重難點(diǎn)專題01 函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性（解析版）-決戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破（新高考通用）

AD重難點(diǎn)專題01函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性AD題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式 1題型2利用奇偶性、周期性對稱性求值 7題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值 題型4對稱性、奇偶性的運(yùn)用 15◆類型2中心對稱+軸對稱構(gòu)造周期性 ◆類型3“類”周期函數(shù) 24◆類型4對稱性解決恒成立 題型5三角函數(shù)中的對稱性問題 題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題 題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題 41 題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式劃重點(diǎn)劃重點(diǎn)單調(diào)性(有具體函數(shù)時(shí)，直接求導(dǎo)可求單調(diào)性);,注意功能用來判斷函數(shù)的均【例題1】(2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)D(D+2)=log?(3°+3-°,若(D-1)≥D(20+1)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()..(..設(shè)0=3°+3-°,則σ=39n3-3-9n3=(3°-3-°)In3,令i>0,則3?-3-?>0,得σ>0,滿足a0)-α-D)=Ce?+e-),且在(0,+c))上有0若實(shí)數(shù)a滿足(20)-【詳解】由()-C-=D(e'+e-9),,則(=Z(-の,即()為偶函數(shù).D(2)≥D(0+2).又の為偶函數(shù)，所以((20)≥(|0+21),得所以|2≤10+21,即4c2≤LP+40+4,則滿足+(3-20)<6的∠的取值范圍是()【分析】構(gòu)造()=sinD+e?-e-D-D,D∈R,發(fā)現(xiàn)の)為奇函數(shù)，然后の是の向右平移1個(gè)單位長度，向上平移3個(gè)單位長度，可得の的對稱中心為(1,3),能得到6=D(+【詳解】解：假設(shè)(1)=sinD+e?-e-D-C,D∈R,所以□叨為奇函數(shù)個(gè)單位長度，所以の的對稱中心為(1,3),所以6=(の+(2-の,1,當(dāng)且僅當(dāng)e?-1=即D=1,1所以(の)≥0所以()在R上單調(diào)遞增，可得(-0=e-?+e?+(-n2-1=e?+e-?+L2-1=(J,由不等式(2-)<(P+3),可得[2-DD-1|<|P+3-1|,即|1-四<2+2從而得到)=e?+e-?+2-1,【解析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易得O≥0時(shí)P(4)=D(2),進(jìn)而根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)在D+D≥0,易于得出矛盾，在0+D<0時(shí)利用不等式恒成立的意義不難求得C的最大值.又∵函數(shù)()為偶函數(shù)，∴0(D+)≥D(2D)等價(jià)于|0+J≥120,即|0+0≥20(∵D∈[0,0+1]),由于的最大值為0+1,故≥顯然不可能恒成立；故的最大值是題型2利用奇偶性、周期性對稱性求值劃重點(diǎn)劃重點(diǎn)①若(0+)=D(D-),則函數(shù)的周期D=20;②若(0+)=-0(の,則函數(shù)的周期D=20;③若,則函數(shù)的周期0=20;,則函數(shù)的周期0=20;若對任意D∈R,都有0(0+6)=D()+0(3),對任意C,D∈R且0+D=4,都有()=D(,則(99)+D(99)=【詳解】因函數(shù))是R上的偶函數(shù)，且任意D∈R,都有0+6)=D(+03),則當(dāng)0=-3時(shí)，D(3)=D(-3)+0(③)=20(③),即a(3)=0,有(0+6)=0(0),則()是以6為周期的周期函數(shù)，D(99)=D(16×6+3)=D(3)=0,則對VD∈R,D(D)=D(4-D)=D(D-4),函數(shù)))是以4為周期的周期函數(shù)，(99)=D(24×4+3)=0(3)=2,所以(99)+0(99)=2.