答案2021寒高二數(shù)學(xué)強(qiáng)基第1講導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用

1例題直線yx2與曲線yex+a相切，則a的值為（【答案】【解析】對于函數(shù)y=?ex+a，y’=?ex+a，其在(x0ex0+a)y+ex0+a=?ex0+a(x?即yex0+axx01)ex0?ex0+a=

(x0?1)ex0+a=

，解得x03，a例題已知函數(shù)f(x)=(x?3)ex，若經(jīng)過點(diǎn)(0,a)且與曲線y=f(x)相切的直線有三條，則 ?3<a<?a>a<?a<?3或a【答案】【解析】fx)=(x31)exx2)設(shè)切點(diǎn)為(x0y0)，則切線方程為yy0=(x02)ex0(xx0)．切線經(jīng)過點(diǎn)(0,a)，所以ay0=(x02)ex0將y0x03)ex0代入，得ax03)ex0x02ex00化簡，ex0(?x23x030問題等價于方程ex(?x23x3a有3個解．設(shè)g(x)=ex(?x2+3x?3)，則g’(x)=ex(?x2+3x?3?2x+3)=ex(?x2+當(dāng)x0時，gx0，g(x)單調(diào)減；當(dāng)0x1時，gx0，g(x)單調(diào)增；當(dāng)x時，gx)<0，g(x)，

>g(1)=?e，g(2)=?e2<g(0)=因此，g(0)ag(1)，即?3a例題若函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y=f(x)f(x)=x3?tx2+1(t∈ 【解析】證明：由(1)知fx3x2?2tx，令fx1，則3x2?2tx?1=0，所以Δ>0，即對任意實(shí)數(shù)t，f′(x)=1總有兩個不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，所以不論t為何值，函數(shù)f(x)在x=x1，x=x2處的切線平行．設(shè)這兩條切線方程分別為y(3x22tx1x2x3tx21和 y=(3x2?2tx2)x?2x3+tx2+ 若兩切線重合，則?2x3tx212x3tx2 即2[(x1x2)2x1x2=t(x1 而x1x2

，化簡得x1x2

此時(x1?x2)2=(x1+x2)2—4x1x2

=0，與x1/x2 例題已知函數(shù)f(x)=?px3+3x(p>0)，若f(x)存在極大值點(diǎn)x1，且存在一個不與x1重合的x21x得f(x1f(x2x1

+2的值 【答案】【解析】解：f′(x)=3(?px2+1)x1

1，f(x1)= 1 ∵f(x1)=∴?px3+3x1=?px3+ ∴p(x3?x3)=3(x2? ∴x2+x1x2+x2=3 代入x1 1得x2+x2+1=3 2即px2+ p?2=22解得x2= p∴1+2

p p= 例題已知函數(shù)f(x)=x22cosxg(x)=ex(cosxsinx2x2)，其中e=2.71828是自令h(x)=g(xaf(xa∈R)，討論h(x)【解析】解：h(x)=g(x)?af(x)=ex(cosx?sinx+2x?2)?a(x2+2cosx)，則hx)=ex(cosx?sinx+2x?2)+exsinx?cosx+2)?a(2x?2sinx)=2(x?sinx)(ex?令u(x)=x?sinx，則u′(x)=1?cosx?0，∴函數(shù)u(x)在Ru(0)=0，∴當(dāng)x0時，u(x)>0；當(dāng)x0時，u(x)<①當(dāng)a0時，exa0，∴當(dāng)x0時，hx0，函數(shù)h(x)在(0,上單調(diào)遞增；當(dāng)x0時，hx0，函數(shù)h(x)在0)上單調(diào)遞減．∴當(dāng)x=0時，函數(shù)h(x)取得極小值，h(0)=?1?2a②當(dāng)a>0時，令hx)=2xsinx(exelna=解得x1=lna，x2=當(dāng)0a1xlna)時，exelna<0，hx)>0，函數(shù)h(x)當(dāng)xlna0)時，exelna0，hx0，函數(shù)h(x)當(dāng)x∈(0exelna0，hx0，函數(shù)h(x)∴當(dāng)x=0時，函數(shù)h(x)取得極小值，h(0)=?2a1．當(dāng)x=lna時，函數(shù)h(x)h(lna)=?a[ln2a?2lna+sin(lna)+cos(lna)+2]；當(dāng)a1lna0，xRhx0，∴函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)a>1時，lna>0x0)時，exelna<0hx)>0，函數(shù)h(x)x∈(0,lna)時，exelna<0hx)<0，函數(shù)h(x)x∈(lnaexelna>0hx)>0，函數(shù)h(x)∴當(dāng)x=0時，函數(shù)h(x)取得極大值，h(0)=?2a1．當(dāng)x=lna時，函數(shù)h(x)h(lna)=?a[ln2a?2lna+sin(lna)+cos(lna)+綜上所述，當(dāng)a?0時，函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(?∞,0)上單調(diào)遞減．當(dāng)x=0時，函數(shù)h(x)取得極小值，即h(0)=?1?2a，無極大值；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)h(x)在(?∞,lna)上單調(diào)遞增，在(lna,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)x=0時，函數(shù)h(x)取得極小值，即h(0)=?2a?1．當(dāng)x=lna時，函數(shù)h(x)取得極大值，即h(lna)=?a[ln2a?2lna+sin(lna)+cos(lna)+2]；當(dāng)a=1時，函數(shù)h(x)在R當(dāng)a>1時，函數(shù)h(x)在0)，(lna上單調(diào)遞增，在(0lna)上單調(diào)遞減．當(dāng)x=0時，函數(shù)h(x)取得極大值，即h(0)=?2a?1．當(dāng)x=lna時，函數(shù)h(x)h(lna)=?a[ln2a?2lna+sin(lna)+cos(lna)+2]．例題已知函數(shù)f(xln

