非線性混沌分類與混沌特性研究

非線性混沌分類與混沌特性研究

在仔細(xì)研究人類生活的發(fā)展過(guò)程中，有兩個(gè)問(wèn)題是最重要的。一個(gè)是如何預(yù)測(cè)未來(lái)，另一個(gè)是如何預(yù)測(cè)未來(lái)，關(guān)系等問(wèn)題在這里。第一個(gè)問(wèn)題是實(shí)用性的,而第二個(gè)問(wèn)題則是理論性的,它關(guān)系到一種原則和生活的意義。20世紀(jì)中葉以后,當(dāng)氣象學(xué)家洛倫茲提出“蝴蝶效應(yīng)”時(shí),人們了解到,就是完全確定性的動(dòng)力學(xué)方程,也仍然會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)性演化。那么,如何預(yù)測(cè)未來(lái)呢?預(yù)測(cè)還可能嗎?人們現(xiàn)在更害怕混沌理論打破他們對(duì)未來(lái)可預(yù)測(cè)性的幻想。但是這種幻想實(shí)在是一種幻象。其實(shí),從休謨起,科學(xué)哲學(xué)對(duì)歸納問(wèn)題本質(zhì)的揭示已經(jīng)對(duì)單一的決定論因果觀念給出了不可能的回答。有哪一個(gè)人知道自己的生命和生命之途將如何走向呢?哪一個(gè)生命的道路不是在生命演化過(guò)程中逐漸完成的呢?其實(shí),宿命論與線性決定論的聯(lián)系比與隨機(jī)論的聯(lián)系更強(qiáng)。另一方面,也出現(xiàn)了相反的誤讀和誤解。人們以為,混沌理論如果正確,那么世界將完全不可預(yù)測(cè)。似乎混沌理論助長(zhǎng)了悲觀主義。其實(shí),混沌理論的出現(xiàn),一方面揭示了自然界和社會(huì)客觀存在混沌,誰(shuí)都無(wú)法避免;另一方面,混沌理論對(duì)混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究,恰恰幫助人們了解混沌現(xiàn)象,對(duì)“混沌”不混沌,才能處事(處世)不驚、不亂?；煦缋碚撛谝欢ㄒ馍细С至藳Q定論,因?yàn)樗言瓉?lái)屬于隨機(jī)性的、偶然性的領(lǐng)域,也納入到?jīng)Q定論的管轄范圍內(nèi)。所以,在一定意義上,混沌理論是預(yù)測(cè)混沌的,是認(rèn)識(shí)和控制混沌的工具和方法。而且后面我們將看到,混沌強(qiáng)弱不同時(shí),系統(tǒng)演化行為的預(yù)測(cè)完全是不同的。一、混沌的兩種含義普通意義上,混沌只是意味著混亂、無(wú)秩序,而在非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中,混沌一詞則有更精細(xì)的十分不同的意義。為了區(qū)別,把前一種混沌稱為線性平衡態(tài)熱力學(xué)混沌,后一種混沌稱為非線性動(dòng)力學(xué)混沌。關(guān)于混沌在古代、經(jīng)典科學(xué)的不同含義,以往許多文獻(xiàn)討論的比較充分,這里不再贅述。本文只研究非線性動(dòng)力學(xué)混沌的定義、方法和意義。1.混沌:初始條件的自我依賴最早創(chuàng)立混沌理論的著名氣象學(xué)家洛倫茲說(shuō):“我用混沌這個(gè)術(shù)語(yǔ)來(lái)泛指這樣的過(guò)程——它們看起來(lái)是隨機(jī)發(fā)生的而實(shí)際上其行為卻由精確的法則決定”。在另外的地方,他稱更準(zhǔn)確的被重新定義的混沌系統(tǒng)是指敏感地依賴于初始條件的內(nèi)在變化的系統(tǒng)。對(duì)于外來(lái)變化的敏感性本身并不意味著混沌。另一個(gè)在圣費(fèi)研究所工作過(guò)對(duì)元胞自動(dòng)機(jī)的研究方面有重要貢獻(xiàn)的混沌理論創(chuàng)始人諾曼·帕卡德在接受采訪時(shí)對(duì)混沌現(xiàn)象的描述是,這種現(xiàn)象有三個(gè)名稱:蝴蝶效應(yīng)、對(duì)初始條件的敏感性依賴和信息增殖。他指出,在決定論中也會(huì)存在隨機(jī)行為,這就是混沌的一種特定屬性。初始狀態(tài)失之毫厘,最終狀態(tài)就會(huì)謬以千里。初始狀態(tài)微小的差別隨系統(tǒng)的演化越變?cè)酱??；煦缡沁@樣一個(gè)例子:它的行為所表現(xiàn)出來(lái)的方程式很簡(jiǎn)單,但卻是不可推導(dǎo)的?！匆郧暗挠^點(diǎn),我們會(huì)認(rèn)為是可解的,可預(yù)測(cè)的,但事實(shí)上混沌卻表現(xiàn)出一種隨機(jī)的、不可預(yù)測(cè)的運(yùn)動(dòng)方式。2.混沌的非周期行為中國(guó)科學(xué)院院士郝柏林教授對(duì)混沌的定義與國(guó)外學(xué)者類似。他說(shuō):某些完全確定論的系統(tǒng),不加任何隨機(jī)因素就可能出現(xiàn)與布朗運(yùn)動(dòng)不能區(qū)分的行為:“失之毫厘,差之千里”的對(duì)初值細(xì)微變化的敏感依賴性,使得確定論系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間行為必須借助概率論方法描述,這就是混沌。