2022-2023學(xué)年陜西省榆林市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期過程性評(píng)價(jià)質(zhì)量檢測(cè)（期末）數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年陜西省榆林市高二下學(xué)期過程性評(píng)價(jià)質(zhì)量檢測(cè)（期末）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得集合，根據(jù)集合交集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，根據(jù)集合交集的概念及運(yùn)算，可得.故選：D.2．已知向量，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．3 D．1【答案】C【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示列方程求的值.【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，所以，故選：C.3．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．30 B．40 C．60 D．80【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，可得，所以.故選：D.4．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)，令，可得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，所以不符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于C中，函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于D中，根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得在單調(diào)遞增，符合題意.故選：D.5．某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：則（

）

A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問卷答題的正確率的方差小于講座后正確率的方差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】B【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】講座前中位數(shù)為，所以錯(cuò)；講座后問卷答題的正確率只有一個(gè)是個(gè)，剩下全部大于等于，所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于，所以B對(duì)；講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的方差大于講座后正確率的方差，所以C錯(cuò)；講座后問卷答題的正確率的極差為，講座前問卷答題的正確率的極差為，所以錯(cuò).故選：B.6．在區(qū)間上隨機(jī)抽取一個(gè)實(shí)數(shù)，則滿足的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式得到，從而根據(jù)長度比求出幾何概型的概率.【詳解】，解得，則在區(qū)間上隨機(jī)抽取一個(gè)實(shí)數(shù)，則滿足的概率為.故選：A7．設(shè)是兩條直線，是兩個(gè)平面，若，，則下列說法一定正確的是（

）A． B．C．是兩條異面直線 D．【答案】B【分析】ACD可舉出反例，D選項(xiàng)，可根據(jù)面面平行得到線面平行.【詳解】ACD選項(xiàng)，如圖1和圖2，，，則或是兩條異面直線，故ACD錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知，故B正確；故選：B8．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)的解析式為，進(jìn)而求得的值.【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，所以，可得，所以，又由，可得，解得，因?yàn)椋?，所以，則.故選：C.9．已知為雙曲線上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出，利用點(diǎn)差法即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則有，，兩式相減得到，又線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，得到，所以的斜率為.故選：B.10．從6名男醫(yī)生?4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男?女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有（

）A．108種 B．96種 C．60種 D．36種【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用組合應(yīng)用問題結(jié)合排除法列式計(jì)算作答.【詳解】從10名醫(yī)生中選取3名醫(yī)生有種方法，選取的醫(yī)生全是男醫(yī)生的有種方法，全是女醫(yī)生的有種方法，所以不同的組隊(duì)方案共有（種）.故選：B11．將邊長為的菱形沿對(duì)角線折成直二面角，得到四面體，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)為，連接，得到，取等邊和的中心分別為，得到平面，且平面，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，利用求得截面圓的性質(zhì)，求得，結(jié)合球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)檫呴L為的菱形，可得和均為等邊三角形，且邊長為，沿對(duì)角線折成直二面角，取的中點(diǎn)為，分別連接，則且，所以為二面角的平面角，所以，取等邊和的中心分別為，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，連接，根據(jù)球的截面圓的性質(zhì)，可得平面，且平面，因?yàn)榈冗吅?，且邊長為，可得，且，，在直角中，，即外接球的半徑為，所以四面體的外接球的表面積為.故選：C.

12．若函數(shù)存在最小值，且其最小值記為，則的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】先利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定，然后再利用導(dǎo)數(shù)確定的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，令得，此時(shí)單調(diào)遞減，令得，此時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，，令得，此時(shí)單調(diào)遞增，令得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.故選：A.二、填空題13．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為.【答案】/【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若到直線的距離為7，則.【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在上，且到直線的距離為，可得到直線的距離為，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以.故答案為：.15．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，滿足，若時(shí)，，則.【答案】2【分析】根據(jù)，結(jié)合是定義在R上的偶函數(shù)，可得函數(shù)的周期為2，然后由求解.【詳解】因?yàn)?，且是定義在R上的偶函數(shù)，所以，令，則，所以，即，所以函數(shù)的周期為2，又因?yàn)闀r(shí)，，所以.故答案為：2.16．我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就出現(xiàn)了類似于砝碼的用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前項(xiàng)成等差數(shù)列，后項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則.【答案】【分析】設(shè)前項(xiàng)的公差為，后項(xiàng)公比為，首先由求出，再根據(jù)求出，即可得解.【詳解】設(shè)前項(xiàng)的公差為，后項(xiàng)公比為，則，且，可得，則，即，可得，所以.故答案為：三、解答題17．在中，角的對(duì)邊分別是，滿足.(1)求；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，即可得答案；（2）利用余弦定理可推出，利用三角形面積公式即可求得答案.【詳解】（1），，又，，.（2）由（1）可知，根據(jù)余弦定理，即，即，即，又，則，即，的面積.18．某學(xué)校組織學(xué)生參加“一帶一路”知識(shí)競賽，為了解該校學(xué)生在知識(shí)競賽中的情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示.將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”.

(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從分?jǐn)?shù)落在內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到的所有可能取值，利用超幾何分布的概率公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得.（2）解：由題意，從中抽取人，從中抽取人，隨機(jī)變量的所有可能取值為，可得，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123所以期望為.19．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面分別是的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)若，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明，，由線面垂直的判定定理證明平面，再證明；（2）由（1）可知，、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，分別求出平面和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式，求出法向量夾角，進(jìn)而求解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，又，且平面，平面，所以平面，又平面，所?（2）由（1）可知，兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，又分別是的中點(diǎn)，.，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則.平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，.平面與平面所成角的余弦值為.20．已知橢圓的焦距為2，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程組，求得的值，即可求解；（2）聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得，且，得到，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，列出方程，即可求解.【詳解】（1）解：由橢圓的焦距為，離心率為，可得，解得，所以橢圓的方程為.（2）解：聯(lián)立方程組，整理得，由，解得.設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，解得，即?shí)數(shù)的值為.21．已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)，求證：在上單調(diào)遞減；(3)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)列出不等式，求得答案；（2）寫出，利用其導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可；（3）采用逆推分析的方法，將證明成立，轉(zhuǎn)化為證明成立，繼而根據(jù)在上單調(diào)遞減，需證，結(jié)合（2）的結(jié)論，即可證明.【詳解】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，.又當(dāng)時(shí)，，可取到負(fù)的無窮小值；當(dāng)時(shí)，，也可取到負(fù)的無窮小值；函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，即.實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）證明：，，令，，又時(shí)，有，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，從而，在上單調(diào)遞減.（3）證明：由（1）知，，要證，只需證，在上單調(diào)遞減，只需證.，只需證，其中，只需證，其中，由（2）知，當(dāng)時(shí)，，..【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的難點(diǎn)在于第三問證明不等式，解答時(shí)要注意結(jié)合前兩問進(jìn)行證明，關(guān)鍵是將證明成立，轉(zhuǎn)化為，繼而根據(jù)在上單調(diào)遞減，需證，結(jié)合（2）的結(jié)論，即可證明.22．平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)射線與曲線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程即可；（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，將射線的在極坐標(biāo)方程分別代入曲線、直線的極坐標(biāo)方程，求出、，進(jìn)而可得的值.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)可得，即，根據(jù)可