特殊環(huán)的子環(huán)、理想和商環(huán)

特殊環(huán)的子環(huán)、理想和商環(huán)摘要：環(huán)是一種重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)，我們熟知的環(huán)的例子很多。本文在假設(shè)我們熟知環(huán)的例子有：整數(shù)環(huán)Z，有理數(shù)環(huán)Q，實數(shù)環(huán)R以及復(fù)數(shù)環(huán)C等；n倍整數(shù)環(huán)nZ；模n剩余類整數(shù)環(huán)zn環(huán)R上n級方陣環(huán)Mn(R)，如Mn(Z)，Mn(2Z)，吃(Q)等；環(huán)R上一元多項式環(huán)RL］，如Ztx］，Q(x)等的基礎(chǔ)上，討論具有一些特殊性質(zhì)的環(huán)的例子以及它們的子環(huán)，理想和商環(huán)的特殊性質(zhì)。關(guān)鍵詞：環(huán)子環(huán)理想商環(huán)一、特殊環(huán)的例子定義1稱帶有兩個代數(shù)運算的代數(shù)系統(tǒng)R為環(huán)。若R對于加法做成交換群。R乘法封閉。滿足結(jié)合律(ab)c=a(bc)。兩個分配律成立(a+b)c=ac+bc，(a+b)=ca+cb定義2R為環(huán)，任一a，beR，ab=ba，則稱R為交換環(huán)。即乘法交換的環(huán)稱為交換環(huán)。定義3R為環(huán)，若存在eeR，任一aeR，有ae=ea=a，則稱e為環(huán)R的單位元的環(huán)。乘法有單位元的環(huán)稱為有單位元環(huán)。單位元記為1。注：環(huán)必有單位環(huán)。環(huán)有單位元則唯一。R有單位元，aeR，若存在beR，有ab=ba=1，則稱a為可以元，b為a的逆元。注：R元中必有可逆元。零環(huán)中零元一定可逆。在非零環(huán)中零元不可逆。環(huán)R中元a可逆，則逆元唯一。定義3：R為環(huán)，a，beR，a豐0，b豐0，若ab=0，則元a是環(huán)R的左零因子，b是環(huán)R的右零因子。任意兩個非零元的乘積都不為零的環(huán)稱為無零因子環(huán)。注：零因子是非零元。零因子成對出現(xiàn)。零環(huán)為無零因子環(huán)。數(shù)環(huán)一定為無零因子環(huán)。R為無零因子環(huán)—若a豐0,且b豐0，則ab=0。R為無零因子環(huán)—若ab=0，則a豐0，且b豐0。R為無零因子環(huán)—若ab=0，a=0，貝gb=0。若a。0，ax=ay，則x=y。若a。0，xa=ya，則x=y。即無零因子環(huán)有兩個消去律成立。反之，若至少有一個消去律成立，則環(huán)為無零因子環(huán)。定義5稱有單位元的無零因子可交換的環(huán)為整環(huán)。定義6整環(huán)：交換的有單位元的無零因子環(huán)稱為整環(huán)。定義7除環(huán)：有單位元環(huán)中有非零元且任意非零元都有乘法逆遠(yuǎn)則稱其為除環(huán)。定義8域：交換的除環(huán)為域。例1對于環(huán)的交換律，單位元和無零因子性，我們給出如下例子，其中廿表示滿足該項性質(zhì)，表示X不滿足該項性質(zhì)。類型1交換律廿單位元V無零因子環(huán)V例子（Z；+，?）2廿XV（2Z；+，.）3XVV（M（F）；+,）n4VVX(Z(i)；+，.)5廿VV(Z;+,?)n6VXXR為非零加群，乘V法為ab=07XXX[(ab) ]< a,beCR00y \關(guān)于矩陣加法和乘法8VVV零環(huán)關(guān)于整環(huán)，除環(huán)和域的子環(huán)，我們易有如下結(jié)論：引理1整環(huán)R的子集S為R的子整環(huán)—S為R的子環(huán)，且1eS。引理2除環(huán)R的子集S。0為R的子除環(huán)—S為R的子環(huán)且對0。aeS有a-ieS。

