2024屆湖南省長沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆湖南省長沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．若分式有意義，則取值范圍是（）A． B． C． D．2．某中學(xué)籃球隊(duì)12名隊(duì)員的年齡情況如下：年齡(單位：歲)1415161718人數(shù)15321則這個(gè)隊(duì)隊(duì)員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()A．15，16 B．15，15 C．15，15.5 D．16，153．點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．4．如圖，中，，分別是，的平分線，，則等于（）A． B． C． D．5．如圖，在中，，，．沿過點(diǎn)的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．則的周長是（）A．15 B．12 C．9 D．66．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相較于點(diǎn)O，BD＝8，BC＝5，AE⊥BC于點(diǎn)E，則AE的長為()A．5 B． C． D．7．如圖，中，，，，在上，，在上，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．8．某專賣店專營某品牌的襯衫，店主對(duì)上一周中不同尺碼的襯衫銷售情況統(tǒng)計(jì)如下：尺碼平均每天銷售數(shù)量（件）該店主決定本周進(jìn)貨時(shí)，增加了一些碼的襯衫，影響該店主決策的統(tǒng)計(jì)量是（）A．平均數(shù) B．方差 C．眾數(shù) D．中位數(shù)9．石墨烯是世界上最薄也是最堅(jiān)硬的納米材料，它的理論厚度僅0.00000000034m，將這個(gè)數(shù)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為（）A． B． C． D．10．下面式子從左邊到右邊的變形中是因式分解的是（）A． B．C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，點(diǎn)P是直線AB上不同于A、B的一點(diǎn)，且PC＝4，∠ACP＝30°，則PB的長為_____．12．如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個(gè)菱形，容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形的周長有最小值8，那么菱形周長的最大值是_________．13．化簡：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99=________．14．若a=2-2，b=（）0，c=（-1）3，將a，b，c三個(gè)數(shù)用“＜”連接起來應(yīng)為_______．15．已知等腰三角形的其中兩邊長分別為，，則這個(gè)等腰三角形的周長為_____________．16．如果x+＝3，則的值等于_____17．如圖，已知在上兩點(diǎn)，且，若，則的度數(shù)為________．18．如圖，已知,要使,還需添加一個(gè)條件，則可以添加的條件是．（只寫一個(gè)即可，不需要添加輔助線）三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，，，，，垂足分別為D、E，CE與AB相交于O．（1）證明：；（2）若AD=25，BE=8，求DE的長；（3）若，求的度數(shù).20．（6分）如圖,四邊形ABCD中，∠B=90°,AB//CD，M為BC邊上的一點(diǎn)，AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，求證:(1)AM⊥DM;(2)M為BC的中點(diǎn).21．（6分）如圖1，在中，于E，，D是AE上的一點(diǎn)，且，連接BD，CD．試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；如圖2，若將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由；如圖3，若將中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請(qǐng)直接寫出夾角度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由．22．（8分）定義：到一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)叫做該三角形的外心．（1）如圖①，小海同學(xué)在作△ABC的外心時(shí)，只作出兩邊BC，AC的垂直平分線得到交點(diǎn)O，就認(rèn)定點(diǎn)O是△ABC的外心，你覺得有道理嗎？為什么？（2）如圖②，在等邊三角形ABC的三邊上，分別取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使AD＝BE＝CF，連接DE，EF，DF，得到△DEF．若點(diǎn)O為△ABC的外心，求證：點(diǎn)O也是△DEF的外心．23．（8分）通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，并且假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)．類比分?jǐn)?shù)，對(duì)于分式也可以定義：對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．如：解決下列問題：（1）分式是________分式（填“真”或“假”）；（2）假分式可化為帶分式_________的形式；請(qǐng)寫出你的推導(dǎo)過程；（3）如果分式的值為整數(shù)，那么的整數(shù)值為_________．24．（8分）如圖，等邊△ABC的邊長為15cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)A，點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M，N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M，N兩點(diǎn)重合？（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，△AMN為等邊三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)M，N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M，N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．25．（10分）如圖，在中，，點(diǎn)在內(nèi)，，，點(diǎn)在外，，．（1）求的度數(shù)；（2）判斷的形狀并加以證明；（3）連接，若，，求的長．26．（10分）已知，．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)你畫一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)的位置；（2）求出的算術(shù)平方根．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】根據(jù)分式有意義的條件：分母≠0，列出不等式即可求出的取值范圍．【題目詳解】解：∵分式有意義，∴解得：故選B．【題目點(diǎn)撥】此題考查的是分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件：分母≠0是解決此題的關(guān)鍵．2、C【分析】由題意直接根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解可得．【題目詳解】解：∵這組數(shù)據(jù)中15出現(xiàn)5次，次數(shù)最多，∴眾數(shù)為15歲，中位數(shù)是第6、7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)為=15.5歲，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查眾數(shù)與中位數(shù)，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個(gè)數(shù)（最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會(huì)出錯(cuò)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．3、B【解題分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)進(jìn)行求解即可.【題目詳解】∵兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.4、B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．【題目詳解】解：∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°，

