空間中向量的概念和運(yùn)算

空間中向量的概念和運(yùn)算1.空間向量的概念(1)兩個(gè)特征:_____,_____.(2)向量的模(長(zhǎng)度):指的是向量的_____,也可看作表示向量的有向線段的_____.(3)表示法:①幾何表示法:空間向量用_________表示;②字母表示法:用字母表示,若向量的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,可記作a.也可記作____,其模記為|a|或_____.大小方向大小長(zhǎng)度有向線段2.幾類(lèi)常見(jiàn)的空間向量名稱(chēng)方向模記法零向量_____________單位向量__相反向量_____相等a的相反向量:___

的相反向量:_____相等向量相同_____a=b任意方向01相反-a相等3.向量的加法、減法空間向量的運(yùn)算加法=a+b減法=a-b加法運(yùn)算律(1)交換律:a+b=____(2)結(jié)合律:(a+b)+c=________b+aa+(b+c)4.向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)數(shù)乘運(yùn)算:結(jié)果實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積是一個(gè)_____λ的范圍方向關(guān)系模的關(guān)系λ>0方向_____λa的模是a的模的_______λ=0λa=0,其方向是任意的λ<0方向_____相同相反|λ|倍向量(2)運(yùn)算律:①分配律:λ(a+b)=________;②結(jié)合律:λ(μa)=________.λa+λb(λμ)a5.平行(共線)向量:平行(共線)向量共面向量定義位置關(guān)系表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關(guān)系:_______________平行于同一個(gè)_____的向量特征方向___________充要條件對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使______向量p與不共線向量a,b共面的充要條件是存在_____的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)使________互相平行或重合相同或相反平面a=λb唯一p=xa+yb6.空間向量的夾角非零∠AOB<a,b>[0,π]互相垂直a⊥b7.空間向量的數(shù)量積(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,則_______________叫做a與b的數(shù)量積,記作a·b.即a·b=_______________.|a||b|cos<a,b>|a||b|cos<a,b>(2)數(shù)量積的運(yùn)算律:數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b=λ_____=a·(____)交換律a·b=_____分配律a·(b+c)=__________a·bλbb·aa·b+a·c(3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì)向量數(shù)量積的性質(zhì)垂直若a,b是非零向量,則a⊥b?a·b=0.共線同向:則a·b=|a|·|b|反向:則a·b=-|a|·|b|模a·a=_______________=|a|2|a|=|a·b|≤|a|·|b|夾角θ為a,b的夾角,則cosθ=_______|a||a|cos<a,a>1.判一判(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)有向線段可用來(lái)表示空間向量,有向線段長(zhǎng)度越長(zhǎng),其所表示的向量的模就越大.(

)(2)空間兩非零向量相加時(shí),一定可用平行四邊形法則運(yùn)算.(

)(3)0向量是長(zhǎng)度為0,沒(méi)有方向的向量.(

)(4)若|a|=|b|,則a=b或a=-b.(

)【解析】(1)正確.向量的?？梢员容^大小,有向線段長(zhǎng)度越長(zhǎng),其所表示的向量的模就越大.(2)錯(cuò)誤.若空間兩向量為共線向量,此時(shí)不能用平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算.(3)錯(cuò)誤.0向量是模為0,方向任意的向量.(4)錯(cuò)誤.|a|=|b|說(shuō)明a與b長(zhǎng)度相等,但兩向量不一定共線.答案:(1)√

(2)×

(3)×

(4)×2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上)(1)把所有單位向量的起點(diǎn)移到一點(diǎn),則這些向量的終點(diǎn)組成的圖形是

.(2)在空間四邊形ABCD(字母順次連接)中,連接AC,BD,則為

.(3)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,化簡(jiǎn)后的結(jié)果是

.【解析】(1)在空間中把所有單位向量的起點(diǎn)移到一點(diǎn),則這些向量的終點(diǎn)組成的圖形是以單位向量的起點(diǎn)為球心,以1為半徑的球面.答案:球面(2)答案：(3)由正方體的性質(zhì)可得答案：3.判一判(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)實(shí)數(shù)與向量之間可進(jìn)行加法、減法運(yùn)算.(

)(2)若表示兩向量的有向線段所在的直線為異面直線,則這兩個(gè)向量不是共面向量.(

)(3)如果則P,A,B共線.(

)(4)空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量.(

)【解析】(1)錯(cuò)誤,實(shí)數(shù)與向量相加沒(méi)有意義,如3+a不能確定該式子是實(shí)數(shù)還是向量.(2)錯(cuò)誤,由共面向量的定義知空間中任意兩個(gè)向量都是共面向量,故此種說(shuō)法錯(cuò)誤.(3)正確,能判定P,A,B共線.因?yàn)樵娇苫癁?由共線向量的充要條件可知,P,A,B共線.(4)錯(cuò)誤,空間中的任意三個(gè)向量不一定是共面向量.例如,對(duì)于空間四邊形ABCD,這三個(gè)向量就不是共面向量.答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)×4.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上)(1)若|a|=5,b與a的方向相反,且|b|=7,則a=

b.(2)已知b=-5a(|a|=2),向量b的長(zhǎng)度為

,向量b的方向與向量a的方向

.(3)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,,若則x=

,y=

.【解析】(1)b與a的方向相反,所以a=λb且實(shí)數(shù)λ<0,由|a|=|λ||b|,所以故λ=答案:

(2)因?yàn)閨a|=2,又b=-5a,所以向量b的長(zhǎng)度為10,又因?yàn)?5<0,故向量b與a的方向相反.答案:10相反(3)所以x＝1，y＝答案：15.判一判(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若a·b=0,則a=0或b=0.(

)(2)<a,b>與(a,b)都表示直角坐標(biāo)系下的點(diǎn).(

)(3)若a,b均為非零向量,則a·b=|a||b|是a與b共線的充要條件.(

)(4)在△ABC中,<>=∠B.(

)【解析】(1)錯(cuò)誤.當(dāng)兩非零向量a,b的夾角為90°時(shí),其數(shù)量積為0.(2)錯(cuò)誤.<a,b>表示的是空間向量a,b之間的夾角,(a,b)表示直角坐標(biāo)系下的點(diǎn).(3)錯(cuò)誤.因a,b均為非零向量,故a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|,所以cos<a,b>=1,故向量a,b共線,反之當(dāng)a,b共線時(shí),a·b=|a||b|cos<a,b>=±|a||b|,故錯(cuò)誤.(4)錯(cuò)誤.在△ABC中,向量的夾角為∠B,而向量的夾角與向量的夾角互補(bǔ),故此等式不正確.答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)×6.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上)(1)若向量a與b滿足|a|=1,|b|=2且a與b的夾角為,則a·b=

.(2)已知|a|=,|b|=,a·b=-,則a與b的夾角為

.(3)已知a,b是空間兩個(gè)向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,則cos<a,b>=

.【解析】(1)a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2×=1.答案：1(2)由a·