幾何教學(xué)講座

空間與圖形教學(xué)的核心詞是“刻畫圖形”“空間觀念”“推理能力”即學(xué)生在學(xué)習(xí)如何“刻畫圖形”的基礎(chǔ)上，發(fā)展“空間觀念”和“推理能力”。第一頁(yè)第二頁(yè)，共149頁(yè)?？臻g觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言的描述畫出圖形等。第二頁(yè)第三頁(yè)，共149頁(yè)。兒童形成空間觀念的主要心理特點(diǎn)

（1）直觀性

“閉合的區(qū)域”往往比“開放的區(qū)域”更為直觀。如對(duì)三角形的性質(zhì)理解可能會(huì)比對(duì)角的性質(zhì)認(rèn)識(shí)更容易；對(duì)周長(zhǎng)的理解可能會(huì)比面積更容易。正如我們聽到許多教師上《面積與面積單位》時(shí)，總是讓學(xué)生通過自己的手的觸摸來(lái)體驗(yàn)“面”的大小，并與周長(zhǎng)作出對(duì)比，逐步獲得對(duì)“面積”的理解。第三頁(yè)第四頁(yè)，共149頁(yè)。（2）描述性學(xué)生往往傾向于用日常用語(yǔ)來(lái)描述幾何概念，一般說來(lái)，他們尚不能運(yùn)用精確語(yǔ)言來(lái)刻畫數(shù)學(xué)概念，如果用嚴(yán)格的定義來(lái)刻畫，他們往往難以理解。如“圓”：到一個(gè)定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的軌跡。第四頁(yè)第五頁(yè)，共149頁(yè)。（3）漸進(jìn)性

一年級(jí)時(shí)，學(xué)生只能辨認(rèn)長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓形的形狀；二、三年級(jí)時(shí)，學(xué)生不僅能辨認(rèn)長(zhǎng)方形、正方形、梯形、平行四邊形等平面圖形，還能從這些圖形的基本性質(zhì)上分析，并對(duì)圓柱和球也有了初步的認(rèn)識(shí)；到了四、五年級(jí)，能深入地分析圖形的性質(zhì)及關(guān)系；而到了六年級(jí)，學(xué)生則能較好地掌握立體圖形的特征。可見學(xué)生對(duì)圖形的掌握及空間觀念的發(fā)展都是一個(gè)漸變的過程。第五頁(yè)第六頁(yè)，共149頁(yè)。（4）偏重于明顯特征

對(duì)“角”的本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)，往往會(huì)集中在組成角的兩條邊的長(zhǎng)短上，而忽視兩條邊的“張開”程度，也是因?yàn)檫叺拈L(zhǎng)短的視覺刺激明顯要大于兩條邊的“張開”程度。如果拿一個(gè)放大鏡看角時(shí)，角的大小怎樣時(shí)，學(xué)生居然說角會(huì)變大。第六頁(yè)第七頁(yè)，共149頁(yè)。（5）偏重于單個(gè)要素幾何圖形分為單個(gè)要素和要素之間關(guān)系兩個(gè)方面。小學(xué)生容易觀察圖形中的單個(gè)要素，而當(dāng)圖形的特征反映要素間的關(guān)系時(shí)，他們就感到比較困難。例如對(duì)長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形的特點(diǎn)比較容易理解，但對(duì)他們之間的關(guān)系往往不容易理解。第七頁(yè)第八頁(yè)，共149頁(yè)。（6）從標(biāo)準(zhǔn)圖形到變式圖形

一位老師在上《三角形的認(rèn)識(shí)》時(shí)，為了讓學(xué)生更好地理解“高”的概念，她先從一個(gè)正放的三角形入手，讓學(xué)生畫高；接著她把這個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)一下，變成倒放的三角形了，問學(xué)生這還是不是三角形的高，學(xué)生就覺得它不是高了?？梢妼W(xué)生對(duì)圖形的識(shí)別還僅僅依賴于標(biāo)準(zhǔn)形式，一旦變成了“變式圖形”，學(xué)生識(shí)別起來(lái)就比較困難了。第八頁(yè)第九頁(yè)，共149頁(yè)。（7）偏重對(duì)稱圖形（8）從二維空間到三維空間第九頁(yè)第十頁(yè)，共149頁(yè)。“圖形與幾何”的主要內(nèi)容有：空間和平面基本圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng)。第十頁(yè)第十一頁(yè)，共149頁(yè)。圖形與幾何加強(qiáng)：1、測(cè)量（估測(cè)）