—ax2+討論函數(shù)f(x)【解析 解：由f(xln2xaxxln2xax

(x)=?

–2ax+1

?2ax2+x?x，x∈(0,當(dāng)a0時，fx

x?，x當(dāng)x∈(01)時，fx)<0；當(dāng)x∈(1,時，fx)>0，所以x1，f(x)x=1是f(x)當(dāng)a<0時，Δ=1?8a>0，令f′(x)=0，得x1=1+ 1?8ax2 顯然，x1>0，x2<∴當(dāng)x(0,x1)時，fx0，當(dāng)xx1時，fxf(x)在x=x1取得極小值，f(x)1

1 1?，當(dāng)a>0時，Δ=18a?0即a

時，fx)?8f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，f(x)1

1 1?當(dāng)0<a 時，Δ=1?8a>0，令f′(x)=0，得x1= 1 1? x2 當(dāng)x(0,x1)和xx2時fx0；當(dāng)xx1x2)時，fx∴f(x)在x1取得極小值，在x2取得極大值，所以f(x)有兩個極值點(diǎn)．綜上可知：當(dāng)a?0時，f(x)僅有一個極值點(diǎn)；1當(dāng)a?8時，f(x)1當(dāng)0<a<8時，f(x)若f(x)有兩個極值點(diǎn)x1，x2，證明：f(x1f(x234ln【解析 證明：∵由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)a∈(0,8)時，f(x)有極小值點(diǎn)x1和極大值點(diǎn)x2x1，x2是方程2ax2?x+1=0的兩根，∴x1+x2

1，x1x2=1 1 12f(x1)+f(x2)=2

ax2+x1+

ax2+=?(ln2x1+ln2x2)?a(x2+x2)+(x1+ =?lna?a[4a2?a]+ =ln2?4a+1+2a=lna+4a+1?ln 設(shè)g(a)=lna+4a+1?ln2，a∈(0,8∵g′(a)=1

=4a?1< ∴a∈(0,8)時，g(a)是減函數(shù)，g(a)>g81∴g(a)>ln8+3?ln2=3?4lnf(x1f(x2)>34ln2例題(2?若函數(shù)f(x) x2+m的圖象如圖所示，則m的取值范圍為 (?∞,(?1,(0,(1,【答案】∴m>又x時，f(x2m0m2，又∵f(x)是奇函數(shù)，∴x>0f(x)=(2?m)xx2+

2?x+mx∴f(x)在 m)上單調(diào)遞增 m,+∞)上單調(diào)遞減 m>1?m>綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(12)，例題ex+2klnx?

x=

f 已知函數(shù)f(x

， 是函

2(?∞, 24e(?∞,2(0,[2,【答案】【解析】解：∵函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞)∴f′(x)

ex(x?2)

(ex?kx2)(x?x—k ∵x=2是函數(shù)f(x)x2是導(dǎo)函數(shù)fx)=0exkx20在(0, 即k=x2在x>0上無變號零點(diǎn)，令g(x)=x2ex(x?∵g′(x) ∴g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)g(x)的最小值為g(2)=4∴必須k?4故選例題設(shè)函數(shù)f(xe2xexax，若對?x0，f(x2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（(?∞,[3,(?∞,[2,【答案】【解析】f(0)2，故使得題意成立的必要條件是f00，解得a下面說明充分性：當(dāng)a3時，fx2e2xexa(2ex3ex1)0，滿足題例題a/ 1+x，x>1對任意xe2)均有f(x注：e=2.71828?

