2022-2023學(xué)年山東省菏澤市高一年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省菏澤市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先由求出復(fù)數(shù)，再求出其共軛復(fù)數(shù)，從而可判斷其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限.【詳解】由，得，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第三象限．故選：C.2．已知向量與的夾角為，則（

）A．12 B．16 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)向量模的數(shù)量積公式，即可計算結(jié)果.【詳解】.故選：C3．在正方體中，，分別為，的中點，則平面截正方體所得的截面多邊形的形狀為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】B【分析】把截面補形可得利用四點共面可得．【詳解】解：如圖，把截面補形為四邊形，連接，，因為，分別為，的中點，則，又在正方體中，所以，則四點共面.則平面截正方體所得的截面多邊形的形狀為四邊形.故選：B.4．已知某工廠生產(chǎn)A，B，C三種型號的零件，這三種型號的零件周產(chǎn)量之比為2：3：5，現(xiàn)在用分層抽樣的方法從某周生產(chǎn)的零件中抽取若干個進行質(zhì)量檢查，若抽取B型號零件15個，則這三種型號的零件共抽取的個數(shù)為（

）A．50 B．55 C．60 D．65【答案】A【分析】直接利用分層抽樣的定義求解即可【詳解】設(shè)這三種型號的零件共抽取的個數(shù)為個，因為這三種型號的零件周產(chǎn)量之比為2：3：5，且抽取B型號零件15個，所以，解得.所以這三種型號的零件共抽取的個數(shù)為50個.故選：A5．?dāng)€尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣式建筑?園林建筑.如圖所示的帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為120°?半徑為的扇形，則該屋頂?shù)捏w積約為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由側(cè)面展開圖可求出圓錐底面半徑，再求出圓錐的高，從而可求出圓的體積【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為120°，半徑為的扇形，所以，解得，所以圓錐的高，所以圓錐的體積為，故選：A6．在中，內(nèi)角對邊分別為，且，當(dāng)時，的面積是（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)求得角，從而利用三角形面積公式即可得解.【詳解】因為，由正弦定理得，又，則，所以，又顯然，即，所以，又，所以，所以的面積為.故選：B.7．在中，滿足是的中點，若是線段上任意一點，且，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得為等腰直角三角形，建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得向量的數(shù)量積，進而可得最值.【詳解】由，，為等腰直角三角形，以為原點，，為軸和軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，

，，，是的中點，，由于是線段上任意一點，可設(shè)，，，，，，，故當(dāng)時，的最小值為.故選：D．8．已知是銳角三角形，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用正弦定理與余弦定理的邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換求得，再求得角的范圍，結(jié)合正弦定理邊角變換與倍角公式即可得解.【詳解】因為，所以由正弦定理得，得，由余弦定理得，所以，即，由正弦定理得，因為，則所以，即.因為為銳角三角形，，又在上單調(diào)遞增，所以，則，因為為銳角三角形，.所以.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是靈活運用正弦定理與余弦定理的邊角變換，推得，從而得解.二、多選題9．2023年“三月三”期間，某省交通部門統(tǒng)計了2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量（單位：萬車次），并與2022年比較，得到同比增長率（同比增長率=（今年車流量-去年同期車流量）÷去年同期車流量×100%）數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖，則（

）A．2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量的極差為25B．2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量的中位數(shù)為17C．2023年4月19日至4月21日的高速公路車流量的方差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路車流量的方差D．2022年4月23日的高速公路車流量約為20萬車次【答案】BD【分析】通過計算得到選項A錯誤B正確；觀察數(shù)據(jù)的波動情況，得到選項C錯誤；設(shè)2022年4月23日的高速公路車流量為x萬車次，求得，故D正確.【詳解】對于A：由題圖知，2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量的極差為，故A錯誤；對于B：易知2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量的中位數(shù)為17，故B正確；對于C：2023年4月19日至4月21日的高速公路車流量波動更大，故C錯誤；對于D：2023年4月23日的高速公路車流量為22萬車次，同比增長率為10%，設(shè)2022年4月23日的高速公路車流量為x萬車次，則，解得，故D正確.故選：BD．10．已知為復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A．若為純虛數(shù)，則B．若，則C．若，則的最大值為3D．【答案】BCD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模的三角不等式及共軛復(fù)數(shù)的定義，計算求解后判斷即得．【詳解】對于A，為純虛數(shù)，所以，即，所以A錯誤；對于B，，因為，所以，從而，所以正確；對于C，由復(fù)數(shù)模的三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以C正確；對于D，，所以D正確.故選：BCD．11．設(shè)為兩個隨機事件，則（

