概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)經(jīng)典課件概率論1

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

10/12/20231概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門學(xué)科。2第一章概率論的根本概念1.1隨機(jī)試驗(yàn)1.2樣本空間 1.3概率和頻率1.4等可能概型〔古典概型〕1.5條件概率1.6獨(dú)立性第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量2.2離散型隨機(jī)變量及其分布2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度2.5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第三章多維隨機(jī)變量及其分布3.1二維隨機(jī)變量3.2邊緣分布3.3條件分布3.4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量3.5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布3第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1數(shù)學(xué)期望4.2方差4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)4.4矩、協(xié)方差矩陣第五章大數(shù)定律和中心極限定理5.1大數(shù)定律5.2中心極限定理第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的根本概念6.1總體和樣本6.2常用的分布4第七章參數(shù)估計(jì)

7.1參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

7.2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)

7.3區(qū)間估計(jì)第八章假設(shè)檢驗(yàn)

8.1假設(shè)檢驗(yàn)

8.2正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

8.3正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)

8.4置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)之間的關(guān)系

8.5樣本容量的選取

8.6分布擬合檢驗(yàn)

8.7秩和檢驗(yàn)第九章方差分析及回歸分析

9.1單因素試驗(yàn)的方差分析

9.2雙因素試驗(yàn)的方差分析

9.3一元線性回歸

9.4多元線性回歸5第十章隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)描述10.1隨機(jī)過程的概念10.2隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述10.3泊松過程及維納過程第十一章馬爾可夫鏈11.1馬爾可夫過程及其概率分布11.2多步轉(zhuǎn)移概率確實(shí)定11.3遍歷性第十二章平穩(wěn)隨機(jī)過程12.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念12.2各態(tài)歷經(jīng)性12.3相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)12.4平穩(wěn)過程的功率譜密度6§1隨機(jī)試驗(yàn)確定性現(xiàn)象：結(jié)果確定不確定性現(xiàn)象：結(jié)果不確定確定性現(xiàn)象不確定性現(xiàn)象——確定——不確定——不確定自然界與社會(huì)生活中的兩類現(xiàn)象例：向上拋出的物體會(huì)掉落到地上明天天氣狀況

買了彩票會(huì)中獎(jiǎng)9

概率統(tǒng)計(jì)中研究的對(duì)象：隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律

對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗(yàn)統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。

它具有以下特性：可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行試驗(yàn)前并不知道哪個(gè)試驗(yàn)結(jié)果會(huì)發(fā)生

例：拋一枚硬幣，觀察試驗(yàn)結(jié)果；對(duì)某路公交車某?？空镜怯浵萝嚾藬?shù)；對(duì)某批電子產(chǎn)品測(cè)試其輸入電壓；對(duì)聽課人數(shù)進(jìn)行一次登記；10§2樣本空間·隨機(jī)事件(一)樣本空間定義：隨機(jī)試驗(yàn)E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱為E的 樣本空間，記為S={e}， 稱S中的元素e為根本領(lǐng)件或樣本點(diǎn)．S={0,1,2,…}；S={正面，反面}；S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；S={x|a≤x≤b}記錄一城市一日中發(fā)生交通事故次數(shù)例：一枚硬幣拋一次記錄某地一晝夜最高溫度x，最低溫度y

記錄一批產(chǎn)品的壽命x11(二)隨機(jī)事件

一般我們稱S的子集A為E的隨機(jī)事件A，當(dāng)且僅當(dāng)A所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生稱事件A發(fā)生。

S＝{0,1,2,…}；記A＝{至少有10人候車}＝{10,11,12,…}S，A為隨機(jī)事件，A可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。

例：觀察89路公交車浙大站候車人數(shù)，

如果將S亦視作事件，那么每次試驗(yàn)S總是發(fā)生， 故又稱S為必然事件。為方便起見，記Φ為不可能事件，Φ不包含 任何樣本點(diǎn)。 12§3頻率與概率(一)頻率 定義：記 其中—A發(fā)生的次數(shù)(頻數(shù))；n—總試驗(yàn)次 數(shù)。稱為A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率。例：中國國家足球隊(duì)，“沖擊亞洲〞共進(jìn)行了n次，其中成功了一次，那么在這n次試驗(yàn)中“沖擊亞洲〞這事件發(fā)生的頻率為 某人一共聽了17次“概率統(tǒng)計(jì)〞課，其中有15次遲到，記 A={聽課遲到}，那么 #頻率 反映了事件A發(fā)生的頻繁程度。13試驗(yàn)序號(hào)n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表1例：拋硬幣出現(xiàn)的正面的頻率實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)德?摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069K?皮爾遜1200060190.5016K?皮爾遜24000120120.5005表215**頻率的性質(zhì)：且隨n的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為p．

16§4等可能概型〔古典概型〕定義：假設(shè)試驗(yàn)E滿足：S中樣本點(diǎn)有限(有限性)出現(xiàn)每一樣本點(diǎn)的概率相等(等可能性)稱這種試驗(yàn)為等可能概型(或古典概型)。17例2：從上例的袋中不放回的摸兩球，

記A={恰是一紅一黃}，求P(A)．

解：（注：當(dāng)L>m或L<0時(shí)，記 ）例3：有N件產(chǎn)品，其中D件是次品，從中不放 回的取n件，

記Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)．

解：18例6:(抽簽問題)一袋中有a個(gè)紅球，b個(gè)白球，記a＋b＝n．

設(shè)每次摸到各球的概率相等，每次從袋中摸一球， 不放回地摸n次。 設(shè){第k次摸到紅球}，k＝1,2,…,n．求

解1：

①②…n①——a①②…n可以是①號(hào)球，亦可以是②號(hào)球……是號(hào)球

n號(hào)球?yàn)榧t球，將n個(gè)人也編號(hào)為1,2,…,n．----------與k無關(guān) 可設(shè)想將n個(gè)球進(jìn)行編號(hào)： 其中 視 的任一排列為一個(gè)樣本點(diǎn)，每點(diǎn)出現(xiàn)的概率 相等。

