一種多級(jí)聯(lián)非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)

一種多級(jí)聯(lián)非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)

0結(jié)構(gòu)自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆方法容錯(cuò)控制是目前控制理論的亮點(diǎn)。在不影響整個(gè)系統(tǒng)性能的情況下，應(yīng)盡可能適應(yīng)各種網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)故障、作動(dòng)器故障和結(jié)構(gòu)損傷的故障。容錯(cuò)控制研究對(duì)提高飛行器自主飛行性能具有重要意義。傳統(tǒng)的容錯(cuò)飛行控制系統(tǒng)的重要組成部分是在線故障檢測隔離算法,它的直接影響是控制系統(tǒng)的復(fù)雜程度會(huì)隨著系統(tǒng)故障數(shù)量的增加而提高以及可能發(fā)生誤報(bào)警情況,從而影響飛行性能。基于自適應(yīng)控制理論的容錯(cuò)控制方法分為直接自適應(yīng)和間接自適應(yīng)兩種方法。文獻(xiàn)提出了線性二次型間接自適應(yīng)控制律,用于補(bǔ)償飛機(jī)俯仰通道由于發(fā)生水平尾翼故障造成的性能損失,提高了飛行的可靠性;文獻(xiàn)針對(duì)未知系統(tǒng)參數(shù)和未知的作動(dòng)器卡死故障,提出了一種直接自適應(yīng)控制算法,在狀態(tài)反饋基礎(chǔ)上引入額外補(bǔ)償控制律,彌補(bǔ)由于故障對(duì)系統(tǒng)造成的性能損失,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)參考模型的準(zhǔn)確跟蹤。然而,這些文獻(xiàn)所討論的問題都是在線性定常系統(tǒng)框架下,并沒有涉及非線性情況。實(shí)際上,當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障后,即使是線性系統(tǒng)也會(huì)表現(xiàn)出非線性特性。因此,研究非線性情況下的自修復(fù)控制問題更具實(shí)際意義。由飛行器動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,不難發(fā)現(xiàn)其具有級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)形式,即不確定性只存在于動(dòng)力學(xué)方程中,運(yùn)動(dòng)學(xué)方程能夠精確已知,并且不受系統(tǒng)不確定性參數(shù)的影響。文獻(xiàn)利用結(jié)構(gòu)級(jí)聯(lián)特性提出了結(jié)構(gòu)自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆方法,在線逼近系統(tǒng)參數(shù)及故障參數(shù),更新容錯(cuò)控制律參數(shù),取得了滿意的仿真效果,但這種方法需要精確獲得已知系統(tǒng)的參數(shù),控制律復(fù)雜,實(shí)現(xiàn)難度大。本文根據(jù)飛行器類非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)級(jí)聯(lián)特性,設(shè)計(jì)了基本控制律加補(bǔ)償控制律的控制器結(jié)構(gòu)形式。利用反步(backstepping)方法設(shè)計(jì)基本的控制律,當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生作動(dòng)器卡死故障時(shí),利用直接自適應(yīng)方法構(gòu)造故障補(bǔ)償控制律,整個(gè)控制器保證了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性和對(duì)參考模型的精確跟蹤。