證明記R*=中如｝為R的全體非零元的集合，因為R為除環(huán)，易驗證R*為乘法群。S為R的子除環(huán)oS為R的子環(huán)，且S*=S/｛0｝為R*的子群。。S為R的子環(huán)，且％eS*有a-1eS*。H中加法，乘法分引理3域R的子集S。0為R的子域oS為R的子除環(huán)。非零除環(huán)是存在的，如：四元數(shù)除環(huán)H=｛a,p)|a,PeC｝H中加法，乘法分別為(%,P1)+(a2,叩項%+a,p+叩，別為(a,p)(a,p)=ta-PP~,ap_ap)11 22 12其中a是a的復(fù)共軛。若有單位元則與原來的一樣。S為R的子環(huán)有單位元e，則引理4無零因子環(huán)的子環(huán)和理想無零因子。引理5有單位元無零因子環(huán)的非零因子環(huán)，證明設(shè)R有單位元1但無零因子，0=e2-e=e(e-1若有單位元則與原來的一樣。S為R的子環(huán)有單位元e，則可以驗證除環(huán)是無零因子的，但無零因子環(huán)不必是除環(huán)，利用四元除環(huán)H給出了這樣的例子。例2設(shè)H為四元數(shù)除環(huán)，M=｛a,p)|a,peR｝，M上定義加法i為虛數(shù)單位，R例2設(shè)H為四元數(shù)除環(huán)，M=｛a,p)|a,peR｝，M上定義加法乘法與H中一致，則M為有單位元非交換無零H的單位元(1,0H的單位元(1,0)也是證明由題設(shè)，易見M為H的子環(huán)，因而M為無零因子環(huán)。M的單位元，而(i,0)=(0,i)=-(0,1)(i,0)，M為非交換環(huán)。下面討論M中的可逆元，設(shè)若(a,p)?(a,p)=(1,0)，則aa+pp=1,ap+*p=0TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 2 12 12 11 2 1若a豐0，則aJ-pp)=1，la I2a-p p2= 1，a2 =1， a=±1,土i。\o"CurrentDocument"1 12 12 i「212 1 1同樣可證，若p1或a?或p技0，則p1或a?或p2=±1,土i。若a。0，則ap=0，必有a=0，p。0，進(jìn)而-pp=1，故p=-p，此時可逆1 21 2 1 12 1 2元有四個(0,。1=(0,-1)，(0,i)-1=(0,-i)同樣，若p1=0，則可逆元有(0,18=(0,-1)，(-1,0>1=(-1,0)，(i,0U=(-i,0)。若a?！?P?！?此時a,P=±1,±i，則或者a(x們)=1,以。土頂)=°,或者1 1 1 1 12 2 - - -故P2=±氣或P2=±a2,aCai伊)=1,a(P±ia)故P2=±氣或P2=±a2,進(jìn)而a?土囚=°，±2a或±那a奴±iPz=1不合。由上M中的可逆元共8個(±1,°),(°,±1),(土i,°),(°,±i)，故M非除環(huán)。例3設(shè)H為四元數(shù)除環(huán)，M為例2中的M，n,k22為正整數(shù)。H為以下子環(huán):M,N=ta,P)|a,PeL+bila,benZ}}，O={a,b)|a,beZ},P={a,b)|a,benZ},K={a,b)|aeZ,benZ},T={a,°)|aed,U=<a,°)|ae1a+bia,beZ=Za,°)|aez}W=ta,°)|ae{2+bia,benZ}}，X={a,°)|aenZ}=ta,P)|aeL+bila,bez}PeL+bi|a,benZ}}，={a,P)|a=a+bi,a,bekZ,P=c+di,c,de(kn)z}。證明根據(jù)H的運算，易知以上集合都是加群，只要驗證乘法封閉即可。在N中，(a,P)(a,P)=ta—PS,aP—XP)，1 1 2 2 12 12 12 21因為a,a,P,Pe4+bia,benZ}，故aa+PP,aP+XPe{a+bi|a,benZ}1212 12 12 11 21于是(%P1)，(a2,P2)eN。其余均可類似驗證。由引理4,這些子環(huán)都無零可驗證：N是M，Y的理想；P是K的理想；P,K是O的理想；X是V的理想；W是U的理想；Z是N與Y的理想。由引理5，N，P，X，Z無單位元。在單位元的環(huán)中，單位元及其負(fù)元當(dāng)然是可逆的，可逆的必是非零元且不是零因子。例2中的環(huán)M是不交換的有單位的無零因子環(huán)，其非零元不全是可逆的，而其可逆元有不僅是單位元及其負(fù)元。下面給出交換環(huán)的例子，而其它性質(zhì)與例2中的M一樣，且其逆元不