如：能用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積。2、物體空間位置的確定。3、二維與三維圖形間的轉(zhuǎn)換（三視圖、展開圖）削弱：?jiǎn)渭兊钠矫鎴D形周長(zhǎng)、面積、體積等計(jì)算。（不能有效發(fā)展空間觀念）第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共149頁(yè)。一年級(jí)上冊(cè)初步認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球等立體圖形以及長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓等平面圖形一年級(jí)下冊(cè)位置，圖形的拼組二年級(jí)上冊(cè)角的初步認(rèn)識(shí)、直角的認(rèn)識(shí)，觀察物體（一個(gè)物體）軸對(duì)稱、鏡面對(duì)稱二年級(jí)下冊(cè)銳角與鈍角、平移與旋轉(zhuǎn)三年級(jí)上冊(cè)四邊形、平行四邊形，長(zhǎng)正方形的周長(zhǎng)、估計(jì)三年級(jí)下冊(cè)位置與方向（八個(gè)），面積和面積單位、長(zhǎng)正方形的面積計(jì)算、面積進(jìn)率、地積四年級(jí)上冊(cè)角的度量、分類、畫角，垂直與平行、平行四邊形和梯形四年級(jí)下冊(cè)位置與方向（方向角度距離），三角形的特性、分類、內(nèi)角和、圖形的拼組五年級(jí)上冊(cè)觀察位置（兩個(gè)物體），平行四邊形、三角形、梯形、組合圖形的面積計(jì)算五年級(jí)下冊(cè)圖形的變換、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)，長(zhǎng)正方體的認(rèn)識(shí)、表面積、體積、體積單位、容積和容積單位六年級(jí)上冊(cè)位置（數(shù)對(duì)），圓的認(rèn)識(shí)、周長(zhǎng)、面積、圓環(huán)六年級(jí)下冊(cè)圓柱、圓錐的認(rèn)識(shí)、表面積、體積，圖形的放大與縮小第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共149頁(yè)。圖形的認(rèn)識(shí)圖形的測(cè)量圖形的變換圖形與位置一年級(jí)上冊(cè)初步認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球等立體圖形以及長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓等平面圖形一年級(jí)下冊(cè)圖形的拼組長(zhǎng)度單位上下、前后、左右、位置二年級(jí)上冊(cè)角的初步認(rèn)識(shí)、直角的認(rèn)識(shí)觀察物體（一個(gè)物體）軸對(duì)稱、鏡面對(duì)稱二年級(jí)下冊(cè)銳角與鈍角平移與旋轉(zhuǎn)三年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)四邊形平行四邊形、長(zhǎng)正方形的周長(zhǎng)、估計(jì)三年級(jí)下冊(cè)面積和面積單位、長(zhǎng)正方形的面積計(jì)算、面積進(jìn)率、地積位置與方向（八個(gè)）四年級(jí)上冊(cè)垂直與平行、平行四邊形和梯形的認(rèn)識(shí)角的度量、分類、畫角，四年級(jí)下冊(cè)三角形的特性、分類、內(nèi)角和、圖形的拼組位置與方向（方向角度距離），五年級(jí)上冊(cè)平行四邊形、三角形、梯形、組合圖形的面積計(jì)算觀察位置（兩個(gè)物體）五年級(jí)下冊(cè)長(zhǎng)正方體的認(rèn)識(shí)、表面積、體積、體積單位、容積和容積單位圖形的變換、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)，六年級(jí)上冊(cè)圓的認(rèn)識(shí)、圓環(huán)圓的周長(zhǎng)、面積位置（數(shù)對(duì)）六年級(jí)下冊(cè)圓柱、圓錐的認(rèn)識(shí)圓柱、錐的表面積、體積，圖形的放大與縮小第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共149頁(yè)。直觀幾何：平面圖形，立體圖形的認(rèn)識(shí)

度量幾何：求面積、體積的問題

演繹幾何：三角形的兩邊之和大于第三邊運(yùn)動(dòng)幾何：平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、放大、縮小，變換坐標(biāo)幾何：位置

實(shí)際上是從不同角度刻畫圖形，包括圖形的形狀、大小、位置和運(yùn)動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共149頁(yè)。圖形的認(rèn)識(shí)教學(xué)策略第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共149頁(yè)。圖形的認(rèn)識(shí)一年級(jí)上冊(cè)初步認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球等立體圖形以及長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓等平面圖形一年級(jí)下冊(cè)圖形的拼組二年級(jí)上冊(cè)角的初步認(rèn)識(shí)、直角的認(rèn)識(shí)二年級(jí)下冊(cè)銳角與鈍角三年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)四邊形四年級(jí)上冊(cè)垂直與平行、平行四邊形和梯形的認(rèn)識(shí)四年級(jí)下冊(cè)三角形的特性、分類、內(nèi)角和、圖形的拼組五年級(jí)下冊(cè)長(zhǎng)正方體的認(rèn)識(shí)、六年級(jí)上冊(cè)圓的認(rèn)識(shí)、圓環(huán)六年級(jí)下冊(cè)圓柱、圓錐的認(rèn)識(shí)看教材第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共149頁(yè)。一、抓住圖形的認(rèn)識(shí)的內(nèi)容主線1.從立體到平面再到立體2.從生活中的實(shí)物抽象出圖形到應(yīng)用于生活3.從直觀辨認(rèn)圖形到操作探索圖形的特征4.從直邊圖形到曲邊圖形5.從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共149頁(yè)。二、設(shè)計(jì)豐富的素材促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行平面和立體的轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化的內(nèi)容主要有：立體圖形的展開與平面圖形的折疊；從正面、側(cè)面、上面等觀察立體圖形得到平面圖形與根據(jù)觀察到的圖形還原立體圖形；長(zhǎng)方形繞長(zhǎng)或?qū)捫D(zhuǎn)一周形成圓柱“切割”得到長(zhǎng)方形，直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐與圓錐“切割”得到三角形。第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共149頁(yè)。圖形之間的轉(zhuǎn)換第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共149頁(yè)。生活的經(jīng)驗(yàn)圖形之間的轉(zhuǎn)換第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共149頁(yè)。圖形之間的轉(zhuǎn)換平面圖形之間的轉(zhuǎn)換。第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共149頁(yè)。來(lái)源：人教版配套五年級(jí)暑假作業(yè)思考題：一個(gè)梯形，如果上底增加4cm，就變成一個(gè)平行四邊形；如果上底減少3cm，就成了一個(gè)三角形，這時(shí)面積比原來(lái)減少了7.5平方厘米。原來(lái)這個(gè)梯形的面積是多少平方厘米？第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共149頁(yè)。圖形之間的轉(zhuǎn)換二維和三維之間的轉(zhuǎn)換。第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共149頁(yè)。在下列圖形中，哪兩條線段是相互平行的？哪兩條線段是相互垂直的？第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共149頁(yè)。在下列圖形中，哪兩條線段是相互平行的？哪兩條線段是相互垂直的？七巧板長(zhǎng)方體第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共149頁(yè)。一條線段長(zhǎng)5厘米，以每秒10厘米的速度向右平移，3秒鐘后，線段掃過的部分的面積是多少？第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共149頁(yè)。觀點(diǎn)與啟示

