2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷 (56)(含答案解析)

2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷(56)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共12小題，共60.()分)

1.設(shè)集合力={司-13x33},8={用0＜刀＜4},則41)8=()

A.[-1,4)B.[-1,3)C.(0,3]D.(0,3)

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)捻所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,-1),，是虛數(shù)單位，則z=()

A.-3—iB.-3+iC.3—iD.3+i

3.甲、乙、丙、丁四人，只有一人是說謊者.

甲說：乙丙說真話;

乙說：甲丁有一人說假話；

丙說：我說真話；

丁說：我說真話.

判定四人中，說謊者是()

A.甲B.乙C.丙D.T

4.2017年2月20日，摩拜單車在濟(jì)南推出“做文明騎士，周一摩拜單車免費(fèi)騎”

H7,*

活動(dòng)，為了解單車使用情況，記者隨機(jī)抽取了五個(gè)投放區(qū)域，統(tǒng)計(jì)了半小時(shí)

內(nèi)被騎走的單車數(shù)量，繪制了如圖所示的莖葉圖，則該組數(shù)據(jù)的方差為()

A.9B.4C.3D.2

5.已知拋物線C:/=2py(p＞0)的準(zhǔn)線/與圓M:(x-I/+(y-2)2=16相切,

則p=()

A.6B.8C.3D.4

6.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S-4BCD,該四棱錐的體積為延,

3

則該半球的體積為()

AV2

A.—7T

3

B.』

3

C.V2TT

n4四

1J.——371

%—2y+1>0

7.若，y滿足約束條件x+y+120，貝Uz=乎的取值范圍為（）

x-y-1<0

44.

A.[ORB.（—co,-2]U[-,4-oo）

C.[-2,|]D.（_8,_3“2,+8）

8.在△ABC中，已知AB=VL4C，NB=30。，則NA=（）

A.45°B,15°C.45°或135°D.15°或105°

9.已知雙曲線（7：?—，=19>0）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,則雙曲線。的虛軸長(zhǎng)為（）

A.3B.6C.2V5D.2>/21

10.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積為（）

A.V3+6V2+2V6B.V3+672+476

C.6V3+4V6D.5V3+4V6

11.4男2女排成一排，要求男生必須相鄰的不同排法有（）

A.144種B.120種C.480種D.48種

12.已知函數(shù)/0）=治/，X]，犯為兩不同實(shí)數(shù)，當(dāng)/（乙）=八支2）時(shí)，有（）

A.x-i+x2>0B.%1+x2<0C.%!+x2=0D.無法確定

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

3x2—4,x>0

x+2,x=0，貝Ilf（/■（：））=.

（—l,x<0

2

14.設(shè)1+cos0=3sin9cosdf貝.

15.已知四=(1,一1),前=(2,0)，則向量四在前方向上的投影為.

16.對(duì)于函數(shù)f(x)=1inx，sinx|cosx,關(guān)列結(jié)論：

①該函數(shù)的圖象關(guān)于J2Ar+?keZ)對(duì)稱；

②當(dāng)且僅當(dāng)/斤+：依62)時(shí)，該函數(shù)取得最大值1；

③該函數(shù)是以“為最小正周期的周期函數(shù)；

④當(dāng)且僅當(dāng)2/OT+7T<X<2/C7T+^-(/ceZ)W,-^</(x)<0.

N2

其中正確的是.(填序號(hào))

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.已知等差數(shù)列｛斯｝的公差為d(d00),%,a2,。4恰為等比數(shù)列［%］的前3項(xiàng)，且/=8

(1)求數(shù)列｛%｝,｛b］的通項(xiàng)公式;

(2)令d=an-bn,求數(shù)列｛”｝的前n項(xiàng)和Sn.

18.如圖，在四棱錐P—4BC0中，底面ABC。為矩形且4。=2AB,側(cè)面PAO1底面ABCD,且側(cè)

面PAO是正三角形，E是4。中點(diǎn).

(1)證明：CE1平面PBE：

(2)求二面角D-PC-B的余弦值.

19.某高中政教處為了調(diào)查學(xué)生對(duì)“一帶一路”的關(guān)注情況，在全校組織了“一帶

成績(jī)

一路知多少”的知識(shí)問卷測(cè)試，并從中隨機(jī)抽取了12份問卷，得到其測(cè)試成52

6378

績(jī)(百分制)的莖葉圖如下：72666

828

(1)寫出該樣本的中位數(shù)，若該校共有3000名學(xué)生，試估計(jì)該校測(cè)試成績(jī)?cè)?0934

分以上的人數(shù)；

(2)從所抽取的70分以上的學(xué)生中再隨機(jī)選取4人，記f表示測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)，求f的

分布列和數(shù)學(xué)期望

20.已知橢圓C：盤+《=l(a>b>0)的焦距為4vL短半軸長(zhǎng)為2,過點(diǎn)P(-2,l)斜率為1的直線

/與橢圓C交于4,B點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求弦A8的長(zhǎng).