可逆元均無限多。例4R=^2nO\a,nez｝關(guān)于有理數(shù)的加法和乘法構(gòu)成環(huán)。證明容易驗證R是一個交換的有單位元的無零因子環(huán)，且R的非零元不全是可逆的。除單位元1及其負(fù)元-1外，R還有可逆元±2±n，n為正整數(shù)。TOC\o"1-5"\h\z為構(gòu)造進(jìn)一步的例子，我們需要環(huán)的直和定義：設(shè)R，R是兩個環(huán)，在R和R的卡氏1 2 1 2積R十R=《尸,r）|reR，尸eR｝上按分量定義加法和乘法構(gòu)成的環(huán)稱為環(huán)R和R的直和。記R=Z和。記R=Zr,0)|reR｝，1 1 1 1R=b,0)|reR｝，2 1 2 2則R=R，故R可自然地看成R十R的1 1 1 1 2理想，且有R十RlR=R，R十RlR=R。1 21 2 1 22 1利用直和，我們將上面例子中的無零因子性去掉，構(gòu)造交換（不交換情形可以整數(shù)矩陣環(huán)為例）的有單位元的有零因子環(huán)的例子，其非零元不全是可逆的，而其可逆元又不僅是單位及其負(fù)元，同時其不可逆元不全是零因子。例無單位元無零因子環(huán)的真子集環(huán)無單位元。證明設(shè)R為無零因子環(huán)無單位元環(huán)，R的真子環(huán)S有單位元e。因為e不能是R的單位元，所以有aeRS使ae。a或ea。a，不妨設(shè)ae豐a，取beS/｛。｝，貝geb=b。0，于是aeb=ab，即（ae-a）b=0，矛盾。所以無單位元無零因子環(huán)的真子集環(huán)無單位元結(jié)論成立。例5令R為上例中的環(huán)，R=Z，則R=R十R滿足前述條件。TOC\o"1-5"\h\z1 2 5 1 2證明顯然土是有單位元用的交換的有零因子環(huán)，而R是交換的有單位元0]）的有零因子環(huán)，而R得全體可逆元為匕,?匕=±1,±2,±2±n,r2=±h],±郎，其中《0,r）（0,r）|reR,reR｝，其中Z。/）|r=h],（3],【4]｝，既是左零因子又死右零因子。1 2 1 2 2 2 2例子中M和上例中R是無零因子環(huán)，例子中M的可逆元不可逆元分別是有限多忽然無限多的，例子4中R的可逆元，零因子和不可逆的非零因子都有無限多。為給出其他數(shù)量的可逆元，零因子和不可逆非零因子的例子，我們需要群環(huán)的定義：設(shè)環(huán)R有單位元1，乙g=%-s)g，?g乙g=Z%sXgh)，2rg-g g ggg=G g=G g=Ggg=G g=G g=G乙g=%-s)g，?g乙g=Z%sXgh)，2rg-g g ggg=G g=G g=Ggg=G g=G g=G則R（G）構(gòu)成一個有單位元1e的環(huán)，其零元為0e，稱R（G）為群G在r上的群環(huán)。