GUANDIANYUQISHI學(xué)習(xí)開始的地方不一定在課堂？重視日常生活中圖形與圖形之間的轉(zhuǎn)換，這些基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累為學(xué)校課堂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是奠定基礎(chǔ)。轉(zhuǎn)換并不一定是在一個(gè)維度上？一維、二維和三維之間的相互轉(zhuǎn)換，恰是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有益舉措。第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共149頁(yè)。三、注重使學(xué)生體會(huì)圖形與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共149頁(yè)。欣賞：建筑中的圖形。2010世博會(huì)陽(yáng)光谷2008奧運(yùn)會(huì)水立方第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共149頁(yè)。欣賞：建筑中的圖形。香港中銀大廈美國(guó)五角大樓第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共149頁(yè)。四、鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理、表達(dá)等活動(dòng)先觀察——猜想——操作驗(yàn)證——表達(dá)特征第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共149頁(yè)。當(dāng)你把一張長(zhǎng)方形的紙裁成一個(gè)正方形時(shí)，你想過這里面有幾何知識(shí)嗎？第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共149頁(yè)。三角形內(nèi)角和練習(xí)題老師撕了4個(gè)不同的三角形，分別為等邊三角形、等腰三角形、直角三角形和三條邊等不相等的三角形，得到12個(gè)角，分別為60度、20度、80度、110度、40度、90度、60度、50度、70度、60度、50度、30度。這四個(gè)三角形每個(gè)角分別是多少度？第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共149頁(yè)。分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常會(huì)遇到分類問題，如數(shù)的分類，圖形的分類，代數(shù)式的分類，函數(shù)的分類等。在研究數(shù)學(xué)問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對(duì)事物共性的抽象過程。教學(xué)活動(dòng)中，要使學(xué)生逐步體會(huì)為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，在分類的過程中如何認(rèn)識(shí)對(duì)象的性質(zhì)，如何區(qū)別不同對(duì)象的不同性質(zhì)。通過多次反復(fù)的思考和長(zhǎng)時(shí)間的積累，使學(xué)生逐步感悟分類是一種重要的思想。學(xué)會(huì)分類，可以有助于學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于分析和解決新的數(shù)學(xué)問題。五、重視圖形分類的價(jià)值第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共149頁(yè)。引導(dǎo)學(xué)生借助操作思考下面的問題：哪些東西可以滑動(dòng)，哪些東西可以滾動(dòng)？哪些是平的，哪些是曲的？哪些是直的變？哪些是曲的邊？哪些面是方形的，那些面是三角的，那些面是圓的？哪些有點(diǎn)或角，哪些沒有？第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共149頁(yè)。六、鼓勵(lì)學(xué)生從動(dòng)態(tài)的角度認(rèn)識(shí)圖形第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共149頁(yè)。小魔術(shù)(剪一剪)：活動(dòng)要求：每個(gè)圖形只許剪一刀。1、將平行四邊形剪成兩個(gè)圖形，其中一個(gè)為梯形。