程極泰給非線性動(dòng)力學(xué)混沌定義為:(1)混沌是一種確定性現(xiàn)象;(2)混沌是一種強(qiáng)非線性動(dòng)態(tài);(3)混沌是相對(duì)于一些“不動(dòng)點(diǎn)”、“周期點(diǎn)”的特定形式的一種未定形的交融于特定形式間的無(wú)序狀態(tài)。陳寧等人認(rèn)為,如果一個(gè)系統(tǒng):(1)有對(duì)初始條件的敏感依賴性;(2)是拓?fù)鋫鬟f的;(3)在出現(xiàn)混沌的區(qū)域內(nèi)有稠密周期點(diǎn),那么這個(gè)系統(tǒng)就是混沌。綜上所述,建基于混沌理論的兩個(gè)非常重要的觀點(diǎn)很清晰:(1)混沌是貌似隨機(jī)性的非周期行為,它可以由確定性產(chǎn)生;(2)非線性問(wèn)題將被視為非線性問(wèn)題而不是作為簡(jiǎn)單線性問(wèn)題加以處理。這幾個(gè)重要思想給我們關(guān)于混沌理論的認(rèn)識(shí)論方法論研究提供重要依據(jù)。二、非線性動(dòng)力學(xué)混合的詳細(xì)分類現(xiàn)在不僅可以對(duì)平衡態(tài)熱力學(xué)混沌(無(wú)序)與非線性動(dòng)力學(xué)混沌之間做出區(qū)分,而且能夠?qū)Ψ瞧胶鈶B(tài)的非線性動(dòng)力學(xué)混沌再做更細(xì)致的區(qū)分。1.時(shí)間和空間條件的敏感依賴A.A.Tsonis對(duì)混沌的時(shí)間和空間行為做了劃分,它把混沌對(duì)初始條件的敏感依賴性細(xì)致劃分為兩種依賴性——時(shí)間和空間條件的依賴性,并且在研究上給出了低維動(dòng)力系統(tǒng)的時(shí)間混沌和空間混沌的定義:時(shí)間混沌即系統(tǒng)狀態(tài)具有初始條件敏感性;空間混沌即系統(tǒng)狀態(tài)具有邊界條件敏感性。2.動(dòng)力系統(tǒng)的特性E.N.洛倫茲把混沌分成了完全混沌和有限混沌兩種。認(rèn)為混沌是表征一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的特性,如果在該系統(tǒng)中大多數(shù)軌道顯示敏感依賴性,即所謂完全混沌;如果在該系統(tǒng)中只有某些軌道是非周期的,但大多數(shù)軌道是周期的或冷周期的,即有限混沌。3.強(qiáng)混沌與弱混沌程極泰把混沌稱為強(qiáng)非線性混沌,實(shí)際上是指洛倫茲意義的完全混沌。而所謂強(qiáng)混沌和弱混沌是按照有無(wú)一個(gè)時(shí)間尺度從而是否可以對(duì)系統(tǒng)的演化行為做出預(yù)測(cè)來(lái)劃分的。PerBak等人認(rèn)為強(qiáng)混沌即存在一個(gè)時(shí)間尺度,一旦超越這個(gè)尺度,系統(tǒng)演化就不可預(yù)測(cè);而弱混沌則不存在這樣一個(gè)尺度,它可以進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)報(bào)。這樣一個(gè)區(qū)分就使得我們?cè)诒疚拈_始時(shí)關(guān)于未來(lái)預(yù)測(cè)的話題變得稍稍輕松些了。因?yàn)橄裢牧鞫疾皇菑?qiáng)混沌,而科學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn),目前所找到的自組織的臨界現(xiàn)象都是弱混沌的,所以看來(lái)起來(lái)自然界存在著大量的弱混沌現(xiàn)象。而弱混沌是可以長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的。上面的區(qū)分,嚴(yán)格地說(shuō),是指在混沌區(qū)內(nèi),強(qiáng)混沌區(qū)域不可預(yù)測(cè),而弱混沌區(qū)的大部分可以預(yù)測(cè)。三、混沌的判定:決定是否混沌混沌有哪些特性,如何根據(jù)混沌的特性尋找和判別混沌呢?有的學(xué)者認(rèn)為,混沌所必須具備的兩個(gè)主要特征是:(1)對(duì)于某些參量值,在幾乎所有的初始條件下,都將產(chǎn)生非周期動(dòng)力學(xué)過(guò)程;(2)隨著時(shí)間的推移,任意靠近的各個(gè)初始條件將表現(xiàn)出各自獨(dú)立的時(shí)間演化,即存在對(duì)初始條件的敏感依賴性。這兩個(gè)特性可能是非線性混沌最具特點(diǎn)的性質(zhì)。對(duì)這兩個(gè)特性的描述或判別證據(jù),有的學(xué)者給出描述混沌的4個(gè)基本判斷尺度:1.混沌(在存在數(shù)學(xué)方程可數(shù)學(xué)分析的情況下)存在的必要條件是存在正李亞普諾夫特征指數(shù)(Liapunovcharacteristicexponents,用來(lái)刻畫運(yùn)動(dòng)軌跡收斂或發(fā)散的速率)。