醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)課件：第十章 簡(jiǎn)單回歸分析

第十章

簡(jiǎn)單回歸分析線性相關(guān)分析

linearcorrelationanalysis

回歸（regression）和相關(guān)（correlation）分析：研究兩個(gè)或多個(gè)變量間相互關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法。簡(jiǎn)單線性回歸分析

simplelinearregressionanalysis：研究兩個(gè)變量間的數(shù)量依存關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法。：研究兩個(gè)或多個(gè)變量之間關(guān)聯(lián)性或關(guān)聯(lián)程度的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。1.是否有線性聯(lián)系？

2.正向的還是負(fù)向的？

3.聯(lián)系的程度？矮個(gè)子的父代：64英寸而它子代：67英寸1.父代的總均數(shù)=68英寸子代的總均數(shù)=69英寸2.高個(gè)子的父代：72英寸而它子代：71英寸調(diào)查了1087對(duì)父子：1.1線性回歸的概念高個(gè)子父子矮個(gè)子父子簡(jiǎn)單回歸分析1.1線性回歸的概念1.2線性回歸模型的適用條件1.3

回歸參數(shù)的估計(jì)1.4總體回歸系數(shù)β的統(tǒng)計(jì)推斷1.5線性回歸的應(yīng)用線性回歸（linearregression）又稱簡(jiǎn)單回歸（simpleregression）

：討論兩個(gè)變量間的數(shù)量依存關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法，即研究一個(gè)變量如何隨另一個(gè)變量變化的常用方法。因變量dependentvariable反應(yīng)變量

responsevariable：非獨(dú)立的、受其它變量影響的變量，常用“Y”表示。自變量

independentvariable或預(yù)測(cè)因子

predictor

或解釋變量explanatoryvariable

：能獨(dú)立自由變化的變量，常用“X”表示。兩個(gè)變量：例10-1：對(duì)14名40-60歲健康婦女的基礎(chǔ)代謝（Y）與體重（X）的相關(guān)系數(shù)r=0.964，現(xiàn)問基礎(chǔ)代謝（Y）是如何依存體重（X）變化而變化的？編號(hào)基礎(chǔ)代謝（kj/d）體重（kg）編號(hào)基礎(chǔ)代謝（kj/d）體重（kg）14175.650.783970.648.624435.053.793983.244.633460.237.1105050.158.644020.851.7115355.571.053987.447.8124560.659.764970.662.8134874.462.175359.767.3145029.261.5表10-114名健康中年婦女的基礎(chǔ)代謝與體重的測(cè)量值圖10-114名健康中年婦女的基礎(chǔ)代謝與體重的散點(diǎn)圖由散點(diǎn)圖看基礎(chǔ)代謝與體重可能是直線關(guān)系μ

Y∣X=α+βX上述直線方程稱為線性回歸模型

linearregressionmodel可以假定固定基礎(chǔ)代謝的總體均數(shù)μ

Y∣X與體重X的關(guān)系可能是直線關(guān)系，即有：回歸直線的截距參數(shù)（intercept），即X取0時(shí)，根據(jù)方程估算出的Y的平均水平。回歸直線的斜率參數(shù)（slope），又稱回歸系數(shù)（regressioncoefficient），即X每增加一個(gè)單位，Y平均改變?chǔ)聜€(gè)單位。通常情況下，研究者只能獲得一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)，用樣本數(shù)據(jù)建立的有關(guān)Y依從X變化的線性表達(dá)式稱為回歸方程（regressionequation），記為：稱為Y的預(yù)測(cè)值；其意義為固定x時(shí)，Y的總體均數(shù)μ

Y∣X的估計(jì)值。a與b分別為回歸模型參數(shù)α和β的估計(jì)值。

利用回歸方程，只要給定一個(gè)40-60歲的健康婦女的體重值，就可估計(jì)出該體重個(gè)體的基礎(chǔ)代謝值的平均值。以樣本數(shù)據(jù)，可算出α和β的估計(jì)值a和b。后在直角坐標(biāo)系以X為橫坐標(biāo)，Y為縱坐標(biāo)作圖，圖形是一條直線，斜率為b，截距為a。線性回歸關(guān)系的特點(diǎn)：一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定。當(dāng)變量X取某個(gè)值時(shí)，變量Y取值可能有幾個(gè)。各觀測(cè)點(diǎn)分布在直線周圍線性回歸的分類：I型回歸：因變量（Y）是隨機(jī)變化的，但自變量（X）可以不隨機(jī)，當(dāng)它是能夠精確測(cè)量和嚴(yán)密控制的量時(shí)，叫Y關(guān)于X的I型回歸。II型回歸