2、將梯形剪成兩個(gè)圖形，其中一個(gè)為平行四邊形。3、將任意四邊形剪成兩個(gè)圖形，其中一個(gè)為梯形。4、將梯形剪為兩個(gè)三角形。5、將三角形剪成一個(gè)梯形和一個(gè)三角形。圓（課件）圓（教案）平行第三十七頁(yè)第三十八頁(yè)，共149頁(yè)。圖形的測(cè)量的教學(xué)策略第三十八頁(yè)第三十九頁(yè)，共149頁(yè)。圖形的測(cè)量一年級(jí)下冊(cè)長(zhǎng)度單位三年級(jí)上冊(cè)平行四邊形、長(zhǎng)正方形的周長(zhǎng)、估計(jì)三年級(jí)下冊(cè)面積和面積單位、長(zhǎng)正方形的面積計(jì)算、面積進(jìn)率、地積四年級(jí)上冊(cè)角的度量、分類、畫角，五年級(jí)上冊(cè)平行四邊形、三角形、梯形、組合圖形的面積計(jì)算五年級(jí)下冊(cè)表面積、體積、體積單位、容積和容積單位六年級(jí)上冊(cè)圓的周長(zhǎng)、面積六年級(jí)下冊(cè)圓柱、錐的表面積、體積，看教材第三十九頁(yè)第四十頁(yè)，共149頁(yè)。重視建立測(cè)量單位的必要性，注重單位的實(shí)際意義，重視估測(cè)及其在現(xiàn)實(shí)生活中的作用，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生在測(cè)量過程中，根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的測(cè)量方法和工具。第四十頁(yè)第四十一頁(yè)，共149頁(yè)。一、在具體情境中，注重對(duì)所測(cè)量的量的實(shí)際意義的理解10cm6cm生：我發(fā)現(xiàn)它們的大小不一樣，但是它們的面積應(yīng)該是一樣的。教學(xué)中應(yīng)該重視結(jié)合一些具體的情境，使學(xué)生對(duì)所要測(cè)量的量（如長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積、體積）的實(shí)際意義加以體會(huì)。第四十一頁(yè)第四十二頁(yè)，共149頁(yè)。小明用同樣長(zhǎng)的兩根鐵絲圍成了甲乙兩個(gè)圖形，比較它們的面積，那么（）。A.甲比乙大B.乙比甲大C.一樣大D無(wú)法比較第四十二頁(yè)第四十三頁(yè)，共149頁(yè)。學(xué)生在觀察圖形時(shí)，往往是圖形的邊線和圖形的面同時(shí)看到，不易剝離。在一般情況下，學(xué)生遇到的例子都是周長(zhǎng)大的面積就大。教學(xué)中往往強(qiáng)調(diào)公式，不夠重視對(duì)周長(zhǎng)和面積意義的理解。第四十三頁(yè)第四十四頁(yè)，共149頁(yè)。教學(xué)中，教師應(yīng)設(shè)計(jì)豐富多彩的活動(dòng)，使學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)、面積、體積等所測(cè)量的量有比較豐富的體驗(yàn)，而不是很快進(jìn)入到公式的學(xué)習(xí)。如：描一描圖形的邊線、摸一摸圖形的面等活動(dòng)。教材在長(zhǎng)、正方形周長(zhǎng)學(xué)完之后，直到圓才又一次探索圓的周長(zhǎng)，可以在學(xué)習(xí)三角形、平行四邊形時(shí)，有意識(shí)地讓學(xué)生求一求周長(zhǎng)，將二者加以區(qū)分。教師可以設(shè)計(jì)一些實(shí)際問題，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題及對(duì)周長(zhǎng)和面積的理解，選擇是用周長(zhǎng)還是用面積來(lái)解決實(shí)際問題，第四十四頁(yè)第四十五頁(yè)，共149頁(yè)。比較距離。B第四十五頁(yè)第四十六頁(yè)，共149頁(yè)。比較周長(zhǎng)。第四十六頁(yè)第四十七頁(yè)，共149頁(yè)。圖形的面積與周長(zhǎng)變化下圖中的小方格每邊長(zhǎng)表示1分米，在圖1的基礎(chǔ)上，增加了2個(gè)小方格（如圖2,圖3），整個(gè)圖的面積分別增加了多少？周長(zhǎng)增加了多少？圖1圖2圖3第四十七頁(yè)第四十八頁(yè)，共149頁(yè)。增加一個(gè)小正方體，表面積比原來(lái)增加還是減少？第四十八頁(yè)第四十九頁(yè)，共149頁(yè)。拿掉一個(gè)小立方塊，表面積比原來(lái)增加還是減少？第四十九頁(yè)第五十頁(yè)，共149頁(yè)。觀點(diǎn)與啟示