）A．若是互斥事件，，則B．若是對立事件，且，則C．若是獨立事件，，則D．若，且，則是獨立事件【答案】ACD【分析】利用互斥事件與相互獨立事件的性質(zhì)逐一判斷即可【詳解】對于A：若是互斥事件，，則，故A正確；對于B：若是對立事件，則，故B錯誤；對于C：若是獨立事件，，則也是獨立事件，，則，故C正確；對于D：若，且，則，，故，則是獨立事件，故也是獨立事件，故D正確.故選：ACD.12．如圖，正方體的棱長為分別為線段上的動點（不含端點），則（

）

A．當(dāng)為中點時，存在點使直線與平面平行B．當(dāng)為中點時，存在點，使點與點到平面的距離相等C．當(dāng)為中點時，平面截正方體所得的截面面積為D．的最小值為【答案】ACD【分析】對于A，取的中點，連接，，，，可證平面平面，從而可判斷；對于B，假設(shè)與到平面的距離相等,則平面必過的中點,連接交于，則只有為的中點時，才滿足條件，推出矛盾可判斷；對于C，可得截面為梯形，求解即可判斷；對于D，把平面與平面沿展開成一個平面，利用兩點之間線段最短結(jié)合余弦定理即可判斷.【詳解】對于A，當(dāng)為中點時，存在分別是線段的中點,使與平面平行，理由：如圖所示，取的中點，連接，，，，根據(jù)中位線定理可得，所以平面，平面，平面，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以平面平面，平面平面平面，平面平面，故A正確；

對于B，假設(shè)與到平面的距離相等,即平面將平分，則平面必過的中點,連接交于，則只有為的中點時，才滿足條件.當(dāng)為中點時，此時只有與重合時，才有為的中點，但不與端點重合，所以不存在，使點與點到平面的距離相等，故B錯誤；對于C，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，當(dāng)為中點時，，四點共面,截面為梯形，由題意得等腰梯形的上底,下底,腰長為，高為，所以面積為，故C正確；對于D，把平面與平面沿展開成一個平面，如圖所示，連接交于點，此時的最小值為,且，根據(jù)余弦定理可得，即的最小值為，D正確.

故選：ACD三、填空題13．拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，則“拋擲的兩個骰子的點數(shù)之和是7”的概率為.【答案】【分析】先求出總的基本事件，再列舉出點數(shù)之和是7的基本事件，從而利用古典概型求解即可.【詳解】拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，總的基本事件有件，其中點數(shù)之和是7的基本事件有，共6件，則“拋擲的兩個骰子的點數(shù)之和是7”的概率為.故答案為：.14．將一組正數(shù)的平均值和方差分別記為與，若，則.【答案】100【分析】列出方差公式，代入數(shù)據(jù)即可求解.【詳解】根據(jù)題意得,則,即，解得;故答案為：100.15．在中，點是線段上的點，且滿足，過點的直線分別交直線于點，且，，其中且，若的最小值為.【答案】【分析】先利用向量的線性運算得到關(guān)于與的表達式，再根據(jù)三點共線可得，從而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】依題意，作出圖形如下，

因為，，，則，所以，因為三點共線，所以，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：.16．點是棱長為1的正四面體表面上的動點，若是該四面體外接球的一條直徑，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)正四面體S-ABC的外接球球心為O，外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，且SH⊥平面ABC于H，利用AH，SH與外接球及內(nèi)切球半徑的關(guān)系，轉(zhuǎn)化即可求解外接球、內(nèi)切球的半徑，然后利用向量的數(shù)量積，再根據(jù)即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的外接球球心為，外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，且平面于，則，,

由得所以，因為，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：這道題的關(guān)鍵是求得正四面體的外接球半徑和內(nèi)切球半徑，從而把問題轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)即可求解.四、解答題17．已知復(fù)數(shù).(1)若是實數(shù)，求的值；(2)若是純虛數(shù)，求的值；(3)若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)是實數(shù)可得，求解即可；（2）根據(jù)z是純虛數(shù)可得，求解即可；（3）根據(jù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限可得，求解即可.【詳解】（1），且z是實數(shù)，，解得，故的值是；（2）z是純虛數(shù)，，即，解得，故的值是；（3）z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，，即，解得，故的取值范圍為.18．某城市醫(yī)保局為了對該城市多層次醫(yī)療保障體系建設(shè)加強監(jiān)管，隨機選取了100名參保群眾，就該城市多層次醫(yī)療保障體系建設(shè)的推行情況進行問卷調(diào)查，并將這100人的問卷根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照分成5組，制成如圖所示頻率分布直方圖.