以洛倫茲吸引子為例,它的三維相空間的吸引子的李亞普諾夫特征指數(shù)譜為(2.16;0.00;-32.4),在信息論意義上,它意味著如果一個(gè)初始條件在每個(gè)坐標(biāo)方向用16位來(lái)描述,那么每秒2.16位這個(gè)正的李亞普諾夫特征指數(shù)指,系統(tǒng)狀態(tài)的所有信息大約在8秒(即大約16個(gè)平均軌跡周期)以后將全部丟失,除非該軌跡仍然留在吸引子內(nèi)部。如果在臨近于信息完全丟失時(shí)出現(xiàn)某一擾動(dòng),那么每秒-32.4位的負(fù)的李亞普諾夫特征指數(shù)意味著軌跡大約在1/16秒(即軌跡平均周期的1/8)以內(nèi)返回吸引子(對(duì)16位的分辯率而言)。2.刻畫系統(tǒng)在相空間中運(yùn)動(dòng)或結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的維數(shù)一般為分?jǐn)?shù)維,表明混沌存在分形結(jié)構(gòu)。分形存在意味著混沌內(nèi)部存在自相似的結(jié)構(gòu),這同時(shí)表明,混沌內(nèi)部具有精細(xì)的周期結(jié)構(gòu)。關(guān)于此點(diǎn)具有方法的可操作性。不管我們是否可以得到一個(gè)混沌系統(tǒng)或混沌運(yùn)動(dòng)的維數(shù)刻畫,在直觀上,分形與整形是可以區(qū)分而且容易區(qū)分的。3.用來(lái)反映動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)非線性狀況、復(fù)雜性程度和運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定性的拓?fù)潇?topologicalentro-py)非負(fù)。4.混沌運(yùn)動(dòng)的功率譜連續(xù),類似白噪聲。于是在判定力學(xué)模型、物理過(guò)程等具體系統(tǒng)是否存在混沌性態(tài)時(shí),人們往往根據(jù)以上判據(jù)采取以下方法研究混沌。(1)通過(guò)數(shù)值計(jì)算,觀察系統(tǒng)的相圖結(jié)構(gòu);(2)計(jì)算李亞普諾夫指數(shù),若存在正的李亞普諾夫指數(shù),則認(rèn)為系統(tǒng)是混沌的;(3)計(jì)算拓?fù)潇鼗驕y(cè)度熵,若拓?fù)潇鼗驕y(cè)度熵大于零,則認(rèn)為系統(tǒng)是混沌的;(4)計(jì)算容量維或豪斯道夫維數(shù),若維數(shù)為分?jǐn)?shù),則認(rèn)為系統(tǒng)是混沌的;(5)分析功率譜,若功率譜是連續(xù)的,則認(rèn)為系統(tǒng)是混沌的。以上在系統(tǒng)可以描述或表達(dá)為一個(gè)(或一組)微分方程時(shí),是極其有效的方法。但是系統(tǒng)不能用微分方程表達(dá)時(shí),如何判斷系統(tǒng)有混沌運(yùn)動(dòng)或系統(tǒng)就是某種混沌系統(tǒng)呢?郝柏林先生提出在尚未找到混沌的統(tǒng)一而嚴(yán)格的定義的情況下,可以從如下情況對(duì)混沌系統(tǒng)進(jìn)行判別。一個(gè)確定性系統(tǒng)在沒(méi)有外部隨機(jī)因素影響的情況下出現(xiàn)下列現(xiàn)象:(1)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)規(guī)律而復(fù)雜,看上去與隨機(jī)運(yùn)動(dòng)類似;(2)系統(tǒng)的輸出單個(gè)地看敏感地依賴于初始條件;(3)系統(tǒng)的某些整體特征(如,正的李亞普諾夫指數(shù),或正的[拓?fù)鋆熵),或分?jǐn)?shù)維的吸引子,等)與初始條件的選擇關(guān)系不大,則稱此系統(tǒng)是混沌的。以上三條中,可以概括為(1)貌似隨機(jī)性或非周期性;(2)單軌敏感依賴性;(3)整體不敏感性?？梢猿蔀榕袛嗷煦缯髡椎摹艾F(xiàn)象學(xué)”方法。另外,在對(duì)混沌無(wú)法以定量方式進(jìn)行研究時(shí),也可以通過(guò)區(qū)別隨機(jī)噪聲和確定混沌,研究混沌所具有的一般特性來(lái)判斷系統(tǒng)是否是混沌的。確定性混沌的一般特性有以下4點(diǎn):1.確定性。產(chǎn)生非線性混沌的系統(tǒng)是確定性系統(tǒng),如果可用方程描述,那么動(dòng)力學(xué)方程是確定性方程。呂埃爾認(rèn)為,混沌也可以稱為確定性的噪聲,即其非規(guī)則振蕩運(yùn)動(dòng)被觀察顯現(xiàn)出嘈雜的噪聲行為,而產(chǎn)生它們的是確定性的機(jī)制。2.非線性。有非線性不一定產(chǎn)生混沌,但是沒(méi)有非線性則根本不可能產(chǎn)生混沌。因此我們才把混沌稱為非線性混沌。3.對(duì)初始條件的極端敏感依賴性?；煦绲囊粋€(gè)主要特征是,動(dòng)力學(xué)特性對(duì)初始條件有敏感依賴性。