GUANDIANYUQISHI不作具體計(jì)算而比較面積的大小和距離的長(zhǎng)短，是空間知覺能力的反應(yīng)。比較大小和長(zhǎng)短，不是單憑視覺所做的判斷，而是借助具有參照意義的單位來(lái)判斷，或者找到相互之間的關(guān)系來(lái)判斷。在變化中，尋找變與不變的數(shù)量，既是空間知覺的鍛煉，也是辯證關(guān)系的滲透。第五十頁(yè)第五十一頁(yè)，共149頁(yè)。二、經(jīng)歷用不同方式進(jìn)行測(cè)量的過程，體會(huì)測(cè)量的意義第五十一頁(yè)第五十二頁(yè)，共149頁(yè)。教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)一些活動(dòng)，使學(xué)生體會(huì)到度量的意義。實(shí)際上測(cè)量的一個(gè)基本想法是：首先要有一個(gè)單位，為了交流，這個(gè)單位要統(tǒng)一；其次是用通的單位，一個(gè)單位一個(gè)單位去量；在量的過程中，要滿足一定的性質(zhì)：如可加性。教師應(yīng)提供大量實(shí)際測(cè)量的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生選擇不同的方法進(jìn)行測(cè)量，并在彼此交流的過程中體會(huì)到建立統(tǒng)一的測(cè)量單位的必要性。這些活動(dòng)應(yīng)在測(cè)量長(zhǎng)度、測(cè)量面積、體積、角度中不斷設(shè)計(jì)滲透。第五十二頁(yè)第五十三頁(yè)，共149頁(yè)。第五十三頁(yè)第五十四頁(yè)，共149頁(yè)。第五十四頁(yè)第五十五頁(yè)，共149頁(yè)。第五十五頁(yè)第五十六頁(yè)，共149頁(yè)。1、請(qǐng)每個(gè)小組選擇一種你們認(rèn)為合適的圖形嘗試作為面積單位，去測(cè)量下面長(zhǎng)方形的面積，看看長(zhǎng)方形的面積有幾個(gè)這樣的圖形？2、思考并討論：哪個(gè)圖形作為面積單位比較合適？被測(cè)對(duì)象：嘗試面積單位圖形：實(shí)驗(yàn)要求：第五十六頁(yè)第五十七頁(yè)，共149頁(yè)。無(wú)法確定用測(cè)量用測(cè)量用測(cè)量用測(cè)量16個(gè)長(zhǎng)方形16個(gè)三角形18個(gè)正方形8個(gè)正方形第五十七頁(yè)第五十八頁(yè)，共149頁(yè)。三、借助熟悉的事物體會(huì)單位的實(shí)際意義學(xué)生需要通過實(shí)際活動(dòng)建立對(duì)測(cè)量單位實(shí)際意義的體驗(yàn)。比如，生活中哪些物體的長(zhǎng)度大約是1米，哪些物體表面的面積大約是1平方米，哪些物體的體積大約是1立方米。第五十八頁(yè)第五十九頁(yè)，共149頁(yè)。1平方分米1平方米1平方厘米常用的面積單位：第五十九頁(yè)第六十頁(yè)，共149頁(yè)。對(duì)測(cè)量單位的體驗(yàn)把能想到的長(zhǎng)度、面積、體積單位盡可能列出來(lái)，并按照測(cè)量的特征將這些單位分類。對(duì)于每個(gè)單位，試著想出一些與這個(gè)單位大小相近的物體的例子。鼓勵(lì)學(xué)生觀察生活中的物體，對(duì)某一物體的多種測(cè)量屬性加以分析，并分別將它們與標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量單位機(jī)型比較。第六十頁(yè)第六十一頁(yè)，共149頁(yè)。四、選擇適當(dāng)?shù)臏y(cè)量單位和工具進(jìn)行測(cè)量，積累測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)測(cè)量的一個(gè)重要目的是能在實(shí)際的測(cè)量過程中運(yùn)用這些知識(shí)，而完整的測(cè)量過程絕不僅僅等同于根據(jù)刻度記錄下測(cè)量結(jié)果，它還包括根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的測(cè)量工具。第六十一頁(yè)第六十二頁(yè)，共149頁(yè)。四、選擇適當(dāng)?shù)臏y(cè)量單位和工具進(jìn)行測(cè)量，積累測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)學(xué)生應(yīng)在親身實(shí)踐中積累選擇測(cè)量單位和測(cè)量工具的經(jīng)驗(yàn)。在測(cè)量的學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)始終重視估測(cè)的重要性。如讓學(xué)生測(cè)教室的面積。第六十二頁(yè)第六十三頁(yè)，共149頁(yè)。五、探索基本圖形的周長(zhǎng)、面積、體積公式，并能應(yīng)用公式解決實(shí)際問題讓學(xué)生經(jīng)歷基本圖形的周長(zhǎng)、面積、體積等的計(jì)算方法的探索過程。第六十三頁(yè)第六十四頁(yè)，共149頁(yè)。第六十四頁(yè)第六十五頁(yè)，共149頁(yè)。第六十五頁(yè)第六十六頁(yè)，共149頁(yè)。第六十六頁(yè)第六十七頁(yè)，共149頁(yè)。平行四邊形的面積推導(dǎo)第六十七頁(yè)第六十八頁(yè)，共149頁(yè)。平行四邊形的面積推導(dǎo)一般的特殊的第六十八頁(yè)第六十九頁(yè)，共149頁(yè)。為了轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，所以要沿著高剪。是不是不同形狀的平行四邊形都可以沿高剪呢？所以需要提出特殊的情況。為什么要介紹平移這種方法呢？（參見傅種孫數(shù)學(xué)教育文選，人民教育出版社）平行四邊形的面積第六十九頁(yè)第七十頁(yè)，共149頁(yè)。三角形中的直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形，哪一個(gè)更一般？三角形的高另一意義：任何一個(gè)三角形一作高，就能把它轉(zhuǎn)化成2個(gè)直角三角形；學(xué)生怎么會(huì)想到用兩個(gè)完全一樣的三角形去拼出一個(gè)平行四邊形？一個(gè)三角形是否能夠轉(zhuǎn)化？《三角形的面積》第七十頁(yè)第七十一頁(yè)，共149頁(yè)。綠色和藍(lán)色的面積哪個(gè)大？圖形的組合與推理：第七十一頁(yè)第七十二頁(yè)，共149頁(yè)。圖形的面積推理：