例6設(shè)G=何）為一個3階群，R1=QG），R2=Z\G/。則R1沒有不可逆非零因子，可逆元和零因子有無限多個，而R2不可逆非零因子無限多，可逆元有限多，零因子無限多。TOC\o"1-5"\h\z證明若re+ra+ra2eR有逆元se+sa+sa2，則0 1 2 1 0 1 2)(')、e+sa+smJVe+ra+ra^J0 1 2 0 1 2")(')、e+sa+smJVe+ra+ra^J0 1 2 0 1 20/1 2 1 2(rs+rs+rs)e+(rs+rs+rs)a+(rs+rs+rs)a200 12 21rs+rs+rs00 21 12rs+rs+rs00 21 12有rs+rs+rs10 01 22rs+rs+rs20 11 02=0系數(shù)矩陣及其行列式=0r0r1r2r2r0r1r1r2r0re+ra.+ra2|A|=r3+r3+r3—3rrr，若|A|豐0，則(s,re+ra.+ra2可逆，如：對r黃0有（re）-1=r-ie，（ra〉1=rw均是可逆元，有窮多非零解。當(dāng)|A|=0時，齊次線性方程組AX=0總有無窮多非零解，re+ra^+ra2總是零因子，均有無窮多。則（則（s0,s1，s2）在。中有唯組解，r2—rr

r2—rr

■0 1^.r2—rr——^^Al要使(s0,s1，s2)在Z中有唯一組解，即使r2一rr=sAl0 12 011=使r2一rr=sAl0 12 011=s1（2）注意到A=(r+r+r)(r2—rr+r2—rr+r2—rr)(3)12 1 02 2 01將（2）代入得A=（r+r+r)(s+s+s)|Al必須r012012 0設(shè)r+r+r=s+s0 12 0 1+s2=1(4)代入（3）得A=r2—rr+r2—rr+r2—rr即2|Al=(r一r》+(r一r》+(r一r》

0 121 022 01 0 1 1 2 2 0由（2由（2），（4）得（s0—*）|A|=r2-rr+r2-rr=0 12 2 01尸一r)(r+r+r)=r一r02012 02s—s)|As—s)|A|=r—rs—s)|A|=r—r代入 （5）整理得2=(s—s》+(s-s》+(s-s(s-s》+(s-s》+(s-s》=1,2若(s-s)2+(s-s)2+(s-s)2=1TOC\o"1-5"\h\z0 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0(s-s)2，(s-s)2，(s-s)2中有且只有兩個為0，另外一個為±1，易驗證這是不可02 21 10能，必有(s-s)2+(s-s)2+(s-s)2=2，則(r-r)2+(r-r)2+(r-r)2=2(r(r—r)2,(r—r02 21)2,(r-r)2中有兩個1一個0。于是r,r,r1 0 012中有且有兩個相等設(shè)值為尤，則另一個為工=±L注意到,+，+七=L有X=0且中有且有兩個相等r，&二的三個值為0,0,1。因此可逆元為1e,1i,1i2。對于其它無限種Al^±0的情形，(s,s,s)在Z中無解，即re+ra+ra2在R不可逆，012 0 1 2 2但不是零因子，也有無限種。|A|=0的情形而(s,s,s)在Z中有解，即R有無限零因子。012 2環(huán)的元或是零因子或是非零因子，在有單位元的環(huán)中，非零因子或是可逆的或是不可逆非零因子下面幾個定理討論可逆元，零因子和不可逆非零因子的數(shù)量關(guān)系，容易證明：交換環(huán)R若有有限多零因子則必為有限環(huán)。下面定理1是推廣。定理1無限環(huán)中，零因子有則無限多，且其中雙側(cè)零因子無限多。定理2有單位元的無限環(huán)中，不可逆的非零因子有則無限多。定理3設(shè)R為有單位元的有限環(huán)，若aeR不是零因子，則a可逆。證明考慮aR=饑。eR"則aRcR。由于a不是零因子，故|aR=|R，從而aR=R，進(jìn)而存在beR使ab=1。同理存在ceR使ca=1，而b=1-b=(ca)b=c(ab)=c，即b可逆。有單位元的有限環(huán)中的非零元要么是零因子，要么是可逆元，不可逆非零因子不存在而具有不同的可逆元和零因子數(shù)量的有限環(huán)的例子如下：例7逆。有單位元的有限環(huán)中的非零元要么是零因子，要么是可逆元，不可逆非零因子不存在而具有不同的可逆元和零因子數(shù)量的有限環(huán)的例子如下：例7可逆元8零因子0不可逆非零因子0例子Z3十Z3二、特殊環(huán)的子環(huán)，理想和商環(huán)定義5：環(huán)尺的非空子集S關(guān)于尺的加法，乘法做成環(huán)，則稱S為R的子環(huán)，記為S5R.注：環(huán)一定有子環(huán)。子環(huán)的子環(huán)還是子環(huán)。{o}<^,R<R,稱{o},&為環(huán)尺的平凡子環(huán)。例8（Z；+,?）V（Q；+,?）V（R；+,?）V（C；+,?）。證因為O'又因為任'a<0b、'ab、證因為O'又因為任'a<0b、'ab、<00,d'a,beR>,求證S<M（F）on聶，b、b、%'a<0fcd'<00/所以，S<M（F）on例10R為環(huán)，C=k\cr^rc,\/reR,ceR）,求證C<RO證因為{°}fR,reR,Or=rO=O,{o}eC^^。又因為VC,CeC,reR,（C-C）r=r（c-C）,C-CeR