這意味著雖然理論上應(yīng)當(dāng)有可能預(yù)測(cè)作為時(shí)間函數(shù)的動(dòng)力學(xué)特性,可實(shí)際上卻做不到,因?yàn)榻o定初始條件時(shí)出現(xiàn)的任何偏差(不管多小),都會(huì)產(chǎn)生在將來(lái)某個(gè)時(shí)刻錯(cuò)誤的預(yù)測(cè)。對(duì)初始條件的敏感依賴性不是處處時(shí)時(shí)成立的,但是,對(duì)初始條件不敏感,就不是在混沌所發(fā)生的奇怪吸引子區(qū)域內(nèi)了。所以,以對(duì)初條件的極端敏感依賴性表達(dá)混沌,是非常確切的,這個(gè)特性是混沌最特殊的最突出的特性。以下我們還可以從此點(diǎn)來(lái)區(qū)分混沌和噪聲。4.非周期性?；煦邕\(yùn)動(dòng)一定是非周期性的,但是全體混沌運(yùn)動(dòng)組成的混沌系統(tǒng)卻存在稠密的周期軌道。這四條中只有第三條可以稱為產(chǎn)生混沌的充分必要條件,而另外三條卻不是充分條件。即有這樣的條件,有可能產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)或混沌系統(tǒng),但是卻不能完全判別系統(tǒng)就是混沌。但是僅僅有第三條是否就必然是混沌呢?原則上或理論上,如果能夠用一組確定性非線性微分方程表達(dá)系統(tǒng),并且可以解方程,方程的演化具有對(duì)初始條件敏感依賴性,那么只要有第三條就可以判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的混沌性。但是在實(shí)際系統(tǒng)演化中,無(wú)法做到處處以微分方程表達(dá)系統(tǒng),那么單憑敏感性就無(wú)法判斷系統(tǒng)是否混沌了,原因是,第一,對(duì)敏感性測(cè)量的敏感本身會(huì)有測(cè)量誤差;第二,實(shí)驗(yàn)研究測(cè)量實(shí)際系統(tǒng)敏感性常常不可重復(fù),特別是非自然科學(xué)領(lǐng)域。由于以上原因,其他條件也是需要的,可以進(jìn)行綜合判斷。四、混沌與噪聲的區(qū)分我們知道區(qū)分非線性混沌和平衡態(tài)噪聲是非常有意義的,因?yàn)楸举|(zhì)上它們是根本不同的東西,一個(gè)意味著進(jìn)化,一個(gè)則是退化的產(chǎn)物;一個(gè)只是表面上無(wú)序,而內(nèi)部存在結(jié)構(gòu),另一個(gè)則是根本上無(wú)序。而且區(qū)分混沌與噪聲本身也是混沌學(xué)理論或?qū)ふ一煦绲闹匾椒?。似乎從理論上可以容易地區(qū)分非線性動(dòng)力學(xué)混沌與噪聲(無(wú)序,或線性混沌),但這本身也只是一個(gè)似是而非的問(wèn)題。因?yàn)榉蔷€性動(dòng)力學(xué)混沌所具有的特征,噪聲也同樣具有不少。例如,非線性動(dòng)力學(xué)混沌系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)規(guī)律而復(fù)雜,看上去與隨機(jī)運(yùn)動(dòng)類似,即混沌具有貌似隨機(jī)性,而噪聲則是隨機(jī)運(yùn)動(dòng),噪聲運(yùn)動(dòng)同樣也是非周期運(yùn)動(dòng)。那么如何區(qū)分非線性混沌和噪聲呢?1.噪聲(noise)指的是偶然的漲落。它可以通過(guò)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)加以描述。噪聲可能是由隨機(jī)漲落或別種環(huán)境作用所致。與噪聲形成對(duì)照的是混沌,它產(chǎn)生于確定性系統(tǒng)。但是,如果不能對(duì)描述現(xiàn)象建立非線性方程如何知道體系是確定性系統(tǒng)呢?這里有兩個(gè)行動(dòng)性的實(shí)踐辦法。首先,隔離外界對(duì)系統(tǒng)的隨機(jī)性影響。隔離后的系統(tǒng)如果還產(chǎn)生混沌的無(wú)序的隨機(jī)性運(yùn)動(dòng),那么系統(tǒng)就是混沌。第二,由于混沌是確定性系統(tǒng)的行為,因此恰恰應(yīng)該在環(huán)境噪聲完全不存在的情況下觀察到混沌。在真實(shí)的系統(tǒng)和環(huán)境條件下,雖然不能安全排除噪聲,但是如果對(duì)系統(tǒng)演化起主要作用的不是隨機(jī)性力,那么系統(tǒng)就是混沌。2.混沌的具有內(nèi)部結(jié)構(gòu)的特性也區(qū)別于噪聲,因?yàn)樵肼暿菦](méi)有內(nèi)部精細(xì)結(jié)構(gòu)的。這一條也成為可以操作的區(qū)分噪聲與混沌的條件或方法,但是如何知道混沌的內(nèi)部結(jié)構(gòu)?噪聲沒(méi)有內(nèi)部結(jié)構(gòu),它的演化是各個(gè)局部越來(lái)越均勻化,而混沌的演化分岔則是差別越來(lái)越大?；煦缜昂鬀](méi)有兩個(gè)相同狀態(tài)或運(yùn)動(dòng)軌跡,可能是區(qū)分混沌與噪聲的實(shí)際方法。3.混沌對(duì)初始條件具有敏感依賴性,而噪聲對(duì)初始條件沒(méi)有特別依賴性。