1控制s考慮如下一類非線性系統(tǒng):˙x1=x2˙x2=f2(x)+b2u(1)其中:x=[xΤ1xΤ2]Τ為系統(tǒng)狀態(tài),x1,x2∈R3×1;f2∈R3×1為非線性函數(shù);b2∈R3×5為定常矩陣;u∈R5×1為控制輸入?；炯僭O(shè)1:1)系統(tǒng)的狀態(tài)是可以測量的;2)對(duì)于有界閉的狀態(tài)集合Sx,b2bT2可逆;3)f2(x)充分光滑。如果采用期望的模型如下:˙xm1=xm2˙xm2=Am2xm+bm2r(2)此時(shí)的控制目標(biāo),在沒有故障的情況下設(shè)計(jì)控制律u,使得:limt→∞∥x(t)-xm(t)∥=0(3)成立。2設(shè)計(jì)控制軟件設(shè)計(jì)系統(tǒng)的卡死故障建模如下:u(t)=v(t)+σ(ˉu-v(t))(4)其中:v(t)為設(shè)計(jì)的控制輸入;σ為故障指示參數(shù),取值為0或1;ˉu為發(fā)生卡死故障時(shí)作動(dòng)器卡死位置?；炯僭O(shè)2:在q個(gè)作動(dòng)器發(fā)生故障以后,剩余的m-q個(gè)作動(dòng)器還能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3基本控制律設(shè)計(jì)首先,利用backstepping方法設(shè)計(jì)無故障時(shí)的控制律,保證系統(tǒng)跟蹤給定的參考信號(hào);然后在基本控制律的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)自適應(yīng)的容錯(cuò)控制律,補(bǔ)償故障對(duì)非線性系統(tǒng)跟蹤性能的影響?？刂坡山Y(jié)構(gòu)為u(t)=u1(t)+u2(t)(5)其中:u1(t)為基本控制律;u2(t)是為了補(bǔ)償由于故障給非線性系統(tǒng)帶來的影響而設(shè)計(jì)的補(bǔ)償控制律,在系統(tǒng)無故障時(shí),控制律u2(t)為零。3.1e-edes2積分令e1=x1-xm1,e2=x2-xm2,則得到如下的微分方程:˙e1=e2˙e2=f2+b2u-Am2xm-bm2r=Am2e-Am2x-bm2r+f2+b2u(6)這樣將原來的調(diào)節(jié)問題轉(zhuǎn)換成鎮(zhèn)定問題,即要求上述系統(tǒng)收斂到原點(diǎn)。以系統(tǒng)誤差方式描述的非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為(0,0)。取虛擬控制律:edes2=-k1ε1-λ1∫t0ε1dτ,定義:ε2=e2-edes2,則:˙ε1=˙e1-0=e2-edes2+edes2=ε2-k1ε1-λ1∫t0ε1dτ(7)其中:λ1>0;積分項(xiàng)∫t0ε1dτ的引入是為了保證ε1動(dòng)態(tài)的跟蹤誤差趨于零。令η1=∫t0ε1dτ,則:˙ε1=-k1ε1+ε2-λ1η1˙ε2=˙e2-(edes2)′=˙e2+k1˙ε1+λ1ε1=˙e2+k1(-k1ε1+ε2-λ1η1)+λ1ε1=Am2e-Am2x-bm2r+f2+b2u-k21ε1+λ1ε1+k1ε2-k1λ1η1(8)選取如下的Lyapunov函數(shù):V=12ε21+12ε22+12λ1η21微分可得:˙V=-k1ε21+ε2(ε1-k21ε1+λ1ε1+k1ε2-k1λ1η1+Am2e-Am2x-bm2r+f2+b2u)(9)若取:ε1-k21ε1+λ1ε1-k1λ1η1+Am2e-Am2x-bm2r+f2+b2u=-k2ε2(10)其中:k2>k1>0為后面待設(shè)計(jì)的參數(shù)?？梢员ＷC˙V=-k1ε21-(k2-k1)ε22＜0成立。得到基本控制律為b2u=Am2x+bm2r-f2+(k1-k2)λ1η1+(Am0-Am2)e(11)其中:Am0=[-k1k2-1+k12-λ1,-k2]。3.2系統(tǒng)滿足判斷方程基本控制律的結(jié)構(gòu),由狀態(tài)反饋部分和誤差信號(hào)的比例積分兩部分組成,而誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)值為零,積分部分的引入是為了補(bǔ)償穩(wěn)態(tài)誤差。