1 2 1 2 12 12CrCr=rCrC,CCr=rCC,CCeRo1 2 1 2 12 12 12所以，C5R。稱C為環(huán)人的中心。定義5：尺是一個環(huán)，以是尺的一個非空子集，若i.V^,Z?e2l,a-be^loV^eSl,Vre7?rae21o則稱21為R的理想，記為以R。注：理想一定是子環(huán)。環(huán)一定有理想。在環(huán)的理想中，有兩類特殊的理想：極大理想與素理想，它們在環(huán)論的研究中占有重要的地位，為敘述方便，先給出極大理想和素理想的定義：定義6：設(shè)N是環(huán)R的理想子環(huán)，若NuR，且R中不存在任何滿足NuMuR的理想M，則N是R的極大理想。定義7：設(shè)P是交換環(huán)R的理想，若▼。力eR，當(dāng)abeP時，有aeP或beP。也即:當(dāng)ab三P(o)時有a三P(o)或b三P(。)，則稱P是R的素理想。下面定理1與定理2是環(huán)R的理想為極大理想與素理想的已知結(jié)論：定理1設(shè)R是有單位元的交換環(huán)，N是R的一個真理想子環(huán)(N豐P)，則N是R的極大理想子環(huán)。O商環(huán)RN是域。定理2設(shè)R為交換環(huán)，P是R的理想子環(huán)，則P是R的素理想。o商環(huán)RN是整環(huán)。例11R為環(huán)，因｛0｝R，RR知零理想和單位理想是平凡理想。例12除換只有平凡理想。證明Va,beA，則*eR，，據(jù)AR，aa-=1eA。VbeR，b=1-beA，貝ijR<A，，則R=A。例13(Z3;+,?)中，nZ=lz|zeZ｝，求證nZZ?！鱪z，nzenZ，nz-nz=n(z-z)enZ，1 2 12 12VnzenZ，VaeZ，a-nz=n(az)enZ，.nzZ。例14N={x/(x)|f(x)eR[x]}，求證NRL]?！鱒f(x),f(x)eN,x(f(x)-f(x))eN.Vf(x)eN,g(x)eR[x],g(x)?xf(x)=x(g(x)-f(x))eN.定義8環(huán)同態(tài)基本定理：R與R為環(huán)，中為R到R的同態(tài)滿射，則中的核A為R的理想，進(jìn)而RA=R。