這是區(qū)分混沌與噪聲的一個(gè)極好的判別方法,因?yàn)榭梢詸z驗(yàn)系統(tǒng)對(duì)兩個(gè)不同的初始條件是否具有敏感依賴性。五、種狀態(tài)間的混沌狀態(tài)存在多種混沌先兆(即通向混沌的道路),呂埃爾和塔肯斯給出了第一個(gè)定性的描述性答案,他們假設(shè):在系統(tǒng)中,只要從穩(wěn)定狀態(tài)產(chǎn)生三次分叉,就會(huì)出現(xiàn)混沌。其中,第一次分叉使得系統(tǒng)從穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谛誀顟B(tài);第二次分叉使得周期性狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榻浦芷跔顟B(tài);第三次分叉使得近似周期狀態(tài)向具有三種頻率的近似周期狀態(tài)轉(zhuǎn)化。這第三種狀態(tài),鑒于其不穩(wěn)定性,將很快讓位于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。另外還有周期倍化、間歇陣發(fā)和環(huán)面分岔,以及同宿和異宿分岔等混沌先兆。1.混沌振動(dòng)發(fā)生前的參數(shù)分岔點(diǎn)即外部控制參數(shù)變化時(shí),發(fā)生周期的成倍分岔。這表明,可以通過(guò)控制外部參數(shù)產(chǎn)生混沌,或控制混沌大小,或減低混沌程度。在自然科學(xué)領(lǐng)域中,混沌振動(dòng)發(fā)生前的參數(shù)分岔點(diǎn)可表示為:λm=λ∞-cδ-m(m≥1)其中c為常數(shù)。δ為費(fèi)根鮑姆常數(shù)(4.6692…)。λ∞是發(fā)生混沌時(shí)的參數(shù),通過(guò)下式可以估算發(fā)生混沌的λ∞λ∞=λ0+λ1?λ01?δ?1λ∞=λ0+λ1-λ01-δ-1該式非常實(shí)用,我們可以發(fā)現(xiàn),運(yùn)用該式只要知道第一次分岔點(diǎn)的參數(shù),就可以估算出混沌發(fā)生的近似參數(shù)λ∞。2.陣發(fā)混沌陣發(fā)混沌是出現(xiàn)混沌的另一類先兆。陣發(fā)混沌是指系統(tǒng)從有序向非線性混沌轉(zhuǎn)化時(shí),在非平衡非線性條件下,某些系統(tǒng)參數(shù)的變化達(dá)到某一臨界值時(shí),系統(tǒng)將時(shí)而有序,時(shí)而混沌,在兩者之間振蕩。有關(guān)參數(shù)如果繼續(xù)變化,整個(gè)系統(tǒng)就會(huì)從陣發(fā)混沌變化成為混沌。那么,陣發(fā)性實(shí)際上就成為判斷混沌出現(xiàn)的一個(gè)具有直觀意義的征兆。當(dāng)然,這里也存在虛假的瞬時(shí)陣發(fā)混沌現(xiàn)象,即這種混沌僅僅是曇花一現(xiàn),而非真正的混沌先兆。所以,要判定是否陣發(fā)是真正出現(xiàn)混沌的先兆,必須要使得系統(tǒng)振蕩一段時(shí)間,這時(shí)可以通過(guò)觀察了解系統(tǒng)是否真正進(jìn)入混沌。3.混沌的起源和分類二次霍普夫分岔出現(xiàn)兩個(gè)極限環(huán),或三次霍普夫分岔,出現(xiàn)三個(gè)極限環(huán),也可能是一種混沌先兆。由于它的兩個(gè)頻率或三個(gè)頻率不可通約,因此產(chǎn)生擬周期運(yùn)動(dòng)。由于其軌道永不相交,因而其軌跡布滿整個(gè)環(huán)面,從而導(dǎo)致失穩(wěn)進(jìn)入混沌。應(yīng)該注意到,混沌出現(xiàn)的先兆,無(wú)論哪個(gè)道路,都離不開分岔。通向混沌之路(而洛倫茲更傾向從混沌出發(fā)之路),其過(guò)程都是分岔。有多種途徑產(chǎn)生分岔。例如,可以使得系統(tǒng)參數(shù)增大,使得小擾動(dòng)放大,或系統(tǒng)從不穩(wěn)定到穩(wěn)定的變化,都有可能產(chǎn)生分岔。某行為突然消失而不是不穩(wěn)定的分岔(叫鞍點(diǎn)-結(jié)點(diǎn)分岔,又稱為切分岔)。還有倍周期分岔,以及環(huán)面分岔,等等。使定態(tài)和環(huán)的個(gè)數(shù)和或穩(wěn)定性在某處發(fā)生變化的任一參量值叫做分岔點(diǎn)(bifurcatonpoint),并且說(shuō)該系統(tǒng)經(jīng)歷了分岔。因此,出現(xiàn)分岔或有分岔點(diǎn)或分岔口,我們就應(yīng)該格外注意,混沌可能出現(xiàn)?；煦绯霈F(xiàn)的先兆還有一個(gè),是混沌理論研究中被當(dāng)作背景而都沒(méi)有特別提及的,那就是不穩(wěn)定性。不穩(wěn)定性是一切新形式出現(xiàn)的契機(jī)與前提。對(duì)方程組給一任意小擾動(dòng),若主要的定性特性保持不變(即系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變),則該系統(tǒng)稱做結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的(structurallystable)。