21.已知函數(shù)/(x)=ax+彳—Inx+l(ae/?).

(1)討論/Q)的單調(diào)性

(2)當(dāng)xe(0,1)時(shí)，若不等式f(x)<1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

22.在直角坐標(biāo)系X。)，中，圓G：%2+y2=4,圓C2：(x—2)2+y2=4.

(1)在以。為極點(diǎn)，尤軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓G，的極坐標(biāo)方程，并求出

圓G，。2的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)：

(2)求出G與C2的公共弦的參數(shù)方程.

23.已知函數(shù)f(%)=|x+1|-a\x-1|.

⑴當(dāng)a=一2時(shí),解不等式/(x)>5；

(2)若/(%)￡+3|,求。的最小值.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：解：,集合4={x|-1WxW3},B={x|0<x<4},

???4UB={久|-1Wx<4}=[-1,4).

故選：A.

先分別求出集合A,B,由此能求出4UB.

本題考查并集的求法，考查并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.答案：D

解析：

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)復(fù)數(shù)捻在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,-1)可得捻=2-1,化簡(jiǎn)即可求出z.

解：因?yàn)閺?fù)數(shù)捻在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,-1),

所以捻=2—i,

所以z=(l+i)(2-i)=3+i.

故選D

3.答案：D

解析：

本題考查合情推理中的歸納推理，屬于基礎(chǔ)題.

經(jīng)過推理即可得結(jié)果.

解：(1)若丙說謊話，則甲也說謊話，與條件不符，故丙說真話：

(2)若乙說謊話，則甲也說謊話，與條件不符，故乙說真話；

(3)由(1)(2)知：甲說真話;

(4)故丁說謊話.

故選D

4.答案：B

解析：解，由莖葉圖得，該組數(shù)據(jù)分別是：

87,89,90,91,93,

平均數(shù)是：90,

故方差S2=：(9+1+0+1+9)=4,

故選：B.

求出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，代入方差公式計(jì)算即可.

本題考查了莖葉圖的讀法，考查求數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差問題，是一道基礎(chǔ)題.

5.答案：D

解析：

本題考查拋物線與圓的幾何性質(zhì)，考查推理論證和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

由得到拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)準(zhǔn)線與圓相切，得到〃的方程，解得p的值即可.

解：拋物線C：%2=2「、的準(zhǔn)線為丫=一看

因?yàn)闇?zhǔn)線/與圓M：(x-l)2+(y—2/=16相切，

所以9+2=4,則p=4.

故選D.

6.答案：D

解析:

本題主要考查了球的體枳的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)出球的半徑，利用棱錐的體積公式，求解半徑，然后求解半球的體積.

解：設(shè)所給半球的半徑為R,則棱錐的高八=R,

底面正方形中有AB=BC=CD=DA=魚R，

所以其體積|收=華,則收=20

于是球的體積為聯(lián)輛

則半球的體積為L(zhǎng)i，=色27T.

23

故選D.

7.答案：B

解析:

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，

轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)

算能力.

解：根據(jù)已知，畫可行域如圖，

z=■表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（無,y）與點(diǎn)P（0,-2）連線的

斜率,

由｛[:二解得：力（3,2），

由｛：^；+\==°0解得：C（T°）,

2+2_4

^AP

3-3‘

降=等=-2,

可知點(diǎn)Q,y）與點(diǎn)P連線的斜率的范圍是（一8,-2]U色+8）.

所以Z=等的取值范圍是（-8,—2]U扇+8）.

故選：B.

8.答案：D

解析：解：NB=30。，

由正弦定理芻=會(huì)，可得：sinC="變里=%竭=立，

sinCsinB4cAC2

.?.由CG(0,180°),可得：C=45°,或135°.

???可得：A=180°-B-C=105°,或15°.

故選：D.

由正弦定理可解得sinC,結(jié)合范圍C€（0,180。），可得C,利用三角形內(nèi)角和定理即可求A的值.

本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：B

解析：

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)到直線的距離，得到方程，求出b即可.

解：雙曲線C：9一\=1偌＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)（斤中,0）,一條漸近線方程為：bx+2y=0,

雙曲線C：=1（匕＞0）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,

可得：^^=3,可得b=3,

則雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為：6.

故選民

10.答案：D

解析：

本題考查幾何體的三視圖及棱錐的側(cè)面積的計(jì)算，屬于中檔題目.

還原三視圖，進(jìn)行線面位置關(guān)系分析，進(jìn)而求得結(jié)果.