紅色與綠色的面積哪個(gè)大？第七十二頁(yè)第七十三頁(yè)，共149頁(yè)。下圖中，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為40厘米和25厘米，一個(gè)直徑為4厘米的圓沿長(zhǎng)方形內(nèi)壁無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周，求圓滾過的部分的面積。第七十三頁(yè)第七十四頁(yè)，共149頁(yè)。有關(guān)形體的面積體積計(jì)算：

第七十四頁(yè)第七十五頁(yè)，共149頁(yè)?！纠恳粔K邊長(zhǎng)30厘米的正方形鐵皮，像下圖那樣從4個(gè)角切掉邊長(zhǎng)5厘米的正方形，然后做成盒子。這個(gè)盒子的容積有多少毫升？第七十五頁(yè)第七十六頁(yè)，共149頁(yè)。

任務(wù)一：鋪地毯任務(wù)瑪麗想要為她的臥室鋪上地毯，臥室長(zhǎng)15米，寬8米，她需要購(gòu)買多少平方米的地毯。

任務(wù)二：籬笆任務(wù)老師所教的班級(jí)要為春季科技展飼養(yǎng)白兔，他們有24米籬笆用于修建一個(gè)飼養(yǎng)兔子的長(zhǎng)方形圍欄。（1）如果學(xué)生們想讓兔子擁有盡可能大的空間，那么圍欄的各邊應(yīng)為多長(zhǎng)？（2）如果他們有16米籬笆，那么圍欄的各邊又為多長(zhǎng)？ （3）給定長(zhǎng)度的籬笆怎樣圍才使面積最大？怎樣整理你的解決方法以便使其他同學(xué)能夠理解？第七十六頁(yè)第七十七頁(yè)，共149頁(yè)?！竞?jiǎn)析】此案例中，學(xué)生需完成“籬笆任務(wù)”，而完成這一任務(wù)沒有一個(gè)可套用的公式，沒有可依據(jù)的解法和步驟，他們需要判斷在24米和16米長(zhǎng)的籬笆怎樣圍面積最大的前提下，對(duì)怎樣使任意長(zhǎng)度的圍欄能生成最大面積的方法進(jìn)行推理計(jì)算，從而獲得一個(gè)一般的結(jié)論，達(dá)到數(shù)學(xué)一般化的過程。第七十七頁(yè)第七十八頁(yè)，共149頁(yè)。探索不規(guī)則圖形及物體的測(cè)量方法不規(guī)則體積三角形面積計(jì)算第七十八頁(yè)第七十九頁(yè)，共149頁(yè)。圖形與變換的教學(xué)策略第七十九頁(yè)第八十頁(yè)，共149頁(yè)。圖形的變換二年級(jí)上冊(cè)軸對(duì)稱、鏡面對(duì)稱二年級(jí)下冊(cè)平移與旋轉(zhuǎn)五年級(jí)下冊(cè)圖形的變換、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)，六年級(jí)下冊(cè)圖形的放大與縮小第八十頁(yè)第八十一頁(yè)，共149頁(yè)。一、要明確平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的基本要素一般說，所謂變換是指某個(gè)集合中符合一定要求的一種對(duì)應(yīng)規(guī)律。就圖形的變換來(lái)說，因?yàn)榧蠄D形都是點(diǎn)的集合，所以圖形變換可以通過點(diǎn)的變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。如果一個(gè)平面圖形的每一個(gè)點(diǎn)只對(duì)應(yīng)于該平面內(nèi)某個(gè)新圖形的一個(gè)點(diǎn)，并且新圖形中的每一個(gè)點(diǎn)只對(duì)應(yīng)于原圖形中的一個(gè)點(diǎn)，這樣的對(duì)應(yīng)就叫做變換幾何變換中最重要的是全等變換與相似變換全等變換的本質(zhì)是兩點(diǎn)之間的距離不發(fā)生變化相似變換是保持圖形的形狀不變，而只改變圖形大小的變換。第八十一頁(yè)第八十二頁(yè)，共149頁(yè)。平移：原圖形中任意一個(gè)點(diǎn)到新圖形中相對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，方向相同，長(zhǎng)度相等。方向和距離旋轉(zhuǎn)：新圖形中每個(gè)點(diǎn)都是由原圖形中的一個(gè)點(diǎn)繞著一個(gè)固定點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)中心）轉(zhuǎn)動(dòng)相等角度得到的。旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角反射：連接新圖形與原圖形中每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段都和同一條直線垂直且被該直線平分。對(duì)稱軸第八十二頁(yè)第八十三頁(yè)，共149頁(yè)。二、注重使學(xué)生在具體情境中認(rèn)識(shí)變換現(xiàn)象，并通過操作活動(dòng)體會(huì)變換的特征第八十三頁(yè)第八十四頁(yè)，共149頁(yè)。圖形的展開與折疊第八十四頁(yè)第八十五頁(yè)，共149頁(yè)。對(duì)折一次對(duì)折兩次圖形的展開與折疊第八十五頁(yè)第八十六頁(yè)，共149頁(yè)。85v58這個(gè)號(hào)碼對(duì)稱嗎圖形的展開與折疊第八十六頁(yè)第八十七頁(yè)，共149頁(yè)。觀點(diǎn)與啟示

GUANDIANYUQISHI對(duì)稱的除了圖還有“數(shù)和式”？圖形的展開與折疊，有學(xué)者的研究是小學(xué)生和成人的表現(xiàn)水平差不多，值得思考的是：我們有沒有進(jìn)行過系列而有效的教學(xué)，或許我們大都的教學(xué)也只是點(diǎn)到而已，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，怎樣形成一個(gè)圖形展開與折疊的訓(xùn)練體系值得探索。第八十七頁(yè)第八十八頁(yè)，共149頁(yè)。第八十八頁(yè)第八十九頁(yè)，共149頁(yè)。整個(gè)圖形向右平移了7格第八十九頁(yè)第九十頁(yè)，共149頁(yè)。每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離都相等第九十頁(yè)第九十一頁(yè)，共149頁(yè)。對(duì)于正方形、長(zhǎng)方形、圓的特征，可以通過折疊活動(dòng)認(rèn)識(shí)它們的對(duì)稱性。三、重視加強(qiáng)從變換角度認(rèn)識(shí)圖形的教學(xué)第九十一頁(yè)第九十二頁(yè)，共149頁(yè)。這些圖形是由哪個(gè)基本圖形旋轉(zhuǎn)而成？圖形的辨認(rèn)：旋轉(zhuǎn)課件第九十二頁(yè)第九十三頁(yè)，共149頁(yè)。這些圖形是怎樣形成的？圖形的辨認(rèn)：第九十三頁(yè)第九十四頁(yè)，共149頁(yè)。這些圖形是怎樣形成的？圖形的辨認(rèn)：第九十四頁(yè)第九十五頁(yè)，共149頁(yè)。四、鼓勵(lì)學(xué)生從變換的角度欣賞圖形并設(shè)計(jì)圖案第九十五頁(yè)第九十六頁(yè)，共149頁(yè)。第九十六頁(yè)第九十七頁(yè)，共149頁(yè)。第九十七頁(yè)第九十八頁(yè)，共149頁(yè)。第九十八頁(yè)第九十九頁(yè)，共149頁(yè)。第九十九頁(yè)第一百頁(yè)，共149頁(yè)。第一百頁(yè)第一百零一頁(yè)，共149頁(yè)。觀點(diǎn)與啟示