因?yàn)閷?shí)際上的系統(tǒng)有多個(gè)變量,因此在分岔點(diǎn)附近參量的小變化會(huì)產(chǎn)生不同定性性質(zhì)的動(dòng)力學(xué)特性,所以系統(tǒng)在分岔點(diǎn)處不是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的。六、混沌分形的研究在自然科學(xué)方面,研究混沌有三類方法或三條技術(shù)路線:第一,曼德布羅特和費(fèi)根鮑姆為首的物理幾何方法。他們借用物理直覺(jué)和物理學(xué)中量綱概念轉(zhuǎn)化獲得與分形分維有關(guān)的長(zhǎng)度、面積、體積等一系列新測(cè)度,通過(guò)物理實(shí)險(xiǎn)和倍分叉計(jì)算尋找通向混沌臨界狀態(tài)的規(guī)律(即費(fèi)根鮑姆常數(shù)和李亞普諾夫判據(jù))。目前混沌被人理解最好的地方就是這個(gè)方面的研究所致。第二,計(jì)算機(jī)數(shù)值圖形方法。德國(guó)派特根等通過(guò)計(jì)算機(jī)把混沌分形轉(zhuǎn)化為可視化的影像,這種方法把復(fù)雜的極其抽象的混沌分形現(xiàn)像,通過(guò)計(jì)算機(jī)新算法構(gòu)圖,直觀而生動(dòng)地顯現(xiàn)了千變?nèi)f化的復(fù)雜混沌分形狀態(tài),便于人們發(fā)現(xiàn)混沌新現(xiàn)像和新規(guī)律。這種方法從審美的角度把分形和混沌的圖像展現(xiàn)給公眾,使得公眾對(duì)此發(fā)生了濃厚的興趣。第三,英國(guó)法爾科內(nèi)等的分形幾何的形式邏輯學(xué)派。他們借用豪斯道夫測(cè)度概念定義的分維數(shù),建立一系列分形的數(shù)學(xué)概念,通過(guò)拓?fù)溲芯炕煦绾头中?。這類研究比較專門,它是為混沌研究奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的工作,具有重要意義。七、混合理論的哲學(xué)概論意義1.混沌與嚴(yán)格的意義在傳統(tǒng)上或日常意義上,20世紀(jì)70年代以前,人們總認(rèn)為,簡(jiǎn)單系統(tǒng)行為一定簡(jiǎn)單,復(fù)雜行為一定意味著復(fù)雜原因;此外,人們也常常認(rèn)為,隨機(jī)性的混亂行為只能出現(xiàn)于具有大量的或無(wú)限的自由度的體系中。整個(gè)傳統(tǒng)的經(jīng)典科學(xué)的觀念就是建立在這樣的雙重“公理”系統(tǒng)基礎(chǔ)上的,只不過(guò)人們常常意識(shí)不到而已。人們通常也認(rèn)為事物的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的復(fù)雜性是外界加在事物上的,而不是系統(tǒng)固有的;另外,越復(fù)雜的事物或運(yùn)動(dòng)越隨機(jī)。混沌理論的出現(xiàn),完全破除了上述迷信。首先,混沌不僅可以出現(xiàn)在簡(jiǎn)單系統(tǒng)中,而且常常通過(guò)簡(jiǎn)單的規(guī)則就能夠產(chǎn)生混沌。對(duì)簡(jiǎn)單系統(tǒng)的復(fù)雜性的揭示,打碎了簡(jiǎn)單性的線性基礎(chǔ)。簡(jiǎn)單系統(tǒng)能夠產(chǎn)生出復(fù)雜行為,復(fù)雜系統(tǒng)也能夠產(chǎn)生簡(jiǎn)單行為。分層、分叉和分支,鎖定,然后放大,非線性的發(fā)展或演化過(guò)程就是這樣神奇而不可預(yù)測(cè)。揭示簡(jiǎn)單系統(tǒng)可以產(chǎn)生復(fù)雜性的方法論意義,還在于人們不能在面對(duì)簡(jiǎn)單系統(tǒng)時(shí)放心的認(rèn)為這樣的系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜行為了,把復(fù)雜事物當(dāng)作復(fù)雜事物對(duì)待已經(jīng)是一次了不起的思想轉(zhuǎn)變了,如今我們還要作好思想準(zhǔn)備,準(zhǔn)備把簡(jiǎn)單事物當(dāng)作復(fù)雜事物處理。這個(gè)根本的改變之基礎(chǔ)就是Tsonis“把非線性當(dāng)作非線性對(duì)待和處理”的思想。其次,非線性動(dòng)力學(xué)混沌是系統(tǒng)內(nèi)在的,固有的,而不是外加的,外生的。通過(guò)非線性微分方程或拓?fù)淅碚摰难芯?我們知道混沌的內(nèi)生性源于它的非線性,其實(shí)這可能還不夠?；煦绯嗽从诜蔷€性這個(gè)最本質(zhì)的原因外,可能還源于拓?fù)淠Ｊ?即源于特定的非線性結(jié)構(gòu),或體系內(nèi)部非線性相互作用產(chǎn)生的模式中,而不是產(chǎn)生于隱蔽的隨機(jī)性力量。郝柏林先生也隱約談到這一思想。這樣我們就可以在方法上通過(guò)確定性尋找混沌,而不是通過(guò)外在力量尋找混沌。