解：如圖，該幾何體為三棱錐，其中PC,底面ABC,|PC|=2通，。為AB中點(diǎn),

可求得|PD|=J（2V6）2+1=5-

所以該三棱錐的側(cè)面積為S=2V6x2xix2+2V3x5x|=5V3+4后.

故選D.

11.答案：A

解析：

根據(jù)題意，根據(jù)題意，分2步分析：①、將4名男生看成一個(gè)整體，考慮其順序，②、將這個(gè)整體

與2名女生全排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意相鄰問題用捆綁法分析，為基礎(chǔ)題.

解：根據(jù)題意，分2步分析：

①、將4名男生看成一個(gè)整體，考慮其順序，有用=24種情況,

②、將這個(gè)整體與2名女生全排列，有&=6種排法，

則男生必須相鄰的排法有6x24=144種；

故選：A.

12.答案：B

解析：解：當(dāng)*<1時(shí)，由于^<。，ex>0,得到

/(%)>0；同理，當(dāng)x>1時(shí)，/(%)<0.

當(dāng)/(%[)=/(X2)(%1。%2)時(shí),不妨設(shè)%1<%2?

由題意可知：

%iG(-oo,0),x2G(0,1).

下面證明：Vxe(0,1),/(%)</(-%),即證

(l-x)ex-^<0.

-3

令9(X)=(1-x)ex~譽(yù)，則g'(%)=-xe~x(e2x—1).

當(dāng)％G(0,1)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，???g(x)<g(0)=0.

即(1—x^ex—<0.

???VxG(0,1),/(%)</(—x).

而％(一%

2€(0,1)，???f(x2)<f2)?

從而，/01)V/(—%2)?

由于%1，€(-00,在(-上單調(diào)遞增,

-x20),f(%)8,0)

:.<—%2，即+%2<0.

故選：B.

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.

本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵.

13.答案：—1

解析:

本題考查分段函數(shù)求值，比較基礎(chǔ).

根據(jù)已知分段函數(shù)求解即可.

,3x2-4,x>0

解：f(x)=x+2,x=0,

.-1,x<0

則f0=>4=_果

所以/(/?))=/(-蜉)=T.

故答案為-1.

14.答案：1或2

解析:

本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知表達(dá)式，然后求解方程即可.

解：由1+cos29=3sin9cos0,

變形得siM。+2cos2。—3sindcos9=0,

=>(sin0—2cos6)^sin9—cos。)=0,

Atand=2或1.

故答案為1或2.

15.答案：I

解析：由條件可知，^F-4C=lx2+(-l)xO=2，|而|=2,

所以向量近在前方向上的投影為甯=1.

\AC\

故答案為：1.

根據(jù)投影公式鬻進(jìn)行計(jì)算即可.

本題考查了投影的概念以及利用平面向量數(shù)量積進(jìn)行投影計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

16.答案：①④

解析：

本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔.

畫出函數(shù)/(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合分析各個(gè)命題的真假，可得答案.

'、'Icosx,sinx<cosx

解：函數(shù)/(x)=1%學(xué).亍然:的圖象如下圖所示：

J'Lcosx,sinx<cosx

①該函數(shù)的圖象關(guān)于％=2k兀+?代62)對(duì)稱；故正確；

②當(dāng)％=2/OT,或x=2kTT+m(keZ￥；K該函數(shù)取得最大值1；故錯(cuò)誤；

③該函數(shù)是以27r為最小正周期的周期函數(shù)；故錯(cuò)誤；

④當(dāng)且僅當(dāng)2k7r+7r<x<2k7r+苧(/ceZ9,-當(dāng)4/(x)<0，故正確;

故答案為：①④.

17.答案：⑴解:???差數(shù)列｛斯｝的公差為d(d#0),

恰為等比數(shù)列｛%］的前項(xiàng)，

%,a2,(Z43

???(%+d)2=Qi(%+3d7，解得的=d,

.??數(shù)列的公比為又匕解得

｛bn｝2,4=8,8d=8,d=1,

n-1

an=n,bn=2.

解：n-1

(2)cn=anbn=n-2,

2n-1

Sn=1-2°+2?2+3?2+-+n-2,①

23n

2Sn=1-2+2?2+3?2+-+n-2,②

①一②，得一Sn=1+2+2?+…+2"T-n?2n

1-2"?

=--------n-2nn

1-2

=(l-n)?2n-l,

n

**?Sn=(n-1),2+1.

解析：(1)由已知條件推導(dǎo)出(%+d)2=Q](ai+3d)2,解得仰=由從而得到數(shù)列｛匕｝的公比為2,

n-1

又%=8,解得d=1,由此能求出an=?i,bn=2.

n-1

(2)由c九=anbn=n-2,利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列｛7｝的前〃項(xiàng)和Sn.

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前〃項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注

意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用.