以Z以Z［|］記非空集合4+bia,bgz}并在Z［i］中規(guī)定兩個代數(shù)運算：普通加法和普通乘法，用加號“+”和乘號“?”表示，由代數(shù)學(xué)的理論易知：Z［i］關(guān)于普通加法和普通乘法做成一個環(huán)，且這個有單位元1，無零因子的交換環(huán)，即Z［i］是一個環(huán)，稱之為Gauss整環(huán)。例15Z［i］的任一素元P生成一個極大理想。證明設(shè)p是Z［i］的任一素元。假定N是包含:p］匚N=〔a；。因而存在rgZ［i］，使得p=ra，又因為p是素元，故a是p的相伴元，則N=:.p)：，故::p)是極大理想。以下再給出幾個環(huán)的理想是極大理想的充分必要條件：定理3設(shè)N是環(huán)R的理想子環(huán)，則N是R的極大理想=商環(huán)是RN單環(huán)。證利用環(huán)同態(tài)的一個結(jié)論，即：若環(huán)R是環(huán)R的同態(tài)想，RR，kerj)=N，則在以下對應(yīng)關(guān)系之下，中:H—H=以(〃)，h是R的理想子環(huán)，使得環(huán)R在N與R之間的理想子環(huán)與環(huán)R的全部理想子環(huán)，在N與R之間，除N與R外，沒有理想子環(huán)=R/N沒有平凡的理想子環(huán)=RN是單環(huán)。定理4設(shè)R是有單位元的可交換環(huán)，N是R的理想，則N是R的極大理想；若/三o(N)，則有x三o(N)o商環(huán)RN是域。證明必要性。若N是R的極大理想，則RN除零理想及自身外無其它理想。有因為RN有單位元，故知RN是域。充分性。若RN是域，則RN除零理想及自身外無去其它理想，則N是極大理想。又因為RN是域，則RN是整環(huán)。由定理2知，N是R的素理想，故當(dāng)x2=x?xgN時，必有xgN，即若x2=o(N)時，則有x=o(N)。定理5設(shè)P為環(huán)R的理想子環(huán)，則P是R的素理想。商環(huán)RP是無零因子環(huán)。證明必要性。若P是環(huán)R的素理想，即若環(huán)abGPnagP或bgP，則Va,bgR/P，若0nab三0nabGNnagP或bgPna=0或b=0，即R/P中無非零的零因子。故RP是無零因子環(huán)。充分性。設(shè)RP是無零因子環(huán)，則va,bGR，a黃0，b黃0na黃0，于是，若abGNnab=0nab三0na三0或b三0，即P是R的素理想。交換環(huán)的子環(huán)，理想和商環(huán)都是交換的。有單位元環(huán)的商環(huán)有單位元，非平凡理想不能含有原來的單位元。

定義12設(shè)(a)=^xay++xay+sa+at+nOx,y,s,tgR,ng1 1 mm ii則(a)R稱由a生成的環(huán)R的主理想，a稱為生成元。大部分的例子是容易構(gòu)造的，為了直觀給出所有例子，且只對少數(shù)例子給出部分驗證，用R，S，I，Q分別環(huán)，子環(huán)，理想和商環(huán)。當(dāng)討論商環(huán)Q時，對應(yīng)的理想用L，有時商環(huán)用與其同構(gòu)的環(huán)表示且用“=”寫出。例(1,S1)，R=H，S=Z。例(1,S2)，R=Q，S=3Z。例(1,12)，R=Z，I=3Z。例(1,S1)，R=Q，S=Z。例(1,Q1)，R=Z，Q=Z3。例(1,Q5)，R=Z，Q=Z6。例(2,S2)例(2,S2)R=2a2bla,bgZ，例(2,I)，R=2Z，I=6Z例(2,例(2,Q1)，例(2,Q2)，Q=R/6Z=仙,[2],[4]檀Z3R=2Z例(2,Q5)

例(2,Q6)R=￡/(x)If(x)gZ[x]}，L=￡/(x)I例(2,Q5)

例(2,Q6)R=3Z，Q=R/12Z=仙,園,[6],同檀Z4R={2/(x)I/(x)