：因變量（Y）和自變量（X）都是隨機(jī)變化的，叫Y關(guān)于X的II型回歸。表12-1不同IgG濃度下的沉淀環(huán)數(shù)據(jù)IgG濃度（IU/ml）X12345沉淀環(huán)直徑（mm）Y4.05.56.27.78.5小結(jié)：回歸分析（Regressionanalysis）從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式；對(duì)這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的變量；利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)變量的取值來預(yù)測(cè)或控制另一個(gè)特定變量的取值，并給出這種預(yù)測(cè)或控制的精確程度。1.2線性回歸模型的適用條件linenormal正態(tài)性equalvariance等方差性因變量Y的總體平均值與自變量X呈線性關(guān)系在一定范圍內(nèi)任意給定Ｘ值，則對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量Ｙ服從正態(tài)分布在一定范圍內(nèi)，不同X值所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量Y的方差相同linear線性independent獨(dú)立性指任意兩個(gè)觀察值互相獨(dú)立誤差

與殘差稱為隨機(jī)誤差（總體）稱為殘差(residual)（樣本）根據(jù)上述，直線回歸分析要求資料滿足固定X，則Y服從正態(tài)分布等價(jià)于殘差服從正態(tài)分布。直線回歸原理示意圖：所以如果固定X，Y服從正態(tài)分布，其散點(diǎn)圖呈直線帶狀分布回歸分析的主要步驟繪制散點(diǎn)圖回歸參數(shù)的估計(jì)：求回歸系數(shù)β和常數(shù)項(xiàng)α回歸系數(shù)β和常數(shù)項(xiàng)α的假設(shè)檢驗(yàn)列出回歸方程，并進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)回歸方程的解釋（一）繪制散點(diǎn)圖：從散點(diǎn)圖可見：基礎(chǔ)代謝（Ｙ）和體重（Ｘ）有線性關(guān)系，可以考慮做線性回歸分析。圖11-114名健康中年婦女的基礎(chǔ)代謝與體重的散點(diǎn)圖1.3回歸參數(shù)的估計(jì)（二）回歸參數(shù)的估計(jì)：讓所有點(diǎn)的的平方和最小用最小二乘法擬合直線，選擇a和b使其殘差（樣本點(diǎn)到直線的豎直距離)平方和達(dá)到最小。最小二乘法原則的文字描述：回歸參數(shù)的估計(jì)方法：按照最小二乘法原則，可得到：回歸方程：例10-1：對(duì)14名40-60歲健康婦女的基礎(chǔ)代謝（Y）與體重（X）的相關(guān)系數(shù)r=0.964，現(xiàn)問基礎(chǔ)代謝（Y）是如何依存體重（X）變化而變化的？編號(hào)基礎(chǔ)代謝（kg/d）體重（kg）編號(hào)基礎(chǔ)代謝（kg/d）體重（kg）14175.650.783970.648.624435.053.793983.244.633460.237.1105050.158.644020.851.7115355.571.053987.447.8124560.659.764970.662.8134874.462.175359.767.3145029.261.5表10-114名健康中年婦女的基礎(chǔ)代謝與體重的測(cè)量值解：回歸方程的兩個(gè)參數(shù)分別為得回歸方程：作回歸直線圖回歸系數(shù)β的意義：1.由總體回歸方程可知μ

Y∣X=α+

x，參數(shù)β的意義：若自變量X增加1個(gè)單位，反應(yīng)變量Y的平均值便增加β個(gè)單位。。2.由于是μ

Y∣X=α+βX的估計(jì)表達(dá)式，所以（樣本）回歸系數(shù)b表示X增加一個(gè)單位，樣本觀察值Y平均增加b個(gè)單位。假設(shè)檢驗(yàn)回歸模型的假設(shè)檢驗(yàn)（modeltest）：回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)：目的：檢驗(yàn)求得的回歸方程在總體中是否成立；方法：?jiǎn)我蛩胤讲罘治觥Ｄ康模杭礄z驗(yàn)總體回歸體系數(shù)β是否為0（β=0）；方法：t檢驗(yàn)。1.4總體回歸系數(shù)β的統(tǒng)計(jì)推斷：1）回歸模型的假設(shè)檢驗(yàn)—方差分析SS總SS殘SS回SS總=SS回歸+SS殘差SS總(總平方和)v總=n-1{SS回歸(回歸平方和)v回歸=1{SS殘差(殘差平方和)v殘差=n-2{v總=v回歸+v殘差lyyblxy=lxy2/lxxlyy-lxy2/lxx變異的分解：變異的種類產(chǎn)生原因解釋SS總：Y的離均差平方和沒有利用X的信息時(shí)，Y觀察值的變異反映因變量Y的總變異SS回歸：（回歸平方和）當(dāng)自變量X引入模型后所引起的變異反映在Y的總變異中，可用Y與X的線性關(guān)系解釋的那部分變異。SS回歸越大，說明回歸效果越好。SS殘差：（殘差平方和）總變異中無法用X和Y的回歸關(guān)系解釋的那部分變異反應(yīng)自變量X以外因素對(duì)Y的變異的影響。表示考慮回歸之后，Y的隨機(jī)誤差?；貧w方程假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想：如果總體中自變量X對(duì)因變量Y沒有貢獻(xiàn)，則由樣本所得的回歸均方與殘差均方應(yīng)相近；反之，如果總體中自變量X對(duì)因變量Y有貢獻(xiàn)，回歸平方和反應(yīng)的就不僅僅是隨機(jī)誤差，即回歸均方必然要遠(yuǎn)大于殘差均方；依此，可計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值作出判斷。問：所求得的回歸方程在總體中是否成立？查F界值表（P572），確定單側(cè)臨界值Fa(v回歸,v殘差)，求概率值P，下結(jié)論均方：MS=SS/v回歸均方：MS回歸=SS回歸/v回歸殘差均方：

