吉林省長(zhǎng)春市2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一學(xué)程考試試題（解析版）

吉林省長(zhǎng)春市2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一學(xué)程考試試題第Ⅰ卷（共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.把3封信投到4個(gè)信箱中，所有可能的投法共有（）A.7種 B.12種 C.種 D.種【答案】D【解析】【分析】由題意可得每封信都有4種投法，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出結(jié)果【詳解】由題意可得，第1封信投到信箱中有4種投法，第2封信投到信箱中有4種投法，第3封信投到信箱中有4種投法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有種投法，故選：D2.函數(shù)y=x2㏑x的單調(diào)遞減區(qū)間為A.（1,1] B.（0,1] C.[1，+∞） D.（0，+∞）【答案】B【解析】【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得（x>0）,令解得，因此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故選B考點(diǎn)定位：本小題考查導(dǎo)數(shù)問題，意在考查考生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)本身隱含的定義域3.如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為A.24 B.18 C.12 D.9【答案】B【解析】【詳解】解：從E到F，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42C22＝6種走法．同理從F到G，最短的走法，有C31C22＝3種走法．∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6×3＝18種走法．故選B．【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理、組合【名師點(diǎn)睛】分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是相互獨(dú)立的；分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相互關(guān)聯(lián)的．4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，以及由排除不正確的選項(xiàng)，從而得出答案..【詳解】詳解：為奇函數(shù)，排除A,，故排除D.，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以排除C；故選：B.5.若函數(shù)在是增函數(shù)，則a的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由條件知在上恒成立，即在上恒成立．∵函數(shù)在上為減函數(shù)，∴,∴．故選D．考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．6.為了貫徹落實(shí)中央新疆工作座談會(huì)和全國(guó)對(duì)口支援新疆工作會(huì)議精神，促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方，則不同的分派方法有（）A.18種 B.36種 C.68種 D.84種【答案】B【解析】【分析】按照兩位女教師分派到同一個(gè)地方時(shí)，男老師也分配到該地方的人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論即可【詳解】根據(jù)題意，分派方案可分為兩種情況：若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：種方法；若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；故一共有：種分派方法故選：7.已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，0) B. C.(0,1) D.(0，＋∞)【答案】B【解析】【詳解】函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）當(dāng)a=時(shí)，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當(dāng)0＜a＜時(shí)，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）．故選B．8.已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù),則．A.當(dāng)k=1時(shí),f(x)在x=1處取到極小值 B.當(dāng)k=1時(shí),f(x)在x=1處取到極大值C.當(dāng)k=2時(shí),f(x)在x=1處取到極小值 D.當(dāng)k=2時(shí),f(x)在x=1處取到極大值【答案】C【解析】【詳解】當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)f(x)=(ex?1)(x?1).求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=ex(x?1)+(ex?1)=(xex?1)f′(1)=e?1≠0，f′(2)=2e2?1≠0，則f(x)在在x=1處與在x=2處均取不到極值，當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)f(x)=(ex?1)(x?1)2.求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=ex(x?1)2+2(ex?1)(x?1)=(x?1)(xex+ex?2)∴當(dāng)x=1，f′(x)=0，且當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x0<x<1時(shí)(x0為極大值點(diǎn))，f′(x)<0，故函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)；在(x0,1)上是減函數(shù)，從而函數(shù)f(x)在x=1取得極小值．對(duì)照選項(xiàng)．故選C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，可以有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間B.為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極小值【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)時(shí)，，可判斷A,B;利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系，可判斷C,D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，故A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故D正確；故選：AD10.A、B、C、D、E五個(gè)人并排站在一起，則下列說法正確的有（）A.若A、B兩人站在一起有48種方法 B.若A、B不相鄰共有12種方法C.若A在B左邊有60種排法 D.若A不站在最左邊，B不站最右邊，有72種方法【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)分類加法，分步乘法原理，結(jié)合排列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)選項(xiàng)一一分析.【詳解】對(duì)于A，先將A，B排列，再看成一個(gè)元素，和剩余的3人，一共4個(gè)元素進(jìn)行全排列，由分步原理可知共有種，所以A正確；對(duì)于B，先將A，B之外的3人全排列，產(chǎn)生4個(gè)空，再將A，B兩元素插空，所以共有種，所以B不正確；對(duì)于C，5人全排列，而其中A在B的左邊和A在B的右邊是等可能的，所以A在B的左邊的排法有種，所以以C正確；對(duì)于D，對(duì)A分兩種情況：一是若A站在最右邊，則剩下的4人全排列有種，另一個(gè)是A不在最左邊也不在最右邊，則A從中間的3個(gè)位置中任選1個(gè)，然后B從除最右邊的3個(gè)位置中任選1個(gè)，最后剩下3人全排列，即，由分類加法原理可知共有種，所以D不正確，故選：AC11.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則必有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】首先根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)得到在上單調(diào)遞減，從而得到，再化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】由及，得.