即D=2022是C(D)的極值點(diǎn)，從而(2022)=0,可得答案.【詳解】(の的定義域?yàn)?,由-の=(の)可知，D()是偶函數(shù)，由(4-=(-7可知，(の周期為4,又因?yàn)?022=2+505×4,所以D=2022也是0(の的對稱軸，因?yàn)閍()在R上存在導(dǎo)函數(shù)0(0),即(2022)=0,曲線D=C(4)在點(diǎn)(2022,(2022))處的切線斜率為0,【詳解】∵(1+D=1-D,∴(2+D)=D(-D,且關(guān)于直線D=對稱；對于A,令(=(D+力，則(-の=C-0+7=(1+の)=Q(の,對于C,作出→和0=lglq的圖象如下圖所示，當(dāng)|口>10時(shí)，glq>1,又の∈[-1,刀，對于D,∵刀+02)+…+0(8)=0,D(2022),D(-20+の=D(20+5),若,則(2022)=,ZtOaa(D-【分析】依題意可得(0+4)=D(),即可得到(の是以4為周期的周期函數(shù)，再由C-20+の=D(20+5),可得0②)=D(4)=(0,即可求出(2022),從而得到D+力+D(D-の=0且0(0+)=(1-),再根據(jù),即可求出,最后利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.;聲;聲所以(0+4)+(0+2)=D(2022),則(0+4)=(),所以(2022)=D(2),又(-20+の=(20+5),所以(2)=0(④)=(の,又(2)+0(0)=D(2022),所以(2022)=0,故答案為：0;-50題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值劃重點(diǎn)劃重點(diǎn)對于□)本身不具有奇偶性，通過構(gòu)造(通常將尾巴常數(shù)變?yōu)?),構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函所以0+D=8【分析】令)=Do3+Zsin0,利用函數(shù)奇偶性計(jì)算作答.【詳解】設(shè)7)=D(O)-3=Do3+Zsino,則(-0)=C(-)3+Lsin(-)=-Do3-zsinD=-0(の),即函數(shù)(D)D()=D()+3,則()+0(-)=0(+3+0(-の+3=6,而()=1所以(-の=5.因?yàn)椤?))=1,所以(-)=6-1=5.【變式3-1】3.(2022·河南省淮陽中學(xué)高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)【分析】把の的圖象向上平移3個(gè)單位長度，可得函數(shù)sL的圖象，把(の的圖象向上平移3個(gè)單位長度，可得函cosc的圖象. 【分析】令)=0()+2,由奇偶性定義可知(の為奇函數(shù)，由(-)=-の可構(gòu)造方程求得D(-). 【詳解】令()=(①+2=dan(√F+1-0)+csing(aa≠0),:aα-=dn(√P+1+0)-csin0,:adn函數(shù)∴函數(shù)(の最大值為0,最小值為0,且0+D=4,∴Ct=-(N-t),即2t=D+D=4,∴t=2,故答案為2.題型4對稱性、奇偶性的運(yùn)用劃重點(diǎn)劃重點(diǎn)函數(shù)對稱性(異號(hào)對稱)類型1對稱軸和等于()根的和為8-4=4.,,有◆類型2中心對稱+軸對稱構(gòu)造周期性()=-1在[0,の上有實(shí)數(shù)根，則方程()=在區(qū)間[-1,1刀上所有實(shí)根之和是()實(shí)數(shù)根是唯一的，并可判斷()=-1在一個(gè)周期[-1,3]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并得這兩實(shí)數(shù)根和為2,從而得出の=-1在區(qū)間[-1,1刀這三個(gè)周期內(nèi)上有6個(gè)實(shí)數(shù)根，和為30.【詳解】由(2-D)=の知函數(shù)(の的圖象關(guān)于直線D=1對稱，∴の的周期為4,對于奇函數(shù)(の)有0(0)=0,D(2)=方程()=-1在[0,]上有實(shí)數(shù)根，則由于2-)=D(),故方程0()=-1在(1,2)上有唯一實(shí)數(shù)，則方程(0)=-1在(-1,0)和(2,3)上沒有實(shí)數(shù)根，從而方程()=-1在一個(gè)周期內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)D∈[-1,3],方程()=-1的兩實(shí)數(shù)根之和為0+2-D=2,的所有6個(gè)實(shí)數(shù)根之和為0+2-D+4+0+4+2-D+D+8+2-0+8=2+8+2+8+2+8=30.