MS殘差=SS殘差/v殘差檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：1.建立假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)

H0：總體回歸方程不成立，即總體中自變量X對(duì)因變量Y沒有貢獻(xiàn)；

H1：總體回歸方程成立，即總體中自變量X對(duì)因變量Y有貢獻(xiàn)。

=0.05（單側(cè)）查F界值表（P468）：a=0.05，v回歸=1、v殘差=n-2=12得：F(k-1,n-k)=F(1，12)=4.753.確定P值，作出推斷結(jié)論：

由于F=158.36＞4.75，則P＜0.05，故拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為體重與基礎(chǔ)代謝之間有線性回歸關(guān)系。2.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值：2）回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)—t檢驗(yàn)

β=0，說明Y與X之間并不存在線性關(guān)系

β≠0，說明Y與X之間存在線性關(guān)系由總體回歸方程μ

Y∣X=α+

x

當(dāng)

=0時(shí)，μ

Y∣X=α

即：對(duì)于X的任何值，總體均數(shù)μ

Y∣X沒有任何改變，故建立Y與Ｘ的直線回歸方程就沒有任何意義了故

是否為0，涉及到所建立的回歸方程是否有意義的問題。然而從β=0的總體抽得樣本，計(jì)算出的回歸系數(shù)b很可能不為零，需要對(duì)

是否等于0進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)—t檢驗(yàn)t檢驗(yàn)：檢驗(yàn)過程：注意：1.在簡(jiǎn)單線性回歸模型中，對(duì)回歸模型的方差分析等價(jià)于對(duì)回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)，即有：2.對(duì)于服從雙變量正態(tài)分布的同樣一組資料，同時(shí)作相關(guān)分析和回歸分析，則相關(guān)系數(shù)的t檢驗(yàn)與回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)等價(jià)，即有：3）總體回歸系數(shù)β的區(qū)間估計(jì)：已知b為回歸系數(shù)的樣本估計(jì)值，Sb為樣本回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，則總體回歸系數(shù)β的雙側(cè)1-α置信區(qū)間為：上例題中b=61.4229，Sb=4.8810，v=12,查t界值表得：t0.05/2,12=2.179；則其總體回歸系數(shù)β的雙側(cè)95置信區(qū)間為：b±tα/2,vSb61.4229±2.179×4.881=(50.787,72.059)4）回歸方程的解釋：

——體重對(duì)基礎(chǔ)代謝的影響有多大？決定系數(shù)：回歸平方和與總平方和之比。

0≤R2≤1反映了自變量X對(duì)回歸效果的貢獻(xiàn)，即Y的總變異中回歸關(guān)系所能解釋的百分比（varianceaccountformula,VAF）；反映了回歸模型的擬合效果，可作為反應(yīng)擬合優(yōu)度（goodnessoffit）的指標(biāo)。上例題：SS總=4645447.0121，SS回歸=4318227.7159R2=SS回歸/SS總=0.964=96.4%解釋：說明基礎(chǔ)代謝總變異的96.4%與體重有關(guān)。1.5回歸方程的統(tǒng)計(jì)應(yīng)用：定量描述兩變量之間的依存關(guān)系。利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)。利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制。1)統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)：將X值作預(yù)報(bào)因子，固定總體中X為某定值Xi時(shí)，估計(jì)個(gè)體Y值的容許區(qū)間，即Y值的波動(dòng)范圍。例：第一觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)（X1=50.7）為例，預(yù)測(cè)第一數(shù)據(jù)點(diǎn)Y值的95%預(yù)測(cè)區(qū)間答：已知回歸方程故基礎(chǔ)代謝的95%容許區(qū)間為:均數(shù)置信區(qū)間：當(dāng)X值為某定值，并給定置信度1-α，考察Y的總體均數(shù)的分布時(shí)，可估計(jì)Y的總體均數(shù)μ

Y∣X的1-α置信區(qū)間。答：已知回歸方程故基礎(chǔ)代謝的95%容許區(qū)間為:例：第一觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)（X1=50.7）為例，預(yù)測(cè)Y的總體均數(shù)值的95%預(yù)測(cè)區(qū)間。2)統(tǒng)計(jì)控制：例：在硝酸鈉的溶解試驗(yàn)中，測(cè)得在不同溫度X下，溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù)Y的數(shù)據(jù)見表。若要求溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù)在80份以上，溫度應(yīng)如何控制？由原始數(shù)