∵BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，,∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°．

故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查角平分線的有關(guān)計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理．本題中是將∠OBC+∠OCB看成一個(gè)整體求得的，掌握整體思想是解決此題的關(guān)鍵．5、B【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ABC是直角三角形，從而可得B、E、C三點(diǎn)共線，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD=ED，CA=CE，于是所求的的周長轉(zhuǎn)化為求AB+BE，進(jìn)而可得答案．【題目詳解】解：在中，∵，∴是直角三角形，且∠A=90°，∵沿過點(diǎn)的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，∴B、E、C三點(diǎn)共線，AD=ED，CA=CE，∴BE=BC－CE=15－1=3，∴的周長=BD+DE+BE=BD+AD+3=AB+3=9+3=1．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的逆定理和折疊的性質(zhì)，屬于常見題型，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題關(guān)鍵．6、C【解題分析】在中，根據(jù)求出OC，再利用面積法可得，由此求出AE即可．【題目詳解】四邊形ABCD是菱形，，，，在中，，，故，解得：．故選C．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理，正確利用三角形面積求出AE的長是解題關(guān)鍵．7、B【分析】先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，從而可知是等邊三角形，再由等邊三角形的性質(zhì)可求出，從而可得，最后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得．【題目詳解】是等邊三角形，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題是一道較為簡單的綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟記并靈活運(yùn)用各性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8、C【分析】銷量大的尺碼就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．【題目詳解】由于眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，故影響該店主決策的統(tǒng)計(jì)量是眾數(shù)．

故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．9、C【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×1-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【題目詳解】解：0.000000000034=3.4×1-1．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×1-n，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式.10、C【分析】根據(jù)把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解進(jìn)行分析即可．【題目詳解】解：A.x2?x?2=x(x?1)-2錯(cuò)誤；B.(a+b)(a?b)=a2?b2錯(cuò)誤；C.x2?4=(x+2)(x?2)正確；D.x?1=x(1?)錯(cuò)誤；故答案選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是因式分解的意義，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握因式分解的意義.二、填空題(每小題3分,共24分)11、1或2【分析】分兩種情形分別畫出圖形即可解問題．【題目詳解】分兩種情況討論：①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)．∵∠CAP=90°，∠ACB=60°，∠ACP=30°，∴∠APC=60°，∠B=30°．∵∠APC=∠B+∠PCB，∴∠PCB=∠B=30°，∴PB=PC=1．②當(dāng)點(diǎn)P'在BA的延長線上時(shí)．∵∠P'CA=30°，∠ACB=60°，∴∠P'CB=∠P'CA+∠ACB=90°．∵∠B=30°，P'C=1，∴BP'=2P'C=2．故答案為：1或2．【題目點(diǎn)撥】本題考查了含30°角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．12、1【分析】畫出圖形，設(shè)菱形的邊長為x，根據(jù)勾股定理求出周長即可．【題目詳解】當(dāng)兩張紙條如圖所示放置時(shí)，菱形周長最大，設(shè)這時(shí)菱形的邊長為xcm，

