，因而bVO,

由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上可得00,

/.abc>0,故①正確；

由拋物線的對稱軸x=--1(a<0),可得-b<-2a,

即b>2a,故②錯誤；

由圖可知當x=l時y<0,即a+b+c<0,故③錯誤；

a<0,xo-xi>0,xo-X2>0,a(XQ-xi)(x()-X2)<

0,故④正確.

綜上所述：①、④正確.

故答案為①、(4).

【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，其中a

決定于拋物線的開口方向，b決定于拋物線的開口方向及拋

物線的對稱軸相對于y軸的位置，c決定于拋物線與y軸的

交點位置，2a與b的大小決定于a的符號及-4與一1的大

小關系，運用數(shù)形結合的思想準確獲取相關信息是解決本題

的關鍵.

三、解答題(本大題共9小題，共86分)

17.解方程：

(1)X2+2X-15=0

(2)3x(x-2)=M(2-x)

【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【專題】計算題.

【分析】(1)利用因式分解法解方程；

(2)先把方程變形得到3x(x-2)+V2(x-2)=0,然后利

用因式分解法解方程.

解：(1)(x+5)(x-3)=0,

x+5=0或x-3=0,

x+5=0或x-3=0,

所以xi=-5,X2=3；

(2)3x(x-2)+V2(x-2)=0,

(x-2)(3X+V2)=0,

x-2=0或3x+g=0,

所以xi=2,x2=-

【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方

程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式

的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能

得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降

次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數(shù)

學轉化思想).

18.已知拋物線的頂點是(4,2),且在x軸上截得的線段

長為8,求此拋物線的解析式.

【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.

【專題】計算題.

【分析】根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的兩交點坐

標為(0,0),(8,0),則可設交點式y(tǒng)=ax(x-8),然后把

頂點坐標代入求出a即可.

解：根據(jù)題意得拋物線的對稱軸為直線x=4,

而拋物線在x軸上截得的線段長為8,

所以拋物線與x軸的兩交點坐標為(0,0),(8,0),

設拋物線解析式為y=ax(x-8),

把(4,2)代入得a?4?(-4)=2,解得a=-

所以拋物線解析式為y=-3(x-8),即y=-#+x.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：一般

地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法

列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸

時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有

兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解.本題的關

鍵是利用對稱性確定拋物線與x軸的交點坐標.

19.定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)滿足a+b+c=0,

那么我們稱這個方程為“鳳凰〃方程.已知x2+mx+n=0是"鳳

凰〃方程，且有兩個相等的實數(shù)根，求m2+n2的值.

【考點】根的判別式；一元二次方程的解.

【專題】新定義.

【分析】根據(jù)x2+mx+n=0是"鳳凰〃方程，且有兩個相等的實

數(shù)根，列出方程組，求出m,n的值，再代入計算即可.

解：根據(jù)題意得：

l+m+n=0

in2-4ITF0

解得：產(chǎn)；2，

{n=l

貝m2+n2=(-2)2+12=5.

【點評】本題考查了一元二次方程的解，根的判別式，關鍵

是根據(jù)已知條件列出方程組，用到的知識點是一元二次方程

根的情況與判別式△的關系：

(1)△>00方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)△方程有兩個相等的實數(shù)根；

(3)AVOo方程沒有實數(shù)根.

20.為響應黨中央提出的“足球進校園〃號召，我市在今年秋

季確定了3所學校為我市秋季確定3所學校埃我市足球基地

實驗學校，并在全市開展了中小學足球比賽，比賽采用單循

環(huán)制，即組內每兩隊之間進行一場比賽，若初中組共進行45

場比賽，問初中共有多少個隊參加比賽？

【考點】一元二次方程的應用.

【分析】賽制為單循環(huán)形式(每兩隊之間都賽一場)，每個

小組x個球隊比賽總場數(shù)(x-1),由此可得出方程.

解：設初中組共有x個隊參加比賽，依題意列方程

泰(x-1)=45,

解得：xi=10,X2=-19(不合題意，舍去)，

答：初中組共有10個隊參加比賽.

【點評】此題考查一元二次方程的實際運用，解決本題的關

鍵是讀懂題意，得到總場數(shù)與球隊之間的關系.

21.如圖，在O0中，AB=AC,ZACB=60°.

(1)求證：ZAOB=ZBOC=ZAOC；

(2)若D是窟的中點，求證：四邊形OADB是菱形.

【考點】圓心角、弧、弦的關系；菱形的判定；圓周角定理.

【專題】證明題.

【分析】(1)根據(jù)圓心角、弧、弦的關系，由窟=0得AB=AC,

加上NACB=60。，則可判斷△ABC是等邊三角形，所以

AB-BC-CA,于是根據(jù)圓心角、弧、弦的關系即可得到

ZAOB二NBOC=ZAOC；

(2)連接OD,如圖，由D是品的中點得證而，則根據(jù)圓

周角定理得/AOD=NBOD=ZACB=60°,易得△OAD和

△OBD都是等邊三角形，則OA=ADOD,OB=BD=OD,所

以OA=AD二DB二BO,于是可判斷四邊形OADB是菱形.