線方程為()B.D=40+8088C.D.D【分析】由函數(shù)(の的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，得出0)=0,再由(3-+-の=0得出函因?yàn)?(3-+C(-)=0,0(6-)+(3-0)=0,兩式相減可得，(6-)=C(-),故因?yàn)?-2022)=(0)=D(6)=4,故所求切線方程為D=40+8088,時(shí)，[□(2)-D(D?)](D2-)>0,比較(201),(2018),D(2019)的大小為()A.D(2017<D(2018)<D(20萬刀力=0(0+力，即函數(shù)D=D(の的周期0=4,即(2)>D(↑),函數(shù)D=D(の)在[-1,刀上為增函數(shù)，AD(2019)<D(2018)<D(2刀.刀,則()C.0()周期為4果.對于選項(xiàng)D通過賦值利用C中推導(dǎo)的結(jié)論(0+4)-(=-2和已知條件(-1)=1,則C-1+0)+C-1-)=其中吶常數(shù)，又(-1)=1故D=2,有()關(guān)于(-1,1)對稱，令等價(jià)于0+1,D()+C-2-)=2,所以C-2-の=2-(の,所以令等價(jià)于0+3,所以(0+4)=-D(-D-2),所以(0+4)-(=-2,而因?yàn)椁侮P(guān)于(1,0)對稱，所以(1)=0,(3)=-(-1)=-1,,7,D?,…,gg是以3=(3)=-1為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，所以(1)+D(3)+D(5)+…+0(99)=-600-625=-1225,故D正確.①如果“似周期函數(shù)”D=()的“似周期”為-1,那么它是周期為2的周期函數(shù)；以上正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(),,即2+?=D.2恒成立，故2=L成立，但無解，故②錯(cuò)誤；當(dāng)0>時(shí)，要使函數(shù)(關(guān)于原點(diǎn)對稱后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：當(dāng)2<0≤3時(shí)，(0)=4a(0-2)=4(0-2)(C-3),,解得,,類型4對稱性解決恒成立常見不等式恒成立轉(zhuǎn)最值問題：()的定義域?yàn)?,又の在(0,+o)上單調(diào)遞增，則0(4)=3u2-120-1=3(D-2)2-13,當(dāng)1<0≤2時(shí)0(の<0,【變式4-4】1.已知函數(shù),函數(shù)0()=(0-力0(1≤D≤2).若任,解,若對任意的D∈[0,D+力，不等式(2-20)≥D(O+の恒成立，對稱，可知0()為偶函數(shù)，從而可將題中不等式轉(zhuǎn)化為|2-20|≤|0+,整理得3r2-(8+范圍.根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)(の在[0,2)上單當(dāng)0≥2時(shí)，0)=2-log?D,易知函數(shù)()在[2,+]上單調(diào)遞減，且0]≤0(2)=2-∴函數(shù)()在[0,+]上單調(diào)遞減.∴不等式(2-20)≥D(0+の可化為0(12-20)≥D(10+),令(0)=3u2-(8+20)0+4-2,解不等式即得結(jié)果.而函,顯然在De(m,0)單調(diào)遞減。所以實(shí)數(shù)m的取值范圍【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)D=D(0),D∈[D,0],D=D(),D∈[0,□]題型5三角函數(shù)中的對稱性問題(3)函數(shù)D=LAan(00+D)是奇函數(shù)?D=DD(D∈D).坐標(biāo)由00+D=DO(D∈D)解得；(2)函數(shù)D=[cos(00+)的圖象的對稱軸由00+D=DO(D∈D)解得，對稱中心的橫坐(3)函數(shù)D=Can(00+)的圖象的對稱中心由解得.1.三角函數(shù)的對稱中心(對稱軸)有數(shù)個(gè)，適當(dāng)結(jié)合條件確定稱中心的距離,則函數(shù)の的周!,,則=cos(20+の,,解答案.