(1)求圖中的值；(2)求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(3)已知滿意度評分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為，若在滿意度評分值為的人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取5人，并分別依次進行座談，求前2人均為男生的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用頻率之和為求解即可；（2）先判斷中位數(shù)所在區(qū)間，再利用中位數(shù)的定義列式求解即可；（3）先利用分層抽樣確定男女生人數(shù)，再利用列舉法與古典概型的概率公式求解即可.【詳解】（1）依題意，得，解得；（2）因為，，所以中位數(shù)在間，設(shè)為，則，解得.（3）依題意，因為滿意度評分值在的男生數(shù)與女生數(shù)的比為，按照分層抽樣的方法在其中隨機抽取5人，則抽中男生3人，女生2人，依次分別記為，對這5人依次進行座談，前2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10件，設(shè)“前2人均為男生”為事件A，其包含的基本事件有：，，，共3個，所以．19．如圖，為圓錐底面圓的直徑，點是圓上異于的動點，等腰直角三角形的面積為.

(1)求圓錐的表面積；(2)若點是的一個三等分點，求三棱錐的體積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的面積為求得圓錐底面半徑，再求得圓錐母線長，從而可求解表面積；（2）在底面圓中為直角三角形，不妨設(shè)點B靠近點C，可得從而求得，，進而可求得，再利用等體積法即可求解.【詳解】（1）等腰直角三角形中，又因為其面積為，所以，即圓錐底面半徑，圓錐母線長為：，所以圓錐SO的表面積為：．（2）在底面圓中為直角三角形，不妨設(shè)點B靠近點C，可得．由此可得的面積，所以．20．記中，角所對邊分別為，且.(1)求的最大值；(2)若，求及的面積.【答案】(1)(2).【分析】（1）由，根據(jù)兩角和的余弦公式求出，再將化為，根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)，，求出，，，和的面積.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，所以，所以，因為，為三角形的內(nèi)角，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以，即的最大值為.（2）因為，所以，又由（1）知，，所以，，，，代入，得，，，由正弦定理得，得，得.所以.21．通過簡單隨機抽樣，得到20戶居民的月用水量數(shù)據(jù)（單位：），這20戶居民平均用水量是，方差是6.其中用水量最少的5戶用水量為.用水量最多的5戶用水量為.(1)求20個樣本數(shù)據(jù)的和分位數(shù)；(2)估計其它10戶居民的月用水量的平均數(shù)和方差.【答案】(1)；(2)；【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求解；（2）設(shè)其它10個樣本為x1，x2，x3，x4，…，x10，平均數(shù)記為，根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可求得，進而可求解其它10戶居民的月用水量的平均數(shù)；根據(jù)方差公式即可求解，進而可求解其它10戶居民的月用水量數(shù)據(jù)的方差.【詳解】（1），則17.5%分位數(shù)是第4項數(shù)據(jù)，為，，則90%分位數(shù)是第18項和19項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，為．（2）設(shè)其它10個樣本為x1，x2，x3，x4，…，x10，平均數(shù)記為，，所以，，則其它10戶居民的月用水量的平均數(shù)；20戶居民的月用水量數(shù)據(jù)的方差記為，所求10戶居民的月用水量數(shù)據(jù)的方差記為，，解得，所以.所以所求10戶居民的月用水量的平均數(shù)，方差為2.8．22．菱形中，平面.

(1)求證：平面；(2)求異面直線與的距離；(3)若球為三棱錐的外接球，求外接球半徑與的長度.【答案】(1)證明見解析(2)(3)，【分析】（1）利用線面垂直的判定定理即可得解；（2）先證平面平面，從而將問題轉(zhuǎn)化為求平面與平面間的距離，從而推得即為所求，由此得解；（3）利用側(cè)棱垂直于底面的三棱錐外接球的性質(zhì)得到，從而利用勾股定理即可得解.【詳解】（1）在菱形中，，因為平面平面，所以，又平面，，所以平面.（2）取的中點，連