設(shè)函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞減，從而，即，所以，，，.故選：BD12.已知函數(shù)，若關(guān)于x不等式恒成立，則k的取值可以為（）A.1 B.e C.4 D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得最大值不大于0，再分類探討的最大值即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無最大值，且，不符合題意，從而有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞增，在上遞減，因此，當(dāng)時(shí)，，令，，顯然在上單調(diào)遞減，而，因，不等式恒成立，則必有，，于是有，所以，k的取值可以為4或.故選：CD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問題，可以探討函數(shù)的最值，借助函數(shù)最值轉(zhuǎn)化解決問題.第Ⅱ卷（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生站成一排．甲、乙要相鄰．且甲不站在兩端，則不同的排法種數(shù)______．【答案】36【解析】【分析】甲只能從中間三個(gè)位置選一個(gè)站，乙要與甲相鄰只有兩個(gè)位置可選擇，甲、乙站好后其他三人位置隨便站，從而即可求解.【詳解】解：由題意，甲只能從中間三個(gè)位置選一個(gè)站，乙要與甲相鄰只有兩個(gè)位置可選擇，甲、乙站好后其他三人位置隨便站，故有種不同的排法種數(shù)，故答案為：36.14.函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】或【解析】【分析】將函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè),求導(dǎo)，求出極值即可得答案.【詳解】令，得，則函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)即為只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，得，令，得，，得或，則在上遞減，上遞增，上遞減，故的極小值為，極大值為，或.故答案為：或.15.如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供4種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為____________．【答案】72【解析】【分析】根據(jù)題意，分4步依次分析區(qū)域、、、、的涂色方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算答案．【詳解】分4步進(jìn)行分析：①，對(duì)于區(qū)域，有4種顏色可選；②，對(duì)于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；③，對(duì)于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有2種顏色可選；④，對(duì)于區(qū)域、，若與顏色相同，區(qū)域有2種顏色可選，若與顏色不相同，區(qū)域有1種顏色可選，區(qū)域有1種顏色可選，則區(qū)域、有種選擇，則不同的涂色方案有種；故答案為：7216.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為________．【答案】－49【解析】【詳解】由條件得nSn＝，對(duì)f(x)＝求導(dǎo)可得f(x)在上遞減，在上遞增，分別計(jì)算n＝6和n＝7可得，當(dāng)n＝7時(shí)nSn＝最小為－49.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在某次普通話測(cè)試中，為測(cè)試漢字發(fā)音水平，設(shè)置了10張卡片，每張卡片印有一個(gè)漢字的拼音，其中恰有3張卡片上的拼音帶有后鼻音“g”.（1）現(xiàn)對(duì)三位被測(cè)試者先后進(jìn)行測(cè)試，第一位被測(cè)試者從這10張卡片中隨機(jī)抽取1張，測(cè)試后放回，余下2位的測(cè)試，也按同樣的方法進(jìn)行．求這三位被測(cè)試者抽取的卡片上，拼音都帶有后鼻音“g”的概率．（2）若某位被測(cè)試者從10張卡片中一次隨機(jī)抽取3張，求這三張卡片上，拼音帶有后鼻音“g”的卡片不少于2張的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出每位測(cè)試者抽到的卡片上拼音帶有后鼻音“g”的概率，然后可得答案；（2）首先分別求出所抽取的三張卡片中，恰有1張卡片和恰有2張卡片上的拼音帶有后鼻音“g”的概率，然后可得答案.【詳解】（1）每次測(cè)試中，被測(cè)試者從10張卡片中隨機(jī)抽取1張卡片上，拼音帶有后鼻音“g”的概率為，因?yàn)槿槐粶y(cè)試者分別隨機(jī)抽取一張卡片的事件是相互獨(dú)立的，因而所求的概率為（2）設(shè)表示所抽取的三張卡片中，恰有張卡片帶有后鼻音“g”的事件，且其相應(yīng)的概率為則,因而所求概率為18.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求和：．【答案】（1）an=2n?1.（2）【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，代入建立方程進(jìn)行求解；（Ⅱ）由是等比數(shù)列，知依然是等比數(shù)列，并且公比是，再利用等比數(shù)列求和公式求解.試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n?1.（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q.因?yàn)閎2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.從而.【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和的方法：（1）分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列+等比數(shù)列的形式；（2）裂項(xiàng)相消法求和，一般適用于，,等的形式；（3）錯(cuò)位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列等比數(shù)列的形式；（4）倒序相加法求和，一般適用于首末兩項(xiàng)的和是一個(gè)常數(shù)，這樣可以正著寫和與倒著寫和，兩式相加除以2即可得到數(shù)列求和.19.設(shè)函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線．（1）求的值；（2）若函數(shù)，討論的單調(diào)性．【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和極值的定義列方程求得參數(shù)；（2）討論的取值范圍，解不等式和，從而判斷單調(diào)性.【詳解】（1）依題意得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，故，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，因?yàn)榍芯€垂直于直線，所以切線的斜率為，故，得，所以；（2）由（1）知，，令，則①當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，故函數(shù)在上為增函數(shù)；②當(dāng)即時(shí)，，故函數(shù)在上為增函數(shù)；③當(dāng)即時(shí)，有兩個(gè)不等實(shí)根，；當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上為減函數(shù).20.設(shè)函數(shù)，其中在，曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)極值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）極小值【解析】【分析】（Ⅰ）因，故由于曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，故該切線斜率為0，即，從而，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，解得（因不在定義域內(nèi)，舍去）當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，故在處取得極小值本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)的最值及其幾何意義、兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力【詳解】21.