GUANDIANYUQISHI圖形的辨認(rèn)，不只是停留在這個(gè)圖形叫什么，而是需要揭示圖形的形成方法和形成過程。靜態(tài)的圖形和動(dòng)態(tài)的變化過程相結(jié)合。數(shù)學(xué)欣賞也可以是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，當(dāng)有人問數(shù)學(xué)是什么？學(xué)生會(huì)怎樣的舉例，最好除了很多人說“3×7=21”，也有很多人說“三角形旋轉(zhuǎn)出的漂亮圖案”。軸對(duì)稱圖形第一百零一頁(yè)第一百零二頁(yè)，共149頁(yè)。圖形與位置的教學(xué)策略第一百零二頁(yè)第一百零三頁(yè)，共149頁(yè)。圖形與位置一年級(jí)下冊(cè)上下、前后、左右、位置二年級(jí)上冊(cè)觀察物體（一個(gè)物體）三年級(jí)下冊(cè)位置與方向（八個(gè)）四年級(jí)下冊(cè)位置與方向（方向角度距離），五年級(jí)上冊(cè)觀察位置（兩個(gè)物體）六年級(jí)上冊(cè)位置（數(shù)對(duì)）第一百零三頁(yè)第一百零四頁(yè)，共149頁(yè)。一、明確小學(xué)兩種確定位置方法的內(nèi)涵及這部分內(nèi)容的教育價(jià)值第一百零四頁(yè)第一百零五頁(yè)，共149頁(yè)。教材中有兩種確定位置的方法，即“某行某列”和“方向和距離”，它們實(shí)際上分別對(duì)應(yīng)了學(xué)生要今后學(xué)習(xí)的平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系。XOM

對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，用

表示線段OM的長(zhǎng)度，用

表示從OX到OM的角度，

叫做點(diǎn)M的極徑，

叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)（，）就叫做M的極坐標(biāo)。第一百零五頁(yè)第一百零六頁(yè)，共149頁(yè)。兩種坐標(biāo)系有相同點(diǎn)：首先都要有原點(diǎn)等組成的參照系，然后都要用兩個(gè)要素來(lái)刻畫位置。如果一個(gè)陌生人來(lái)到你們班，請(qǐng)你想辦法描述出你們班長(zhǎng)的位置，使他能夠找到班長(zhǎng)，學(xué)生可能會(huì)怎么做？第一百零六頁(yè)第一百零七頁(yè)，共149頁(yè)。1.（文字）X行X列：如三排第四個(gè)、第三列的第四個(gè)人2.（文字）從哪數(shù)X行X列：從窗戶數(shù)的第三排、第四個(gè)，從門這邊數(shù)的第五組的第四個(gè)3.（圖）X行X列4.（圖）從哪數(shù)X行X列5.班長(zhǎng)在我的斜后方第二個(gè)

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○☆○○○○○○○○○○○○□○○○○○☆=班長(zhǎng)○=同學(xué)□=我☆2組5組窗6排5排4排3排2排1排1組3組4組6組1組第一百零七頁(yè)第一百零八頁(yè)，共149頁(yè)。