因此,在無故障時(shí),控制律可以寫成如下的形式:u=v=KTx(x)x+Krr(12)其中:ΚxΤ(x)=hAm2-hf2(x)xΚr=hbm2(13)h滿足如下條件:hb2=I,I為單位陣。類似文獻(xiàn),令b2i,i=1,…,m代表b2的第i列,根據(jù)假設(shè)2可知,存在時(shí)變向量:k*sxi∈Rn,k*sri∈R,i=1,…,m,滿足如下的匹配條件:f2(x)+b2iksxi*Τx=Am2x,b2ik*sri=bm2(14)對(duì)于某些特殊的卡死故障,即:uˉj=0?j=1???i-1?i+1???m?j≠i這些條件是必需的。此時(shí),第i個(gè)控制輸入為ui=vi=v*i=ksxi*Τx+k*srir(15)此時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)方程如下:{x˙1=x2x˙2=Am2x+bm2r(16)滿足控制目標(biāo)。另一方面,假設(shè)2也表明存在時(shí)變向量k*xi∈Rn,k*ri∈R,i=1,…,m滿足:f2(x)+b2Κx*Τx=f2(x)+∑i=1mb2ikxi*Τx=Am2xb2Κr*=∑i=1mb2ikri*=bm2(17)上述方程表明沒有故障發(fā)生時(shí)系統(tǒng)滿足的關(guān)系,即b2u=b2v。此時(shí):Κx*=[kx1*?kxm*]∈Rn×mΚr*=[kr1*?krm*]Τ∈Rm(18)此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的反饋控制律為u=v=Kx*Τ(x)x+K*rr(19)假設(shè)有q1個(gè)作動(dòng)器發(fā)生卡死故障,即:uj=uˉj?j=j1???jq1?1≤q1≤m-1,但是uˉj=0?j=j1???jq1,此時(shí),期望的匹配條件為f2(x)+∑i≠j1???jq1b2ikxi*Τx=Am2x∑i≠j1???jq1b2ikri*=bm2(20)利用b2jk*srj=bm2,j=1,…,m可以得到:b2j=bm2ksrj*(21)進(jìn)一步,有:∑i≠j1???jq1b2ikri*=bm2?∑i≠j1???jq1bm2ksri*kri*=bm2?∑i≠j1???jq1kri*ksri*=1(22)類似可以得到:f2(x)+∑i≠j1???jq1b2ikxi*Τx=f2(x)+b2jksxj*Τx?∑i≠j1???jq1b2ikxi*Τ=g2jksxj*Τj=1???m?∑i≠j1???jq1kxi*ksri*=ksxj*ksrj*j=1???m(23)當(dāng)卡死故障已知時(shí),定義如下的控制器結(jié)構(gòu):v(t)=Kx*Τ(x)x+K*Trr+u*2(24)其中:u*2為后面將要設(shè)計(jì)的補(bǔ)償控制律。假設(shè)q1個(gè)作動(dòng)器發(fā)生卡死故障,即:uj(t)=uˉj?j=j1???jq1?1≤q1≤m-1此時(shí)系統(tǒng)的匹配條件滿足式(23),即:f2+b2(Ι-σ)Κx*Τx=f2+∑i≠j1???jq1b2ikxi*Τx=Am2x(25)b2(Ι-σ)Κr*Τ=∑i≠j1???jq1b2ikri*=bm2根據(jù)故障建模(4),代入控制律(24)后的系統(tǒng)方程如下:x˙1=x2x˙2=f2(x)+b2u=f2(x)+b2(v(t)+σ(uˉ-v(t)))=f2(x)+b2v(t)+b2σ(uˉ-v(t))=Am2x+bm2r+b2σ×(Κx*Τ(x)x+Κr*Τ(x)r)+b2uad*+b2σ(uˉ-v(t))=Am2x+bm2r+b2(Ι-σ)u2*+b2σuˉ(26)為了使上述系統(tǒng)跟蹤參考模型(2),可以選擇補(bǔ)償控制律u*2i(t),i≠j1,…,jq1,滿足如下的方程:b2(Ι-σ)u2*(t)+b2σuˉ=0?∑i≠j1???jq1b2iu2i*+∑j=j1???jq1b2juˉj=0(27)同樣利用式(23),可以得到:∑i≠j1???jq1u2i*ksri*+∑j=j1???jq1uˉjksrj*=0(28)由式(28),可以確定補(bǔ)償控制律:u*2i,i≠j1,…,jq1,滿足故障后系統(tǒng)對(duì)參考模型的準(zhǔn)確跟蹤。