證明:(1)VAB=AC,

AB=AC,

?/ZACB=60。，

「.△ABC是等邊三角形，

AB=BC=CA,

ZAOB=ZBOONAOC；

(2)連接0D,如圖，

D是D的中點,

「?AD=BD,

ZAOD=ZBOD=NACB=60°,

X/OD=OA,OD=OB,

△OAD和aOBD都是等邊三角形,

OA=AD=OD,OB=BD=OD,

/.OA二AD二DB=BO,

二?四邊形OADB是菱形.

【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓

中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那

么它們所對應的其余各組量都分別相等.也考查了菱形的判

定、等邊三角形的判定與性質和圓周角定理.

22.已知關于x的一元二次方程X2-(2m+l)x+m(m+1)

=0.

(1)求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根;

(2)若^ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數(shù)

根，且BC=8,當△ABC為等腰三角形時，求m的值.

【考點】根的判別式；根與系數(shù)的關系；等腰三角形的性質.

【分析】(1)先根據(jù)題意求出^的值，再根據(jù)一元二次方程

根的情況與判別式△的關系即可得出答案；

(2)根據(jù)△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實

數(shù)根，設AB=xi=8,得出82-8(2m+l)+m(m+1)=0,求

出m的值即可.

解：(1)-/△=[-(2m+l)]2-4m(m+1)=1>0,

「?不論m為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)由于無論m為何值，方程恒有兩個不等實根，故若要

△ABC為等腰三角形，那么必有一個解為8；

設AB=xi=8,則有：

82-8(2m+l)+m(m+1)=0,即：m2-15m+56=0,

解得：mi=7,012=8.

則當△ABC為等腰三角形時，m的值為7或8.

【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與

判別式△的關系：

(1)△>00方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)△方程有兩個相等的實數(shù)根；

(3)△<0=方程沒有實數(shù)根.

23.如圖，0為正方形ABCD對角線上一點，以點。為圓

心，0A長為半徑的。。與BC相切于點E.

(1)求證：CD是。0的切線；

(2)若正方形ABCD的邊長為10,求。0的半徑.

【考點】切線的判定；正方形的性質.

【分析】(1)首先連接OE,并過點。作OF_LCD,由OA

長為半徑的。。與BC相切于點E,可得OE=OA,OE±BC,

然后由AC為正方形ABCD的對角線，根據(jù)角平分線的性質,

可證得OF=OE=OA,即可判定CD是。O的切線；

(2)由正方形ABCD的邊長為10,可求得其對角線的長，

然后由設OA=r,可得OE=EC=r,由勾股定理求得OC=

則可得方程r+揚=10亞，繼而求得答案.

(1)證明：連接OE,并過點。作OF_LCD.

vBC切。O于點E,

/.OE±BC,OE=OA,

又二AC為正方形ABCD的對角線，

ZACB二NACD,

OF=OE=OA,

即：CD是。O的切線.

(2)解：:正方形ABCD的邊長為10,

AB=BC=10,ZB=90°,ZACB=45°,

AC=7AB2+BC2=1OV2,

?/OE±BC,

OE=EC,

設OA=r,則OE=EC=r,

OC=VOE2+EC2=V2T,

?/OA+OC=AC,

r+A/2T=10V2,

解得：r=20-IOV2.

OO的半徑為：20-10^2.

【點評】此題考查了切線的判定、正方形的性質、角平分線

的性質以及勾股定理.注意準確作出輔助線是解此題的關

鍵.

24.某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月

可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月

少賣10件（每件售價不能高于65元）.設每件商品的售價

上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關系式并直接寫出自變量x的取值范

圍；

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利

潤？最大的月利潤是多少元？

（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200

元？根據(jù)以上結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個

月的利潤不低于2200元？

【考點】二次函數(shù)的應用.

【專題】綜合題.

【分析】（1）根據(jù)題意可知y與x的函數(shù)關系式.

（2）根據(jù)題意可知y=-10-（x-5.5）2+2402.5,當x=5.5

時y有最大值.

（3）設y=2200,解得x的值.然后分情況討論解.

解：（1）由題意得：y=（50+X-40）

=-10X2+110X+2100（0VXW15且x為整數(shù)）;

（2）由（1）中的y與x的解析式配方得：y=-10（x-5.5）

2+2402.5.

Va=-10<0,.?.當x=5.5時，y有最大值2402.5.

V0<x<15,且x為整數(shù)，

當x=5時，50+x=55,y=2400（元），當x=6時，50+x=56,

y=2400（元）

.??當售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的

月利潤是2400元.

（3）當y=2200時，-10x2+110x+2100=2200,解得：X1=1,

X2=10.

...當x=l時，50+x=51,當x=10時，50+x=60.

「?當售價定為每件51或60元，每個月的利潤為2200元.

當售價不低于51或60元，每個月的利潤為220