在Rt△ABC中，

由勾股定理：x2=（8-x）2+22，

解得：x=,∴4x=1，

即菱形的最大周長為1cm．

故答案是：1．【題目點(diǎn)撥】解答關(guān)鍵是怎樣放置紙條使得到的菱形的周長最大，然后根據(jù)圖形列方程．13、（a+1）1．【分析】原式提取公因式，計(jì)算即可得到結(jié)果．【題目詳解】原式=（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]，

=（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]，

=（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]，

=…，

=（a+1）1．

故答案是：（a+1）1．【題目點(diǎn)撥】考查了因式分解-提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關(guān)鍵．14、c＜a＜b【分析】先求出各數(shù)的值，再比較大小即可．【題目詳解】解：a=2-2=，b=（）0=1，c=（-1）3=-1，

∵-1＜＜1，

∴c＜a＜b．

故答案為：c＜a＜b．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，將各數(shù)化簡再比較大小的法則是解答此題的關(guān)鍵．15、【分析】由等腰三角形的定義，對(duì)腰長進(jìn)行分類討論，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，即可得到答案.【題目詳解】解：∵等腰三角形的其中兩邊長分別為，，當(dāng)4為腰長時(shí)，，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)9為腰長時(shí)，能構(gòu)成三角形，∴這個(gè)等腰三角形的周長為：；故答案為：22.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的定義，以及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的定義進(jìn)行解題.注意運(yùn)用分類討論的思想.16、【分析】由x+=3得x2+2+=9，即x2+=1，整體代入原式==，計(jì)算可得結(jié)論．【題目詳解】解：∵x+=3，∴（x+）2=9，即x2+2+=9，則x2+=1．∵x≠0，∴原式====．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分式的值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整體代入思想的運(yùn)用及利用分式的基本性質(zhì)對(duì)分式變形．17、80【分析】先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再通過條件證明,最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)即可得出答案．【題目詳解】∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴，在△AED和△CFB中，，∴，∴，∵，∴，故答案是．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合外角定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18、可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．【分析】由AB=BC結(jié)合圖形可知這兩個(gè)三角形有兩組邊對(duì)應(yīng)相等，添加一組邊利用SSS證明全等，也可以添加一對(duì)夾角相等，利用SAS證明全等，據(jù)此即可得答案.【題目詳解】.可添∠ABD=∠CBD或AD=CD，①∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SAS）；②AD=CD，在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SSS），故答案為∠ABD=∠CBD或AD=CD．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的判定，結(jié)合圖形與已知條件靈活應(yīng)用全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.熟記全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．三、解答題(共66分)19、（1）見解析；（2）17；（3）∠CAD=20°．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°，然后根據(jù)同角的余角相等可得∠ACD=∠CBE，然后利用AAS即可證出結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=CE，BE=CD，利用等量代換即可求出結(jié)論；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)∠ABC=∠BAC=45°，從而求出∠BCE，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：（1）∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°∴∠ACD=∠CBE∵AC=BC∴BCE≌CAD（AAS）；（2）∵BCE≌CAD，∴AD=CE，BE=CD，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE=25﹣8=17；（3）∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠ABC=∠BAC=45°∵∠BOE=65°∴∠BCE=∠BOE-∠ABC=20°∵BCE≌CAD∴∠BCE=∠CAD∴∠CAD=20°．【題目點(diǎn)撥】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．20、（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD＋∠ADC＝180°，根據(jù)角平分線的定義得到∠MAD＋∠ADM＝90°，求出∠AMD＝90°，根據(jù)垂直的定義得到答案；（2）作MN⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BM＝MN，MN＝CM，等量代換可得結(jié)論．【題目詳解】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°，∴∠MAD＋∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM；（2）作MN⊥AD交AD于N，∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，即M為BC的中點(diǎn)．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．21、(1)見解析;(2)見解析;(3)①BD=AC理由見解析;見解析．【解題分析】（1）可以證明△BDE≌△ACE推出BD=AC，BD⊥AC．（2）如圖2中，不發(fā)生變化．只要證明△BED≌△AEC，推出BD=AC，∠BDE=∠ACE，由∠DEC=90°，推出∠ACE+∠EOC=90°，因?yàn)椤螮OC=∠DOF，所以∠BDE+∠DOF=90°，可得∠DFO=180°－90°=90°，即可證明．（3）①如圖3中，結(jié)論：BD=AC，只要證明△BED≌△AEC即可．②能；由△BED≌△AEC可知，∠BDE=∠ACE，推出∠DFC=180°－（∠BDE+∠EDC+∠DCF）=180°－（∠ACE+∠EDC+∠DCF）=180°－（60°+60°）=60°即可解決問題．【題目詳解】解：，，