換句話說(shuō),凡是在有外在力量起主導(dǎo)作用的地方也就排除了存在非線性動(dòng)力學(xué)混沌的可能。而且我們還可以進(jìn)一步通過(guò)非線性的模式和結(jié)構(gòu)尋找混沌,而不是通過(guò)一個(gè)微觀點(diǎn)或軌跡尋找混沌。第三,傳統(tǒng)上,人們?cè)谡J(rèn)識(shí)論上常常采取機(jī)會(huì)主義的態(tài)度,即常常承認(rèn)有一個(gè)確定性定律所支配的世界,而它沒(méi)有給新奇性留有位置;又常常承認(rèn)另一個(gè)則是由擲骰子的上帝所支配的世界,在這個(gè)世界里,一切都是荒誕的、非因果的、無(wú)法理喻的。這里兩個(gè)世界是分裂的。由于混沌是決定性的確定論的,因此混沌與隨機(jī)運(yùn)動(dòng)不同?；煦缡且环N貌似隨機(jī)的狀態(tài),說(shuō)它貌似隨機(jī),即指它的產(chǎn)生不是隨機(jī)性(stochastic)所為,而是確定性體系所為。因此,混沌理論仍然在確定論或決定論的框架內(nèi)。說(shuō)混沌理論破除了決定論是一種誤讀,混沌理論對(duì)預(yù)測(cè)的可能性做了不同以往的解釋,實(shí)際上擴(kuò)展了決定論的范圍(但是決定論形式和內(nèi)容都應(yīng)該修改)。強(qiáng)混沌或完全混沌預(yù)測(cè)不可能,而弱混沌預(yù)測(cè)是可能的。另外,我們是不是把預(yù)測(cè)建立在一種線性方法論的基礎(chǔ)上了,因此才覺(jué)得混沌理論對(duì)預(yù)測(cè)的沖擊與認(rèn)識(shí)論上可知論與不可知論有關(guān)?關(guān)于決定論和預(yù)測(cè)性的問(wèn)題我們放在下個(gè)問(wèn)題集中討論。2.大學(xué)或嘴唇預(yù)測(cè)一定是在一個(gè)起點(diǎn)上可以預(yù)知未來(lái)多少年嗎?這句話的意思是,預(yù)測(cè)有一個(gè)時(shí)間尺度,有一個(gè)預(yù)測(cè)起點(diǎn),這兩個(gè)東西都是固定的嗎?顯然不是,但是我們?cè)谙乱庾R(shí)中常常把它固定化了。混沌的不可預(yù)測(cè)性來(lái)自它的對(duì)初始條件的極端敏感性,這種敏感性在演化上與外界隨機(jī)力帶來(lái)的敏感性不一樣,前者只在長(zhǎng)期演化中發(fā)生作用,而不改變初始條件或僅僅與原來(lái)初始條件差之毫厘,后者則明顯改變初始條件本身。因此,我們的生命處在一個(gè)過(guò)程中,自然界和社會(huì)也處在一個(gè)演化過(guò)程中,長(zhǎng)期的不可預(yù)測(cè),是指從事物矛盾運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)到其終結(jié)時(shí)不可預(yù)測(cè),這并不妨礙我們?cè)谘莼械牟粩囝A(yù)測(cè)和不斷地修正預(yù)測(cè)?？疾煲粋€(gè)個(gè)體,我們的生命一開始就確定論地決定了它的全部歷程和最終結(jié)構(gòu)以及結(jié)果了嗎?顯然沒(méi)有。一個(gè)小孩對(duì)他(她)的未來(lái)最可以幻想,他(她)發(fā)展的可能性空間非常之大:當(dāng)他(她)進(jìn)入一個(gè)好家庭或差家庭;進(jìn)入一個(gè)幼兒園或沒(méi)有進(jìn)入幼兒園;進(jìn)入一個(gè)好小學(xué)或一個(gè)差小學(xué),或干脆沒(méi)有進(jìn)入小學(xué);進(jìn)入一個(gè)好中學(xué)或一個(gè)差中學(xué),或干脆沒(méi)有讀中學(xué);一個(gè)好大學(xué)或一個(gè)差大學(xué),甚至沒(méi)有能夠讀大學(xué);遇到一個(gè)好教師或一個(gè)差教師;找到一個(gè)好工作或差工作,結(jié)識(shí)一些好朋友或差朋友,他(她)的的生活道路可能就開始了依次分岔。而每一次分岔都是不可逆過(guò)程,他(她)發(fā)展的空間一點(diǎn)點(diǎn)被確定下來(lái)。預(yù)測(cè)也隨之清晰起來(lái)。這種自組織的方法論是我們不知不覺(jué)中遵循并沿之演化而來(lái)的,換句話說(shuō),這種方法論都是過(guò)程中形成的,更不要說(shuō)被測(cè)量的客體了。國(guó)外學(xué)者也有將決定論劃為四個(gè)層次。(1)可微動(dòng)力學(xué);(2)唯一演化;(3)值的確定性;(4)完全可預(yù)測(cè)性。據(jù)此把決定論細(xì)致劃分為:L1.變形的因果決定論(相信世界有規(guī)律,任何事件發(fā)生有原因);L2.演化方程的解存在且唯一(不蘊(yùn)涵軌道是實(shí)際可計(jì)算的);L3.值的確定性(局部可計(jì)算、可預(yù)測(cè));L4.完全可預(yù)測(cè)性?；煦缋碚摽赡軆H僅破除了L4這種操作性極強(qiáng)的嚴(yán)格決定論,而且把決定論的范圍擴(kuò)大到了可以與概率接壤的領(lǐng)域。例如,一個(gè)混沌的奇怪吸引子區(qū)域就是確定的?