材料力學(xué)附錄

附錄

截面的幾何性質(zhì)§-1

截面的靜矩和形心位置設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.靜矩（或一次矩）(常用單位：m3

或mm3。值：可為正、負(fù)或0。）2.形心坐標(biāo)公式（可由均質(zhì)等厚薄板的重心坐標(biāo)而得）OxdAyyxC3.靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系結(jié)論：截面對形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。4.組合截面的靜矩

由靜矩的定義知：整個(gè)截面對某軸的靜矩應(yīng)等于它的各組成部分對同一軸的靜矩的代數(shù)和:2、截面對形心軸的靜矩為零3、若截面對某軸的靜矩為零，則該軸必為形心軸1、截面圖形的靜矩是對某一坐標(biāo)軸定義的，故靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)小結(jié)5.組合截面的形心坐標(biāo)公式將代入解得組合截面的形心坐標(biāo)公式為：（注：被“減去”部分圖形的面積應(yīng)代入負(fù)值）例I-1試計(jì)算圖示三角形截面對于與其底邊重合的x軸的靜矩。解：取平行于x軸的狹長條，所以對x軸的靜矩為Oxyb(y)ydyhb例I-2試計(jì)算圖示截面形心C的位置。解：將截面分為1、2兩個(gè)矩形。建立坐標(biāo)系如圖示。各矩形的面積和形心坐標(biāo)如下：Oxyy112010xx8010yC(y,x)ⅠⅡⅡⅠⅡ矩形I矩形II代入組合截面的形心坐標(biāo)公式解得：

如圖所示將截面任意分為兩部分A1與A2，證明這兩部分面積對整個(gè)截面形心軸xc的面積矩絕對值相等。補(bǔ)充例題1設(shè)：A1，A2對xc軸的靜矩分別為Sxc1和Sxc2證畢

試確定圖示梯形面積的形心位置，及其對底邊的靜矩。解：圖形對底邊的靜矩形心位置abhxyOC1xC2x補(bǔ)充例題2

§I－2

極慣性矩·慣性矩·慣性積

設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.極慣性矩（或截面二次極矩）2.慣性矩（或截面二次軸矩）（為正值，單位m4或mm4)所以（即截面對一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。）OxyyxrdA3.慣性積（其值可為正、負(fù)或0，單位:m4或mm4)截面對于包含對稱軸在內(nèi)的一對正交軸的慣性積為0。結(jié)論：4.慣性半徑（單位m

或mm）OxyyxrdA性質(zhì)：1、慣性矩和慣性積是對一定軸而定義的，而極慣矩，是對點(diǎn)定義的。2、慣性矩和極慣矩永遠(yuǎn)為正，慣性積可能為正、為負(fù)、為零。3、任何平面圖形對于通過其形心的對稱軸和與此對稱軸垂直的軸的慣性積為零。4、對于面積相等的截面，截面相對于坐標(biāo)軸分布的越遠(yuǎn)，其慣性矩越大。5、組合圖形對某一點(diǎn)的極慣性矩或?qū)δ骋惠S的慣性矩、慣性積例I-3

試計(jì)算圖a所示矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩。

解：取平行于x軸的狹長條，則dA=bdy同理yhCx

dyyb(a)若截面是高度為h的平行四邊形（圖b），則其對形心軸x的慣性矩同樣為hxyb(b)C例I-4試計(jì)算圖示圓截面對于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩。

xdy

yx解：由于圓截面有極對稱性，所以所以§-3慣性矩和慣性積的平行移軸公式

組合截面的慣性矩和慣性積1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式設(shè)有面積為A的任意形狀的截面。C為其形心，Cxcyc為形心坐標(biāo)系。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)系為Oxy,形心C在在Oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a,b)任意微面元dA在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：aycyxcxCObdAxcycyx同理，有：（此為平行移軸公式）注意：式中的a、b代表坐標(biāo)值，有時(shí)可能取負(fù)值。等號(hào)右邊各首項(xiàng)為相對于形心軸的量。2.組合截面的慣性矩和慣性積根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：例I-5試求圖a

所示截面對于對稱軸x的慣性矩。解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。（1）矩形對x的慣性矩：（2）一個(gè)半圓對其自身形心軸xc的慣性矩（見上例）xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p（3）一個(gè)半圓對x的慣性矩：由平行移軸公式得：（4）整個(gè)截面對于對稱軸x的慣性矩：求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸xc的慣性矩。解：（1）求形心坐標(biāo)xyb(y)ycCdxc補(bǔ)充例題1（2）求對形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：xyb(y)ycCdxc試計(jì)算組合截面的Ixc.

解：（1）求截面形心位置：

（2）求個(gè)簡單截面對形心軸的慣性矩：

（3）求整個(gè)截面的慣性矩：

補(bǔ)充例題2圖示為三個(gè)等直徑圓相切的組合問題,求對形心軸x的慣性矩.O1O2O3xcO2、O3到xc軸的距離O1到xc軸的距離補(bǔ)充例題3思考：O為直角三角形ABD斜邊上的中點(diǎn)，x、y軸為過點(diǎn)Ｏ且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性積和慣性矩有四種答案(已知b>a)：（A）Ixy＞０（B）Ixy<０(C)Ixy=０（D）Ix=Iy

正確答案是(C)xABDyOab思考：等腰直角三角形如圖所示，x、y軸是過斜邊中點(diǎn)的任意一對坐標(biāo)軸（即圖中

為任意值），該圖形的:(1)慣性積Ixy＝＿＿(2)慣性矩Ix＝＿＿、Iy＿＿＿。yxaa

答案：0；a4/24;a4/24

§-4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式

截面的主慣性軸和主慣性矩1.慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式

任意面元dA

在舊坐標(biāo)系oxy和新坐標(biāo)系ox1y1的關(guān)系為：代入慣性矩的定義式：xyOxyaxya11ABCDEdAxy11利用二倍角函數(shù)代入上式，得轉(zhuǎn)軸公式：注：上式中的

的符號(hào)為：從舊軸x至新軸x1逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。（上式表明，截面對于通過同一點(diǎn)的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩）將前兩式相加得

由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，慣性積將隨著

角作周期性變化，且有正有負(fù)。因此，必有一特定的角度

0，使截面對于新坐標(biāo)軸x0、y0的慣性積等于零。2.截面的主慣性軸和主慣性矩(1)主慣性軸:截面對其慣性積等于0的一對坐標(biāo)軸。(2)主慣性矩:截面對于主慣性軸的慣性矩。(3)形心主慣性軸：當(dāng)一對主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心重合時(shí)。(4)形心主慣性矩:截面對于形心主慣性軸的慣性矩。(5)確定主慣性軸的位置設(shè)

0是舊軸x逆時(shí)針轉(zhuǎn)向主慣性軸x0的角度，則由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得可改寫為（注：將負(fù)號(hào)置于分子上有利于確定2

0角的象限）(5)由上面tan2

0的表達(dá)式求出cos2

0、sin2

0后，再