【詳解】函最小正周期為2,直線D=1為其一條對稱軸，,其圖象關(guān)于直線0=1對稱，,D())=e-10-1|得圖象如圖：由圖像可知，在直線D=1的右側(cè)，[1,2025]包含(の的1012個(gè)周期，)在[1,3],(3,5),…,[2023,2025]每個(gè)周期內(nèi)和(の的圖象都有2個(gè)交點(diǎn)，則共有2024個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對稱性可知，在直線D=1的左側(cè)，(の和(の的圖象也有2024個(gè)交點(diǎn)，且在直線D=1的兩側(cè)的交點(diǎn)是關(guān)于直線D=1兩兩對稱的，故這4048個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2024×2=4048,而D=1也是這兩函數(shù)圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故の與(の的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4048+1=4049,作出函數(shù)圖象.【變式5-1】2.已知函數(shù)D=sin0+1,叼(D∈D,且0>2017)上有個(gè)交)結(jié)合題設(shè)不等式可得(3-9)<D(3-D.3),即0<+3-1對任意 【詳解】由題設(shè)，令(4)=(0)-2=20+sin0+In(√P2+1+D)∵D(3-9)+D(O·3-3)<4,即0(3-9)-2<-[D(D·3-3)-2],題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題劃重點(diǎn)劃重點(diǎn)1.若(の滿足(D+D)+C(D-)=20,則()關(guān)于中心對稱3.形對稱中心為(01,則()+(-=0,可得の是奇函數(shù)，【變式6-1】1.對于定義在上的函數(shù)(),點(diǎn)(D,)是(の圖像的一個(gè)對稱中心的充要條件【分析】根據(jù)點(diǎn)C(D,)是(の)圖像的一個(gè)對稱中心的充要條件，列出【詳解】解：因?yàn)?)=p3+2r2+30+4,(4)為D上減函數(shù)，因此(2-20)+C(20-)≤0?(2-20)≤-D(20-)?a(2-用方向.實(shí)現(xiàn)自變量大小轉(zhuǎn)化，單調(diào)性可實(shí)現(xiàn)去“”,即將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化自變量大小關(guān)系，對稱性可得到兩個(gè)對稱的自變量所對應(yīng)函數(shù)值關(guān)系.2019所以D=2019所,所以D+D=2,其中D>0,則D=2-D.即時(shí)等號(hào)成立；因,所最小值為題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題 旋轉(zhuǎn)(0≤D≤D),得到曲線口，對于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角D,曲線嘟是一個(gè)函數(shù)的圖象，則最大 即當(dāng)圓心(0,-2)在x軸上時(shí)，2,所以最大時(shí)的正切值為3設(shè)の處的點(diǎn)為O?,當(dāng)0(1)=0時(shí)，即C6(1,0),此時(shí)0,,,不滿足函數(shù)定義；故選0.切線存在.函數(shù)的圖像順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，先從點(diǎn)a(0,0)旋轉(zhuǎn)，由于□=-20+1,因此1=D=45°,故依據(jù)題設(shè)條件可知該曲線旋轉(zhuǎn)的最大角為0=45°,應(yīng)選答案B.點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于如何理解旋轉(zhuǎn)后的圖像是函數(shù).依據(jù)函數(shù)的定義可知得問題獲解，有不符合函數(shù)定義的選項(xiàng).【詳解】的曲線，根據(jù)函數(shù)的定義可知，這四個(gè)曲線都符合函數(shù)圖像的定義.【變式7-1】4.(多選)(2021·雨花區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)D=D(O),D∈D,且D∈D,函數(shù)[可以取任意正整數(shù)，則(の的值不可能為()【分析】對選項(xiàng)A:設(shè),20后仍在函數(shù)の圖象上，根據(jù)函數(shù)概念分析可得A選項(xiàng)不可能對.