；煦缋碚搶?duì)決定論的這種擴(kuò)大,并不伴隨著可預(yù)見(jiàn)性的擴(kuò)大?；煦缋碚摲椒ò褯Q定論與可預(yù)測(cè)性區(qū)分開來(lái),也是混沌理論對(duì)認(rèn)識(shí)論和方法論的一個(gè)重要貢獻(xiàn)?；煦绲奈⒂^態(tài)具有“隨機(jī)性”(random),局域內(nèi)沒(méi)有兩個(gè)相同的狀態(tài),這種混沌與平衡態(tài)的無(wú)序完全不同。此時(shí),體系內(nèi)部的微觀態(tài)個(gè)數(shù)隨演化時(shí)間長(zhǎng)度增加而增加,區(qū)別越來(lái)越大,越來(lái)越多,混沌的程度也隨演化時(shí)間增加,這樣對(duì)混沌的全部微觀態(tài)描述就是不可能的了。無(wú)序和混沌還有一個(gè)差別,那就是,產(chǎn)生無(wú)序的辦法是隨機(jī)性(stochastic)的,因此對(duì)其產(chǎn)生過(guò)程我們是無(wú)法描述的;但是對(duì)結(jié)果或體系最終結(jié)果或體系整個(gè)狀態(tài)我們能夠用簡(jiǎn)單方法(統(tǒng)計(jì)方法)加以描述(如熱力學(xué)平衡態(tài)的氣體)。而產(chǎn)生混沌的方法是確定性的,是有其簡(jiǎn)單性(動(dòng)力學(xué)迭代)方法的,對(duì)其產(chǎn)生過(guò)程或演化過(guò)程的一部分(在有限時(shí)間內(nèi))可以描述,但是對(duì)結(jié)果或體系最終結(jié)果或體系整個(gè)狀態(tài)無(wú)法加以描述。換句話說(shuō),無(wú)法描述無(wú)序的產(chǎn)生過(guò)程,但是能夠確定性描述它的結(jié)果;能夠產(chǎn)生混沌,但是無(wú)法描述它的結(jié)果。研究一個(gè)問(wèn)題,一般先要界定清楚問(wèn)題和環(huán)境。如果不能清楚地界定問(wèn)題,你能拿它怎么辦呢?然而,許多復(fù)雜性問(wèn)題都是其內(nèi)容尚未界定清楚的問(wèn)題,其環(huán)境因時(shí)間的推移而不斷變化。適應(yīng)性作用只是對(duì)外界對(duì)它的回報(bào)做出反應(yīng),而用不著考慮清楚行動(dòng)的意義和對(duì)行動(dòng)背后的理解。復(fù)雜性問(wèn)題的復(fù)雜正在于此。作用者面對(duì)的是界定不清的問(wèn)題、界定不清的環(huán)境和完全不知走向的變化,事實(shí)上人們經(jīng)常在含糊不清的情況下做出決定,甚至自己對(duì)此都不明白。我們是在摸著石頭過(guò)河,不斷改變自己的思想,拷貝別人的經(jīng)驗(yàn),嘗試以往成功的經(jīng)驗(yàn)。以氣象學(xué)為例。天氣從來(lái)不會(huì)是一成不變的,從不會(huì)有一模一樣的天氣。我們對(duì)一周以上的氣候基本上是無(wú)法事先預(yù)測(cè)的,有時(shí)1～2天的預(yù)報(bào)都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。但我們卻能夠了解和解釋各種天氣現(xiàn)象,能夠辨認(rèn)出像鋒面、氣流、高壓圈等重要的氣象特征。一句話,盡管我們無(wú)法對(duì)氣象做出完全的預(yù)測(cè),但氣象學(xué)卻仍不失為真正的科學(xué)。3.混沌的邊緣作用關(guān)于混沌的邊緣,是美國(guó)圣費(fèi)研究所最關(guān)注的問(wèn)題,他們認(rèn)為可能進(jìn)化的演化復(fù)雜性均來(lái)自這個(gè)邊緣。一個(gè)傳記浪漫地記載和揭示了圣費(fèi)研究所關(guān)于混沌邊緣的觀點(diǎn)?；煦绲倪吘?是一個(gè)系統(tǒng)中的各種因素從無(wú)真正靜止在某一個(gè)狀態(tài)中,但也沒(méi)有動(dòng)蕩至解體的那個(gè)地方?；煦绲倪吘壘褪巧凶銐虻姆€(wěn)定性來(lái)支撐自己的存在,又有足夠的創(chuàng)造性使自己名副其實(shí)為生命的那個(gè)地方;混沌的邊緣是新思想和發(fā)明性遺傳基因始終一點(diǎn)一點(diǎn)地吞食著現(xiàn)狀的邊緣的地方?！沁M(jìn)化過(guò)程中萬(wàn)古不變的穩(wěn)定性突然被整個(gè)物種的演變所取代的時(shí)刻?；煦绲倪吘壥且粋€(gè)經(jīng)常變換在停滯和無(wú)政府兩種狀態(tài)之間的戰(zhàn)區(qū),這便是復(fù)雜系統(tǒng)能夠自發(fā)地調(diào)整和存活的地帶?；煦邕吘壥且粋€(gè)具有不穩(wěn)定性,也具有非穩(wěn)定性的地方,因此這個(gè)地方最容易孕育新奇性的創(chuàng)造。新奇性起源于被現(xiàn)代動(dòng)力系統(tǒng)理論確認(rèn)的不穩(wěn)定性之中。如果世界由穩(wěn)定動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)組成,它就會(huì)與我們所觀察到的周圍世界迥然不同。它將是一個(gè)靜態(tài)的、可以預(yù)言