18.答案：解：(1)證明：???側(cè)面△P4D是正三角形，E是AD中點(diǎn)，

^PELAD,

???側(cè)面PAD，底面ABCDfMPADn底面48CD=AD,/,匕,；7一

.?.PE_L底面ABCD,:.PE1CE,

???底面48C。是矩形且4。=2AB,

:.AE=DE=AB=CD,

???/,AEB=Z.DEC=45°,

???AAEB+乙DEC=90°,

???乙BEC=90°,?,?BE1CE,

?：PECBE=E,ACE1平面PBE.

(2)解：以E為原點(diǎn)，以EQ,“所在直線，AO的垂直平分線為x,z,y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)=248=2,則點(diǎn)。(1,0,0),C(1J,0),P(0,0,遮),0),

???麗=(1,0,-V3),~PC=(1,1,-V3),而-V3),

設(shè)平面PCB的法向量沆=(%y,z),

則pH?麗=-%+y-\[3z=0

Ini-PC=x+y-A/3Z=0

取2=1,得沅=(0,8,1),

設(shè)平面PCD的法向量記=(a力，c),

n?PD=a—V3c=0

則

n?PC=a+b—V3c=0

取c=l,得亢=(百,0,1),

設(shè)二面角D-PC-B的平面角為。，則。為鈍角,

\mn\1

二面角D-PC-B的余弦值為：cosd

l?n|.|n|一4

解析：本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

(1)推導(dǎo)出PE_L40,從而PEJ■底面ABC。，PE1CE,AE=DE=AB=CD,BE1CE,由此能證

明CEPBE.

(2)以E為原點(diǎn)，以ED,EP所在直線，AO的垂直平分線為x,z,y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利

用向量法能求出二面角。-PC-B的余弦值.

19.答案：解：(1)由莖葉圖得:

中位數(shù)為76,

測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的頻率為：盤=|

二測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的約為：3000x|=2000A.

(2)由題意可得，f的可能取值為0,1,2,3,4,

P&=o)=等=恭

G8/U

P(f=l)=警/8

35

pff_C.C；_36_18

一)一點(diǎn)一70-35

以盤_16__8_

P代=3)

點(diǎn)—70?35

P(f=4)=誓/

所以4的分布列為:

01234

181881

p

7035353570

???E(9=0X/+1X￡+2X1|+3X￡+4X/2.

解析：⑴由莖葉圖能求出中位數(shù)，求出測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的頻率，由此能測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上

的人數(shù).

(2*的可能取值為0,1,2,3,4,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出f的分布列和數(shù)學(xué)期望.

本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查古典概型概率計(jì)算

公式、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

20.答案：解：⑴由已知可得：2c=45/2,b=2,a2=h2+c2,聯(lián)立解得：c=2-/2>b=2,a2=12.

???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為巨+”=1.

124

(2)直線/的方程為：y—1=x+2,即y=%+3.設(shè)力(%1，%),^(x2,y2).

(y=x+3

聯(lián)立y2化為：4%24-18%+15=0,

I—I—=1

1124

915

???％1+%2=-5，

22

\^B\=V2[(X1+X2)-4X1X2]=J2x[(-|)-4Xy]=苧

解析：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題、一元二次方程的根與系數(shù)的

關(guān)系，屬于中檔題.

(1)由已知可得：2c=4&,b=2,a2=b2+c2,聯(lián)立解得即可得出.

(2)直線/的方程為：y=%+3.設(shè)4(%i，yi),8(電力)，與橢圓方程聯(lián)立化為：4/+18%+15=0,

利用弦長(zhǎng)公式|4B|=+&M-4久62]即可得出?

21.答案：解：(1)/(乃=貯始竺1.

當(dāng)a=0時(shí)1(x)=詈，

???f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)aM00寸，/(乃=a(x-i)(：-詈)

當(dāng)a<0時(shí)，拶<0，

f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<a<}拶>1.??/(>)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,拶)上單調(diào)遞減，在[拶,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a=%/(x)在(0,+8)單調(diào)遞增：

當(dāng):<a<1時(shí)，0<拶<1,二/(x)在(0,與與上單調(diào)遞增，

在(早,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a21時(shí)，拶<0,.?.”￡)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

(2)當(dāng)無e(0,1)時(shí),若不等式f(x)<1恒成立，

???通過(1)可知，①，函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，

???只需/(I)<1,即a+Q—1一仇1+1W1,a<-,

②當(dāng)aN1時(shí)，門》)在(0,1)上單調(diào)遞減，不可能恒成立，

③當(dāng):<a<1時(shí)，/(x)在(0,拶)上單調(diào)遞增，在,1)上單調(diào)遞減，

fMmax=1一。一5一如果a-1時(shí)/(x)max=1-a--Inf>0

???不符合題意，

綜上：當(dāng)x6(0,1)時(shí)，若不等式/'(%)<1恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍：

解析：(1)求