2a，求a【解析 解：由f(1)?2a，得0<a 4 21+當(dāng)0<a 4時，f(x)?2a，等價于a2 1令t ，則t? a設(shè)g(t)= x? 1+x?2lnx，t? 2

—2lnx?則g(t) x(t1

1+1x

—1+x?2lnx1當(dāng)x∈7)時，1

? x則g(t)?g 2)= x? 1+x?2ln1記p(x)= x? 1+x?lnx，x?7則p′(x) ?1= x+1 2x x+ x+ x+(x?1)[1 x 2x+2? x+1 x+1)(x+1 ∴p(x)?p(1)=∴g(t)?g 2)=2p(x)?當(dāng)x∈[1,1)時，g(t)?g 1+1)= xlnx?(x+1)e2 2令q(x)= xlnx+(x+1)，x∈ 2 則q′(x) lnx+2+1>x1故q(x)在

1)上單調(diào)遞增，∴q(x)?7

(7 由(i)得q(7)= 7p(7)< 7p(1)=∴q(x)<0，∴g(t)?g 1+1)=?q(x)> 1由(i)(ii)知對任意x∈[e2,+∞)，t∈ 2,+∞)，g(t)? 即對任意xe2)，均有f(x2a2綜上所述，所求a的取值范圍是 4例題已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+bx(其中a，b為常數(shù)且a=0)在x=1處取得極值．當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lnx+ax+bx，所以 (x)

+2ax+b(x>x因?yàn)楹瘮?shù)f(xlnxax2bx在x1處取得極值，所以f′(1)=12ab=0，當(dāng)a1時，b3，所以f′(xf′(x)，f(x)隨x

2x2?3x+，x1所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)，(111若f(x)在(0,e]上的最大值為1，求a因?yàn)閒′(x

(2ax?1)(x?，x1令fx0，x11，x2

因?yàn)閒(x)在x=1處取得極值，所以x2=2a/x1=1，當(dāng)2a<0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,e]上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間(0,e]上的最大值為f(1)，令f(11，解得a1當(dāng)a>0時，x2 > 當(dāng)2a<1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2a)上單調(diào)遞增，在區(qū)間2a,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,e)上單調(diào)遞增，1所以最大值1可能在x=2a或x=e 因?yàn)閒(2a)=ln2a+a(2a —(2a+1)2a=ln2a?4a?1<1所以f(e)=lne+ae2?(2a+1)e=1，解得a1

當(dāng)12a<e時，f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,2a)所以最大值1可能在x=1或x=e處取得，而f(1)=ln1+a?(2a+1)<0，所以f(e)=lne+ae2?(2a+1)e= 解得a=e2，與1<x2=2a<e矛盾；當(dāng)x2=2a?e時，f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,e)所以最大值1可能在x=1處取得，而f(1)=ln1+a?(2a+1)<0，矛盾．綜上所述，ae2或a例題=【答案】a ′(x)=1x所以g1)=則f(x)的最小值為fa即2=1，解得a1若不等式bf(x)?xg(x)對任意x∈e,e2]恒成立，其中e,]【答案 ,] 3e?1e?【解析】解：由(1)知，f(x)=x2?2x．不等式bf(x)?xg即bx22bxxlnx1所以b(x?3)?lnx對任意x∈e,e2]令h(x)=b(x?3)?1則h′(x)=b

=bx? ①若b0，則h′(x)<0，所以函數(shù)h(x)在e

,e2] 故[h(x)]max=he=be3lne

?e解得b?3?1>e②若b>令h′(x)=1解得x b{{2

–3)?ln1e? h(e)=b(e?3)?lne?0 3e1b?e23

3e?1e2?5曲線y曲線y=e?2x+1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y=0和y=x1312231【答案】【解析】y′=?2e?2x，曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線斜率k=?2，∴切線方程為y=?2x+2線y=0和y=x圍成的三角形如圖13-1所示，其中直線y=?2x+2與y=x的交點(diǎn)A2,23 ，∴三角形面積S=21×3=3．故選隨堂題若x=?2是函數(shù)f(x)=(x2+ax?1)ex?1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為 A.B.C.D.【答案】【解析】f′(x2xaex?1(x2ax1ex?1=[x2a2)xa1x?2是f(x)的極值點(diǎn)，f(?2)0，即(42a4a1e?30a=f(x(x2x1ex?1，fx(x2x2ex?1．由fx0，得x2x1；由fx)<0，得?2<x1．f(x)在2)上單調(diào)遞增，在(?21)上單調(diào)遞減，在(1,上單調(diào)遞增，x1為f(x)的極小值點(diǎn)，(x)的極小值為f(1)故選隨堂題已知函數(shù)f(x)=ex?ln(x+3)，則下面對函數(shù)f(x)的描述正確的是 1?x∈(?3,+∞),f(x)31?x∈(?3,+∞),f(x)>2?x0∈(?3,+∞),f(x0)=f(x)min∈(0,【答案】【解析 解：因?yàn)楹瘮?shù)f(xelnx3)，定義域?yàn)??3，所以1易知導(dǎo)函數(shù)f′(x)在定義域(?3,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，又f′(?1)<0f′(?