前四種做法都蘊(yùn)涵了直角坐標(biāo)的雛形，它們都表明學(xué)生已經(jīng)意識(shí)到需要用兩個(gè)要素來(lái)刻畫平面上點(diǎn)的位置。（2）和（4）還標(biāo)明了參照系，用文字和用圖形也蘊(yùn)涵了數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，（5）雖然不能有效刻畫出班長(zhǎng)的位置，但也初步蘊(yùn)含了用方向和距離表示位置的想法。教師要及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)并善于利用，一個(gè)好的做法是建立聯(lián)系，建立學(xué)生之間方法的聯(lián)系，以及學(xué)生原始想法和數(shù)學(xué)方法之間的聯(lián)系。先把同一做法不同的表示形式建立聯(lián)系，都是用文字表述的方式，比較用什么相同的地方。在所有的方法之間建立聯(lián)系，如數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)。引申到數(shù)學(xué)上確定位置的方法，并將它與學(xué)生的想法加以比較。第一百零八頁(yè)第一百零九頁(yè)，共149頁(yè)。二、鼓勵(lì)學(xué)生探索如何刻畫和描述圖形的位置讓學(xué)生嘗試辨認(rèn)物體的方向，會(huì)看懂自己生活環(huán)境的線段圖，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生將在具體的情境中，探索如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述物體或圖形的位置，探索刻畫位置需要哪些要素，如討論電影院或者教室中是如何確定每個(gè)位置的。教師可以鼓勵(lì)學(xué)生將具體情境進(jìn)行適當(dāng)抽象，在此基礎(chǔ)上，自然引入用數(shù)對(duì)來(lái)描述點(diǎn)的位置了。第一百零九頁(yè)第一百一十頁(yè)，共149頁(yè)。三、鼓勵(lì)學(xué)生嘗試運(yùn)用不同的方式確定物體的位置確定位置第一百一十頁(yè)第一百一十一頁(yè)，共149頁(yè)。由右面兩個(gè)長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)一周，可以得到兩個(gè)圓柱體，大膽猜測(cè)一下，所得到的這兩個(gè)圓柱的體積、側(cè)面積、表面積相等嗎？他們的大小關(guān)系是怎樣的？然后用自己的辦法小心驗(yàn)證一下。3443第一百一十一頁(yè)第一百一十二頁(yè)，共149頁(yè)。交流反饋：用自己的方法驗(yàn)證。生1：左邊長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)形成的長(zhǎng)方體底面半徑是3，高是4，體積是3.14×32×4=111.6（平方厘米）,右邊長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)形成的長(zhǎng)方體底面半徑是4，高是3，體積是3.14×42×3=150.72（平方厘米），所以右邊長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)形成的長(zhǎng)方體體積大。生2：左邊長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)形成的長(zhǎng)方體體積是3.14×32×4，右邊長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)形成的長(zhǎng)方體體積是3.14×42×3，因?yàn)?2×4<42×3，所以右邊長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)形成的長(zhǎng)方體體積大。生3：側(cè)面積=2πrh，左邊長(zhǎng)方體側(cè)面積=2×3.14×3×4，右邊長(zhǎng)方體側(cè)面積=2×3.14×4×3，2×3.14×3×4=2×3.14×4×3，所以兩個(gè)長(zhǎng)方體的側(cè)面積相等。生4：我想像了一下，兩個(gè)長(zhǎng)方體的側(cè)面積相等，左邊長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)形成的長(zhǎng)方體底面是半徑是3的圓，而右邊長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)形成的長(zhǎng)方體底面是半徑是4的圓，因此右邊的表面積比較大?！谝话僖皇?yè)第一百一十三頁(yè)，共149頁(yè)。有關(guān)形體的認(rèn)識(shí)：例：左下圖的立方體展開圖應(yīng)是下面哪一個(gè)圖形？（）①②③④關(guān)注空間觀念的培養(yǎng)空間與圖形第一百一十三頁(yè)第一百一十四頁(yè)，共149頁(yè)。有關(guān)形體的面積體積計(jì)算：第一百一十四頁(yè)第一百一十五頁(yè)，共149頁(yè)?！纠恳粔K邊長(zhǎng)30厘米的正方形鐵皮，像下圖那樣從4個(gè)角切掉邊長(zhǎng)5厘米的正方形，然后做成盒子。這個(gè)盒子的容積有多少毫升？第一百一十五頁(yè)第一百一十六頁(yè)，共149頁(yè)?！纠繉⒅苯侨切蜛BC以BC為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓錐體積是V，那么V=（）

A45

B3C六年級(jí)空間觀念第一百一十六頁(yè)第一百一十七頁(yè)，共149頁(yè)。【12】甲圖是用36個(gè)小積木堆成的。把甲圖推倒后（如乙圖），再利用這一堆小積木在丙圖上四個(gè)四個(gè)往上堆成一棟“大樓”。請(qǐng)問這棟“大樓”有

層。六年級(jí)空間觀念的考查第一百一十七頁(yè)第一百一十八頁(yè)，共149頁(yè)?！绢惐韧评怼克枷氲谝话僖皇隧?yè)第一百一十九頁(yè)，共149頁(yè)。小明所在班級(jí)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)是98分，小強(qiáng)所在班級(jí)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)是96分，小明考試得分比小強(qiáng)的得分（）。A、高B、低C、一樣高D、無(wú)法確定四年級(jí)：平均數(shù)的意義統(tǒng)計(jì)與概率第一百一十九頁(yè)第一百二十頁(yè)，共149頁(yè)。1、關(guān)注統(tǒng)計(jì)的全過程2、根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)據(jù)提出并回答簡(jiǎn)單的問題第一百二十頁(yè)第一百二十一頁(yè)，共149頁(yè)。在一棋盤游戲中轉(zhuǎn)動(dòng)輪盤時(shí)，每次出現(xiàn)一個(gè)數(shù)，可能最多出現(xiàn)的數(shù)是（）A、奇數(shù)B、5的倍數(shù)C、質(zhì)數(shù)D、合數(shù)增加有關(guān)概率的內(nèi)容第一百二十一頁(yè)第一百二十二頁(yè)，共149頁(yè)。之二、“見樹又見林”

---整體把握，注重知識(shí)方法的溝通。

如果只重視局部訓(xùn)練而淡化整體聯(lián)網(wǎng)的教學(xué)，就會(huì)使學(xué)生缺少高瞻遠(yuǎn)曙的解決謀略和隨機(jī)應(yīng)變的解決智慧。學(xué)生綜合能力的提高，一定基于教師對(duì)教材的整體掌握，尤其是溝通知識(shí)框架之間的數(shù)學(xué)思想方法。第一百二十二頁(yè)第一百二十三頁(yè)，共149頁(yè)。重視方法的溝通與拓展長(zhǎng)方體體積圓柱體積空心圓柱其它直棱柱棱柱體積=底面積×高第一百二十三頁(yè)第一百二十四頁(yè)，共149頁(yè)。方法溝通注意方法的溝通與拓展。第一百二十四頁(yè)第一百二十五頁(yè)，共149頁(yè)。第一百二十五頁(yè)第一百二十六頁(yè)，共149頁(yè)。課例：立體圖形的綜合實(shí)踐一、引入學(xué)過哪些立體圖形？你能將它分分類嗎？二、展開1、出示飲料盒實(shí)物圖，有幾個(gè)飲料罐？可以用怎樣的方法驗(yàn)證飲料箱中裝有24個(gè)飲料罐？第一百二十六頁(yè)第一百二十七頁(yè)，共149頁(yè)。三、如果站在廠商的角度要考慮什么？4行6列3行8列