對選項(xiàng)B,C,D同理分析可解.【詳解】解：若=0,則通過連續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1,依次可得,D(O)=-0,,D(-D=0,,此,不符合函數(shù)概念，所以A選項(xiàng)不可能對，同理C選項(xiàng)也不可能對，而BD有可能成立.題型8兩個(gè)函數(shù)的對稱問題【例題8】(2021·武侯區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)()=DD-與函數(shù)(0)=dn0+的圖像值范圍.求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問題；(4)考查數(shù)形結(jié)合是故答案為A.點(diǎn)睛：本題中涉及根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問題，(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解，如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.【變式8-1】2.(2021·云南模擬)已知函數(shù),函數(shù)(の)與的圖象上至少存在一對關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范【詳解】解：D(の關(guān)于軸對稱的函數(shù)為D=InD,若函數(shù)0(の與函數(shù)の的圖象上存在關(guān)于D令h()=e?-(e-)0-InD,,由函數(shù)0=h()單調(diào)遞增，且h(の=0,可得函數(shù)h(D)的減區(qū)間為(0,の增區(qū)間為(1,+)可得h(D)min=1,當(dāng)0→時(shí)，e→1,-(e-D0→0,-In0→+w,可得函數(shù)h(D)的值域?yàn)閇1,+),故實(shí)數(shù)的取值范圍為[7.+0].【變式8-1】4.(2021·景德鎮(zhèn)模擬)對于定義域?yàn)閏的函數(shù)(の,若滿足(1)(の=0;(2),則"偏對稱函數(shù)"有個(gè).【答案】1判斷滿足題意的函數(shù)個(gè)數(shù).故“偏對稱函數(shù)”要滿足在(-,の上單調(diào)遞減，在(0,+o)上單調(diào)遞增，對①:因?yàn)镈+())=D(20)=0,所以，()=[sinC在(0,+)上不單調(diào)，故D+()=Dsinc不滿足條件(2),故D3(の)=LP+|0不滿足條件(3),對④:,D?(O)=0,滿足條件(1),在(0,+0)上，D4()=e?-1為增函數(shù)，滿足條件(2),令(0)=e?-1-C(D>0),0(0)oo所以()在(0,+o)上單調(diào)遞增，即O?(2)>D4(7),滿足條件(3),故答案為：1.最新真題、模考題組練【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到)+D(D-2)=-2,從而得到(3)+(5)+…+到(3)=6從而得到(1)的值即可求解.所以(2-の)=D(D+2),因?yàn)?()-(O-4)=7,所以(0+2)-(D-2)=7,即a(0+2)=7+(0-2)因?yàn)?(+0(2-=5,所以()+D(O+2)=5,所以(3)+0(5)+…+0(21)=(-2)×5=-10,因?yàn)?(の+(2-=5,所以(0)+(2)=5,即a(0)=1,所以(2)=-2-0(0)=-3.因?yàn)?)-D(O-4)=7,所以0(0+4)-D(の)=7,又因?yàn)?(の+0(2-=5,聯(lián)立得，(2-+0(O+4)=12,所以(3)=6因?yàn)?(+D(O+2)=5,所以(1)=5-D(3)=-1.【分析】通過(0+1)是奇函數(shù)和(D+2)是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式()=因?yàn)镈(0+1)是奇函數(shù)，所以(-D+1)=-0(0+1)①;因?yàn)?(D+2)是偶函數(shù)，所以(0+2)=C-D+2)②.令D=1,由①得：D(0)=-0(2)=-(40+),由②得：∠(3)=(1)=D+0,因?yàn)镃(0)+D(3)=6,所以-(40+の+0+D=6?D=-2,令□=0,由①得：∠(1)=-(1)=(1)=0=D=2,所以(=-2i2+2思路一：從定義入手.因?yàn)?(0+1)是奇函數(shù)，所以(-0+1)=-0(0+1)①;因?yàn)?0)+0(3)=6,所以-(40++0+0=6?D=-2,