當(dāng)系統(tǒng)只有一個(gè)作動(dòng)器發(fā)生卡死故障時(shí),有:∑i≠ju2i*ksri*+uˉjksrj*=0(29)當(dāng)系統(tǒng)只有一個(gè)作動(dòng)器沒有發(fā)生卡死故障,即uj(t)=uˉj??j≠i?ui(t)=vi(t)時(shí),容錯(cuò)補(bǔ)償律有唯一的選擇,即:u2i*=-ksri*∑j≠iuˉjksrj*(30)如果系統(tǒng)沒有發(fā)生卡死故障,有:∑i=1mu2i*ksri*=0(31)此時(shí)可以選擇u*2i=0,i=1,…,m。由上述的推導(dǎo)過程,可以看到,故障的補(bǔ)償控制律要知道故障的信息,而這種信息難以準(zhǔn)確獲取,因此,本文利用自適應(yīng)的方法得到補(bǔ)償控制律。假設(shè)控制器的結(jié)構(gòu)如下:v(t)=Kx*Τ(x)x+K*Trr+u2(t)(32)其中:u2(t)=[u21(t)…u2m(t)]T為未知故障參數(shù)u*ad的估計(jì)值。定義參數(shù)誤差如下:u2i(t)=u2i(t)-u*2i;i=1,…,m(33)系統(tǒng)的跟蹤誤差:e(t)=x(t)-xm(t),則:x˙1=x2x˙2=f2(x)+b2u=f2(x)+b2(v(t)+σ(uˉ-v(t)))=f2(x)+b2v(t)+b2σ(uˉ-v(t))=f2(x)+b2(Ι-σ)×(Κx*Τ(x)x+Κr*Τ(x)r)+b2(Ι-σ)(u2+u2*)+b2σuˉ=Am2x+bm2r+b2(Ι-σ)u2*+b2σuˉ+b2(Ι-σ)uˉ2(34)由式(21)、式(27)可得:x˙1=x2x˙2=f2(x)+b2u=Am2x+bm2r+b2(Ι-σ)u2(t)=Am2x+bm2r+∑i≠j1???jq1b2iu2i(t)=Am2x+bm2r+bm2×∑i≠j1???jq1u2i(t)ksri*(35)因此系統(tǒng)的跟蹤誤差方程如下:e˙1=e2e˙2=Am2e+bm2∑i≠j1???jq1u2i(t)ksri*(36)定義Lyapunov函數(shù):V(e?u2i?i≠j1???jq1)=eΤΡe+∑i≠j1???jq1u2i2γi(37)其中:P=PT>0,γi>0,e=[e1e2]T。微分上式,得:V˙=e˙ΤΡe+eΤΡe˙+2∑i≠j1???jq1u2i(t)u˙2i(t)γi=eΤAmΤΡe+bmΤ∑i≠j1???jq1u2i(t)ksri*Ρe+∑i≠j1???jq1u2i(t)u˙2i(t)γi+eΤΡAme+eΤΡbm∑i≠j1???jq1u2i(t)ksri*+∑i≠j1???jq1u2i(t)u˙2i(t)γi=eΤ(AmΤΡ+ΡAm)e+2∑i≠j1???jq1u2i(t)ksri*(bmΤΡe+ksri*u˙2i(t)?γi)(38)其中:Am=[[0Ι]ΤAm2Τ]Τ?bm=[0bm2Τ]Τ,且滿足如下的Lyapunov方程,即存在正定矩陣Q=QT>0,使得:ATmP+PAm=-Q<0(39)成立。同時(shí),只要滿足:∑i≠j1???jq1u2i(t)ksri*(bmΤΡe+ksri*u˙2i(t)γi)=0?u˙2i(t)=-1ksri*γibmΤΡe(40)可以保證式(38)V˙=-eΤQe＜0成立,即整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。若令:F1=[γ1ksr1*?γmksrm*]Τ(41)則最終得到容錯(cuò)補(bǔ)償律如下:u˙2(t)=-F1bmΤΡe(t)(42)最終的控制律如下:v(t)=Κx*Τ(x)x+Κr*r+u2(t)u˙2(t)=-F1bmΤΡe(t)綜合基本控制律(6)和補(bǔ)償控制律(42),最終得到整個(gè)閉環(huán)控制律如下:v(t)=Kx*Τ(x)x+K*rr+u2(t)u2(t)=-∫t0F1bTmPe(τ)dτ-F2e(t)(43)其中:F2=-Am0+Am2。4系統(tǒng)參考模型跟蹤試驗(yàn)考慮被控對(duì)象由如下的非線性方程描述:σ˙=Rωω˙=J-1(-ω×Jω+Μ)σ=[??θ?φ]Τ?ω=[p?q?r]Τ?Μ=[l?m?n]Τ其中:l=12ρV2Sblδaδa+12ρV2Sblδrδr;m=12ρV2Scˉmδeδe;n=12ρV2Sbnδaδa+12ρV2Sbnδrδr。仿真數(shù)據(jù)采用某型飛機(jī)。參考模型如下