19解3： 將第k次摸到的球號(hào)作為一樣本點(diǎn)：此值不僅與k無關(guān)，且與a，b都無關(guān)，若a＝0呢？對(duì)嗎？

為什么？原來這不是等可能概型總樣本點(diǎn)數(shù)為，每點(diǎn)出現(xiàn)的概率相等，而其中有個(gè)樣本點(diǎn)使發(fā)生，①，②，…，nS＝{}，①，②，…，a{}{紅色}解2： 視哪幾次摸到紅球?yàn)橐粯颖军c(diǎn)解4：

記第k次摸到的球的顏色為一樣本點(diǎn)： S＝{紅色,白色}，

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解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來訪者都是在周二、周四的概率為212/712=0.0000003.例7：某接待站在某一周曾接待12次來訪，所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的? 人們?cè)陂L期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的〞(稱之為實(shí)際推斷原理)。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此有理由疑心假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。21§5條件概率例：有一批產(chǎn)品，其合格率為90%，合格品中有95%為 優(yōu)質(zhì)品，從中任取一件，記A={取到一件合格品}， B={取到一件優(yōu)質(zhì)品}。 那么P(A)=90%而P(B)=85.5%記：P(B|A)=95%P(A)=0.90是將整批產(chǎn)品記作1時(shí)A的測(cè)度P(B|A)=0.95是將合格品記作1時(shí)B的測(cè)度由P(B|A)的意義，其實(shí)可將P(A)記為P(A|S)，而這里的S常常省略而已，P(A)也可視為條件概率分析：

BAS若記P(B|A)=x，則應(yīng)有P(A):P(AB)=1:x解得：一、條件概率 定義： 由上面討論知，P(B|A)應(yīng)具有概率的所有性質(zhì)。例如：二、乘法公式 當(dāng)下面的條件概率都有意義時(shí)：23例：某行業(yè)進(jìn)行專業(yè)勞動(dòng)技能考核，一個(gè)月安排一次，每人 最多參加3次；某人第一次參加能通過的概率為60%；如 果第一次未通過就去參加第二次，這時(shí)能通過的概率為 80%；如果第二次再未通過，那么去參加第三次，此時(shí)能通 過的概率為90%。求這人能通過考核的概率。解： 設(shè)Ai={這人第i次通過考核}，i=1,2,3 A={這人通過考核}，亦可：

24例：從52張牌中任取2張，采用(1)放回抽樣，〔2〕不放回抽樣，求恰是“一紅一黑〞的概率。利用乘法公式與不相容〔1〕假設(shè)為放回抽樣：〔2〕假設(shè)為不放回抽樣：解： 設(shè)Ai={第i次取到紅牌}，i=1,2B={取2張恰是一紅一黑}25三、全概率公式與Bayes公式定義：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,…,Bn 為E的一組事件。假設(shè)：那么稱B1,B2,…,Bn為S的一個(gè)劃分,或稱為一組完備事件組。B1B2BnS即：B1,B2,…,Bn至少有一發(fā)生是必然的，兩兩同時(shí)發(fā)生又是不可能的。26定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件。B1,B2,…,Bn為S的一個(gè)劃分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 那么稱： 為全概率公式B1B2BnSA

證明：

定理：接上定理?xiàng)l件，

稱此式為Bayes公式。2713.當(dāng)滿足什么條件時(shí)稱事件組A1,A2,…,An為樣為本空間 的一個(gè)劃分？14.設(shè)A,B,C為三隨機(jī)事件，當(dāng)A≠B，且P(A)≠0,P(B)≠0時(shí)， P(C|A)+P(C|B)有意義嗎？試舉例說明。15.設(shè)A,B,C為三隨機(jī)事件,且P(C)≠0, 問P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)－P(AB|C)是否成立？ 假設(shè)成立，與概率的加法公式比較之。28第二章隨機(jī)變量及其分布 關(guān)鍵詞：

隨機(jī)變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的函數(shù)29例：設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能有一個(gè)人處理。 考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4個(gè)人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3個(gè)人共同維護(hù)80臺(tái)。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。3031例：在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一數(shù)X，試寫出X的概率 密度。并求 的值； 假設(shè)在該區(qū)間上隨機(jī)取10個(gè)數(shù)，求10個(gè)數(shù)中恰有 兩個(gè)數(shù)大于0的概率。 解：X在區(qū)間(-1,2)上均勻分布 設(shè)10個(gè)數(shù)中有Y個(gè)數(shù)大于0， 那么：32

33X的取值呈中間多，兩頭少，對(duì)稱的特性。當(dāng)固定μ時(shí)，σ越大，曲線的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散，∴σ是反映X的取值分散性的一個(gè)指標(biāo)。

在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。34復(fù)習(xí)思考題21.什么量被稱為隨機(jī)變量？它與樣本空間的關(guān)系如何？2.滿足什么條件的試驗(yàn)稱為“n重貝努里試驗(yàn)〞？3.事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p,0<p<1。假設(shè)在n次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中，A發(fā)生的總次數(shù)為X,那么X服從什么分布？并請(qǐng)導(dǎo)出：4.什么條件下使用泊松近似