高二數(shù)學(xué)《生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例》

生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例生活中經(jīng)常會(huì)遇到求什么條件下可使用料最省，利潤(rùn)最大，效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題.這往往可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題.其中不少問(wèn)題可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一有力工具加以解決.復(fù)習(xí)：如何用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)的最值？一般地，假設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么求f(x)的最值的步驟是：〔1〕求y=f(x)在〔a，b〕內(nèi)的極值(極大值與極小值)；〔2〕將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.規(guī)格（L）21.250.6價(jià)格（元）5.14.52.5問(wèn)題情景一：飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，假設(shè)它們的價(jià)格如下表所示，那么〔1〕對(duì)消費(fèi)者而言，選擇哪一種更合算呢？〔2〕對(duì)制造商而言，哪一種的利潤(rùn)更大？例1、某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造本錢(qián)是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，那么每瓶飲料的利潤(rùn)何時(shí)最大，何時(shí)最小呢？r(0，2)2(2，6）6f'(r)0f(r)-+減函數(shù)↘增函數(shù)↗-1.07p解：∵每個(gè)瓶的容積為:∴每瓶飲料的利潤(rùn)：28.8π∴由上表可知，f(2)=-1.07p為利潤(rùn)的最小值f(6)=28.8π為利潤(rùn)的最大值例1、某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造本錢(qián)是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，那么每瓶飲料的利潤(rùn)何時(shí)最大，何時(shí)最小呢？答：當(dāng)瓶子半徑為6cm時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最大，當(dāng)瓶子半徑為2cm時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最小.6(0，2)f(r)0f'(r)(2，6）2r-+減函數(shù)↘增函數(shù)↗-1.07p28.8π231、當(dāng)半徑為2cm時(shí),利潤(rùn)最小,這時(shí)f(2)<0,2、當(dāng)半徑為6cm時(shí)，利潤(rùn)最大。從圖中可以看出:從圖中，你還能看出什么嗎？解決優(yōu)化問(wèn)題的方法之一：通過(guò)搜集大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得到解決．在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個(gè)有力的工具，其根本思路如以下流程圖所示優(yōu)化問(wèn)題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題的答案我們知道，汽油的消耗量w〔單位：L〕與汽車(chē)的速度v〔單位：km/h〕之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量w是汽車(chē)速度v的函數(shù)。根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn)，思考下面兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}情景二：汽油使用效率何時(shí)最高(1)是不是汽車(chē)的速度越快，汽油的消耗量越大？(2)“汽油的使用效率最高〞的含義是什么？一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我們就說(shuō)汽油的使用效率越高〔即越省油〕。假設(shè)用G來(lái)表示每千米平均的汽油消耗量那么如何計(jì)算每千米路程的汽油消耗量？〔w是汽油消耗量，s是汽車(chē)行駛的路程〕例2、通過(guò)研究，人們發(fā)現(xiàn)汽車(chē)在行駛過(guò)程中，汽油的平均消耗率g〔即每小時(shí)的汽油消耗量，單位:L/h〕與汽車(chē)行駛的平均速度v〔單位:km/h〕之間，有如圖的函數(shù)關(guān)系g=f(v)，那么如何根據(jù)這個(gè)圖象中的數(shù)據(jù)來(lái)解決汽油的使用效率最高的問(wèn)題呢？v(km/h)g(L/h)O12090305051015(w是汽油消耗量，s是汽車(chē)行駛的路程)問(wèn)題1：可用哪個(gè)量來(lái)衡量汽油的使用效率？問(wèn)題2：汽油的使用效率與

g、v有什么關(guān)系？每千米平均的汽油消耗量例2、通過(guò)研究，人們發(fā)現(xiàn)汽車(chē)在行駛過(guò)程中，汽油的平均消耗率g〔即每小時(shí)的汽油消耗量，單位:L/h〕與汽車(chē)行駛的平均速度v〔單位:km〕之間，有如圖的函數(shù)關(guān)系g=f(v)，那么如何根據(jù)這個(gè)圖象中的數(shù)據(jù)來(lái)解決汽油的使用效率最高的問(wèn)題呢？v(km/h)g(L/h)O12090305051015分析：每千米平均的汽油消耗量，這里w是汽油消耗量，s是汽車(chē)行駛的路程∵w=gt，s=vtP(v，g)的幾何意義是什么？如下圖，表示經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)P(v，g)的直線的斜率k所以由右圖可知，當(dāng)直線OP為曲線的切線時(shí)，即斜率k取最小值時(shí)，汽油使用效率最高練習(xí)：某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的本錢(qián)為假設(shè)要使平均本錢(qián)最低，那么每天應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解：設(shè)平均本錢(qián)為y元，每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，那么∴每天應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品變題：某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的本錢(qián)為假設(shè)受到設(shè)備的影響，該廠每天至多只能生產(chǎn)800件產(chǎn)品，那么要使平均本錢(qián)最低，每天應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品呢？解：設(shè)平均本錢(qián)為y元，每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，那么變題：某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的本錢(qián)為假設(shè)受到產(chǎn)能的影響，該廠每天至多只能生產(chǎn)800件產(chǎn)品，那么要使平均本錢(qián)最低，每天應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品呢？∴函數(shù)在(0，1000)上是減函數(shù)故每天應(yīng)生產(chǎn)800件產(chǎn)品根本不等式法：