理由是：延長BD交AC于F．

，

，

在和中

≌，

，，

，

，

，

，

，

；

不發(fā)生變化．

如圖2，令A(yù)C、DE交點(diǎn)為O

理由：，

，

，

在和中

≌，

，，

，

，

，

，

，

；(3)；

證明：和是等邊三角形，

，，，，

，

，

在和中

≌，

．②夾角為．

解：如圖3，令A(yù)C、BD交點(diǎn)為F，

由①知≌，

，

，即BD與AC所成的角的度數(shù)為或【題目點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力，熟練掌握幾何變換是解題的關(guān)鍵.22、（1）定點(diǎn)O是△ABC的外心有道理，理由見解析；（2）見解析【分析】（1）連接、、，如圖①，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，則，從而根據(jù)三角形的外心的定義判斷點(diǎn)是的外心；（2）連接、、、，如圖②，利用等邊三角形的性質(zhì)得到，，再計(jì)算出，接著證明得到，同理可得，所以，然后根據(jù)三角形外心的定義得到點(diǎn)是的外心．【題目詳解】（1）解：定點(diǎn)是的外心有道理．理由如下：連接、、，如圖①，，的垂直平分線得到交點(diǎn)，，，，點(diǎn)是的外心；（2）證明：連接、、、，如圖②，點(diǎn)為等邊的外心，，，，，在和中，，，同理可得，，點(diǎn)是的外心．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)和全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)．掌握線段垂直平分線性質(zhì)和構(gòu)造三角形全等是解題關(guān)鍵．23、真【分析】(1)比較分式的分子分母的次數(shù)容易判定出它是真分式還是假分式；(2)分式分子變形為，利用同分母分式減法逆運(yùn)算法則變形即可得；(3)在的基礎(chǔ)上，對(duì)于這個(gè)帶分式，只要滿足為整數(shù)即可求出整數(shù)x的值．【題目詳解】(1)分式的分子是常數(shù)，其次數(shù)為0，分母x的次數(shù)為1,分母的次數(shù)大于分子的次數(shù)，所以是真分；(2)；(3)由(2)得：，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，原分式的值為整數(shù)，∴此時(shí)，整數(shù)x可能滿足：或或或∴．故答案為：真；；【題目點(diǎn)撥】本題考查的是與分式有關(guān)的新定義問題、整式次數(shù)的判定和分式的相關(guān)運(yùn)算，根據(jù)新定義及例題的變形方法解決相關(guān)問題是解決此類問題的關(guān)鍵．24、（1）15秒；（2）5秒；（3）20秒【分析】（1）由點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)路程＝點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路程+AB間的路程，列出方程求解，捷克得出結(jié)論；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得AN＝AM，可列方程求解，即可得出結(jié)論；（3）由全等三角形的性質(zhì)可得CM＝BN，可列方程求解，即可得出結(jié)論．【題目詳解】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，M、N兩點(diǎn)重合，根據(jù)題意得：2t﹣t＝15，∴t＝15，答：點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)15秒后，M、N兩點(diǎn)重合；（2）如圖1，設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，△AMN為等邊三角形，∴AN＝AM，由運(yùn)動(dòng)知，AN＝15﹣2x，AM＝x，∴15﹣2x＝x，解得：x＝5，∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)5秒后，△AMN是等邊三角形；（3）假設(shè)存在，如圖2，設(shè)M、N運(yùn)動(dòng)y秒后，得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，∴AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠B＝60°，∴△ACN≌△ABM（AAS），∴CN＝BM，∴CM＝BN，由運(yùn)動(dòng)知，CM＝y(tǒng)﹣15，BN＝15×